Tentukanlah persamaan garis singgung kurva y 2x2 x 1 yang tegak lurus dengan garis x 5y 7 0

Pada postingan ini kita membahas contoh soal persamaan garis singgung yang disertai penyelesaiannya + pembahasan. Lalu apa itu garis singgung ?. Garis singgung pada kurva y = f(x) di titik (c, f(c)) adalah garis yang melalui (c, f(c)) dengan kemiringan sama dengan f'(c). Rumus persamaan garis singgung pada kurva di titik (x1, y1) dengan gradien m dimana m = f'(c) sebagai berikut.

Jika antara kurva (k) dan garis (g) saling sejajar maka gradiennya sama atau mk = mg. Sedangkan jika antara kurva dan garis saling tegak lurus maka mk = –

. Untuk lebih jelasnya dibawah ini diberikan beberapa contoh soal garis singgung dan penyelesaiannya + pembahasan.

Contoh soal persamaan garis singgung

Contoh soal 1

Diketahui persamaan kurva y = 3x2 + 2x + 4. Persamaan garis singgung kurva di titik (2, 17) adalah…A. y = 12xB. y = 12x – 7C. y = 14x – 11D. y = 17x – 2

E. y = 17x – 7

Penyelesaian soal / pembahasan

Turunkan terlebih dahulu y = 3x2 + 2x + 4 diperoleh y’ = 6x + 2. Selanjutnya hitung gradien m dengan cara subtitusi x = 2 ke y’ sehingga diperoleh m = y’ = 6 . 2 + 2 = 14. Jadi persamaan garis singgung:

y – y1 = m (x – x1)
y – 17 = 14 (x – 2)
y – 17 = 14x – 28
y = 14x – 28 + 17 = 14x – 11.

Jadi soal ini jawabannya C.

Contoh soal 2

Persamaan garis singgung kurva y = 3x2 – 4x + 1 di titik (1, -2) adalah…A. x – y + 3 = 0B. x + y + 1 = 0C. x – y – 3 = 0D. x + y – 1 = 0

E. 2x – y – 4 = 0

Penyelesaian soal

Turunkan y = 3x2 – 4x + 1 dan hasilnya y’ = 6x – 4. Selanjutnya hitung gradien m dengan cara subtitusi x = 1 sehingga diperoleh m = y’ = 6x – 4 = 6 . 1 – 4 = 2. Maka persamaan garis singgung sebagai berikut.

y – y1 = m (x – x1)
y – (-2) = 2 (x – 1)
y + 2 = 2x – 2
y – 2x + 2 + 2 = 0
y – 2x + 4 = 0
2x – y – 4 = 0

Jadi soal ini jawabannya E.

Contoh soal 3

Persamaan garis singgung kurva y = x2 – 4x dititik yang absisnya 1 adalah…A. x – y – 2 = 0B. x + y + 2 = 0C. 2x + y + 1 = 0D. x + 2y + 1 = 0

E. 2x – 2y + 1 = 0

Penyelesaian soal / pembahasan

Absis = x = x1 = 1. Selanjutnya hitung y1 dengan cara subtitusi x = 1 ke persamaan y sehingga didapat y1 = y = x2 – 4x = 12 – 4 . 1 = -3. Jadi (x1, y1) = (1, -3).

Turunkan y = x2 – 4x dan diperoleh hasil y’ = 2x – 4. Kemudian tentukan gradien (m) dengan cara subtitusi x = 1 ke y’ = 2x – 4 = 2 . 1 – 4 = -2. Maka persamaan garis singgung sebagai berikut.

y – y1 = m (x – x1)
y – (-3) = -2 (x – 1)
y + 3 = -2x + 2
y + 2x + 3 – 2 = 0
2x + y + 1 = 0

Soal ini jawabannya C.

Contoh soal 4

Persamaan garis singgung kurva y = x2 + x – 2 pada titik berordinat 4 adalah…A. y = -5x – 11B. y = 5x – 6C. y = -5x + 19D. y = -5x – 11 atau y = 5x – 6

E. y = 5x – 6 atau y = -5x + 19

Penyelesaian soal / pembahasan

Berordinat 4 = y1 = 4. Kemudian hitung x1 dengan cara subtitusi y = 4 ke persamaan y = x2 + x – 2 dan diperoleh

4 = x2 + x – 2
x2 + x – 2 – 4 = 0
x2 + x – 6 = 0
(x + 3) (x – 2) = 0
x = -3 atau x = 2

Jadi titik yang dilalui garis yaitu (x1, y1) = (-3, 4) atau (2, 4). Dengan demikian terdapat 2 persamaan garis singgung.

Turunkan y = x2 + x – 2 dan diperoleh y’ = 2x + 1. Selanjutnya hitung gradien (m):

Gradien garis pertama (x = -3) m = 2 . -3 + 1 = -5.
Gradien garis kedua (x = 2) m = 2 . 2 + 1 = 5

Persamaan garis singgung pertama (-3, 4) dan m = -5 sebagai berikut.

y – y1 = m (x – x1)
y – 4 = -5 (x – (-3))
y – 4 = -5x – 15
y = -5x – 15 + 4
y = -5x – 11

Persamaan garis singgung kedua (2, 4) dan m = 5 sebagai berikut.

y – y1 = m (x – x1)
y – 4 = 5 (x – 2)
y – 4 = 5x – 10
y = 5x – 10 + 4
y = 5x – 6

Jadi persamaan garis singgung y = -5x – 11 atau y = 5x – 6. Soal ini jawabannya D.

Contoh soal 5

Persamaan garis singgung kurva y = x2 – 2x + 1 yang sejajar dengan garis y = 2x + 7 adalah…A. y = 2x – 2B. y = 2x – 2C. y = 2x – 3D. y = -2x – 1

E. y = -2x – 2

Penyelesaian soal / pembahasan

Untuk menjawab soal ini turunkan kedua persamaan y:

kurva y = x2 – 2x + 1 turunannya y’ = 2x – 2
garis y turunannya y’ = 2 atau gradien mg = 2.

Karena sejajar berarti gradien kurva = gradien garis atau mk = mg = 2. Selanjutnya kita tentukan titik singgung dengan cara subtitusi mk = 2 ke turunan kurva sehingga diperoleh:

y’ = 2x – 2
2 = 2x – 2
2x = 2 + 2 = 4
x = 4/2 = 2.
y = x2 – 2x + 1 = 22 – 2 . 2 + 1 = 1.

Jadi titik singgung (2 , 1). Dengan demikian persamaan garis singgung:

y – y1 = m (x – x1)
y – 1 = 2 (x – 2)
y – 1 = 2x – 4
y = 2x – 4 + 1 = 2x – 3

Soal ini jawbannya C.

Contoh soal 6

Persamaan garis singgung kurva y = 2x2 + x + 1 yang tegak lurus garis x + 5y + 3 = 0 adalah…A. y = 5x – 1B. y = 5xC. y = 5x + 1

D. y = –

x + 4

E. y = –

x – 4

Penyelesaian soal / pembahasan

Langkah-langkah menjawab soal ini sama seperti soal nomor 5 yaitu:

y = 2x2 + x + 1 maka y’ = 4x + 1
x + 5y + 3 atau y = –
x –
sehingga y’ = mg = –
.
mk = –
= –
= 5.

Subtitusi nilai mk = 5 ke turunan y’ kurva sehingga diperoleh:

y’ = 4x + 1
5 = 4x + 1
4x = 4 atau x = 1
y = 2x2 + x + 1 = 2 (1)2 + 1 + 1 = 4.

Titik singgung (x1, y1) = (1 , 4) sehingga persamaan garis singgung:

y – y1 = m (x – x1)
y – 4 = 5 (x – 1)
y – 4 = 5x – 5
y = 5x – 5 + 4
y = 5x – 1

Jadi soal ini jawabannya A.

Contoh soal 7

Persamaan garis singgung kurva y = x2 – 4 yang tegak lurus garis x – 2y + 4 = 0 adalah…A. 2x + y + 5 = 0B. x + 2y + 5 = 0C. x – 2y – 5 = 0D. x + y + 2 = 0

E. 2x – y – 5 = 0

Penyelesaian soal

Turunkan kurva dan garis y sebagai berikut.