Dapatkah kalian menghitung luas bidang sisinya? Bagaimana cara menghitungvolumenya? Ada berapa satuan udara yang berada di dalam gedung tersebut?Untuk mengetahui lebih jauh tentang bagaiamana cara menentukan luas danvolume gabungan bangun ruang sisi datar, lakukan kegiatan berikut. Kegiatan 8.7 Menentukan Luas Permukaan dan Volume Bangun Ruang Sisi Datar Gabungan Masalah 8.2Sebuah tenda berbentuk bangun 4,5 mseperti pada Gambar 8.26d di atas 0,5 matau perhatikan pada Gambar 8.27di samping. Berapakah luas kain 6 m 10 myang digunakan untuk membuatsebuah tenda seperti itu, bila alasnya Gambar 8.27 Tenda berbentuk gabunganberbentuk persegi panjang dengan antara balok dan prismapanjang 10 m, lebar 6 m, dantingginya 0,5 m, sedangkan tinggitenda 4,5 m? Ayo Kita AmatiPerhatikan gambar kubus dan limas dalam Tabel 8.10 berikut ini. Tabel 8.10 Konsep Luas Permukaan Bangun Ruang GabunganNo. Gambar Luas Keterangan Permukaan (L) H G E F 12 m L = 864 m2 Luas permukaan1. kubus DC A 12 m B 12 m192 Kelas VIII SMP/MTs Semester IINo. Gambar Luas Keterangan Permukaan (L) T2. H G 8m 8m L = 336 m2 Luas permukaan E 12 m F I12 m limas segiempat H G E F 12 m L = 720 m2 Luas permukaan3. kubus tanpa DC tutup A 12 m B 12 m H G E F 12 m L = 576 m2 Luas permukaan4. kubus tanpa alas DC dan tutup A 12 m B 12 m T L = 192 m2 Luas permukaan limas segiempat5. HG tanpa alas E 12 m F I12 mKurikulum 2013 MATEMATIKA 193No. Gambar Luas Keterangan Permukaan (L) T 8mHG Luas permukaan pada gambar di6. E + I 12 m L = 912 m2 F samping DC A 12 m B 12 m? Ayo Kita MenanyaBerdasarkan hasil pengamatan kalian, mungkin kalian bertanya dua halberikut.1. Bagaimana cara menemukan luas permukaan dan volume bangun datar gabungan?2. Jika bangun ruangnya tidak beraturan, bagaimana cara menentukan luas permukaan dan volumenya?Sekarang cobalah buat pertanyaan yang serupa atau memuat kata-kata berikut.1. “luas”, “kubus”, “limas”2. “luas”, “balok”, “limas”3. “luas”, “prisma”, “limas”Tulislah pertanyaan kalian di lembar kerja/buku tulis. =+ Ayo Kita Menggali InformasiAgar kalian menjadi lebih yakin dalam memahami konsep bangun ruang sisidatar gabungan, cobalah perhatikan dengan cermat pada Tabel 8.11 berikut.194 Kelas VIII SMP/MTs Semester IITabel 8.11 Luas permukaan bangun ruang gabunganNo. Gambar Luas permukaan (L) Keterangan H F G L = 6 × AB2 E L = 6 × 122 12 m Luas L = 6 × 1441. permukaan D L = 864 kubus C Jadi, luasnya permukaan A 12 m B 12 m adalah 864 m2. L = luas alas + jumlah T luas bidang tegak L = (AB)2 + 4 × 1 × FG × IT 2 Luas2. 8m L = 122 + 2 × 12 × 8 permukaan H G L = 144 + 192 limas segiempat E 12 m F I12 m L = 336 Jadi, luasnya permukaan adalah 336 m2. H G L = 5 × AB2 Luas E F L = 5 × 1223. 12 m L = 5 × 144 permukaan L = 720 kubus tanpa D C Jadi, luasnya permukaan tutup A 12 m B 12 m adalah 720 m2. HG E F L = 4 × AB2 L = 4 × 122 12 m Luas L = 4 × 1444. permukaan D C L = 576 kubus tanpa 12 m B 12 m Jadi, luasnya permukaan alas dan tutup A adalah 576 m2.Kurikulum 2013 MATEMATIKA 195No. Gambar Luas Permukaan (L) Keterangan T L = jumlah luas bidang tegak L = 4 × 1 × FG × IT Luas 2 permukaan5. H G L = 2 × 12 × 88m 8m limas segiempat L = 192 12 m F I12 m tanpa alasE Jadi, luasnya permukaan adalah 192 m2. L = luas permukaan kubus tanpa tutup + T luas permukaan limas segiempat tanpa alas L = 5 × AB2 + jumlah luas bidang tegak H G Luas6. E I L = 5 × 122 + 4 × 1 × FG permukaan F 2 pada gambar 12 m × IT di samping L = 5 × 144 + 2 × 12 × 8 D C L = 720 + 192A 12 m B 12 m L = 912 Jadi, luasnya permukaan adalah 912 m2.Untuk menambah pemahaman kalian tentang luas permukaan dan volumebangun ruang sisi datar gabungan atau menaksir luas permukaan dan volumebangun ruang sisi datar, sebaiknya kalian perhatikan contoh soal dan alternatifpenyelesaiannya berikut ini.196 Kelas VIII SMP/MTs Semester IIContoh 8.16Sebuah kaleng berbentuk balok yang sudah berisi air dengan volume 75mL. Kemudian kaleng tersebut akan dimasukkan batu yang bentuknya tidakberaturan. Setelah kaleng tersebut kemasukan benda padat, maka volumeairnya berubah menjadi 95 mL. 95 ml 75 ml Gambar 8.28 Balok dan BatuSekarang kita bisa mengetahui bahwa volume air berubah menjadi tambahbanyak setelah dimasukkan batu. Apa perubahan volume airnya pertandavolume batu tersebut? Apa memang benar seperti itu? Kenapa demikian?Coba jelaskan. Alternatif PenyelesaianDiketahui: Volume air mula-mula, V1 = 75 mL Volume batu = b Volume air setetah ditambahkan batu, V2 = 95 mL.Jawab:V1 + b = V275 + b = 95 b = 95 – 75 b = 20Jadi, volume batu adalah 20 mL.Kurikulum 2013 MATEMATIKA 197Contoh 8.17Perhatikan gambar berikut ini atau ambillah beberapa bangun yang menyerupaikubus, balok, prisma, dan limas. Kemudian amatilah. Sumber: astrophysicsblogs.blogspot.com Sumber: matematohir.wordpress.com Gambar 8.29 Batu sabak, toples marmer, piramida, dan kue lapetMemilih mana dari bangun kubus, balok, prisma, dan limas yang lebihmudah digunakan untuk menaksir luas permukaan dan volume batu? toples?piramida? dan lapet?Apakah bangun-bangun ruang tersebut yang memiliki luas permukaan sama?Termasuk juga volumenya sama? Mana yang lebih tepat digunakan untukmenaksir luas permukaan dan volume dari ke-4 gambar tersebut? Alternatif PenyelesaianMenentukan luas permukaan atau volume bangun ruang sisi datar tidakberaturan adalah menaksirkan luas permukaan atau volume bangun ruangtersebut dengan cara menentukan bangun ruang tersebut termasuk mendekati198 Kelas VIII SMP/MTs Semester IIbangun ruang yang mana, sehingga nantinya apabila dihitung luas permukaanatau volumenya mempunyai selisih pengukuran yang paling sedikit.Ilustrasi:Kemudian, coba temukan benda-benda di lingkungan sekitarmu! Misalkanyang kalian temukan adalah wadah air minum kemasan, sudah tertera kapasitasisi airnya yaitu 250 mL. Bagaimana cara kalian menentukan luas permukaandari wadah kemasan air minum tersebut?Ayo Kita Mencoba1. Setelah kalian melakukan kegiatan mengamati 1 cm pada Tabel 8.6, sekarang cobalah selesaikan kasus yang terdapat pada Masalah 8.2. Gambar 8.30 Prisma dan limas dalam kubus2. Sebuah limas dan prisma segidelapan beraturan berada di dalam kubus yang alasnya saling berimpitan, seperti terlihat pada gambar berikut. Jika panjang rusuk kubus 1 cm, maka tentukan volume prisma di luar limas.Ayo Kita MenalarSetelah kalian melakukan kegiatan mengamati, memahami sedikit informasidan melakukan kegiatan menggali informasi. Sekarang cobalah terapkan padamasalah berikut ini.1. Perhatikan kembali Tabel 8.10 dan 8.11. Apa yang dapat kalian simpulkan dari kegiatan tersebut? Jelaskan.2. Kemudian temukan 3 contoh yang ada dalam kehidupan sehari yang ada hubungannya dengan materi yang telah kalian diskusikan. Diskusikan dalam kelompok bagaimana cara menjawabnya serta temukan jawabannya bersama-sama. Tuliskan jawaban tersebut sebagai karya kelompok.Kurikulum 2013 MATEMATIKA 199Ayo Kita BerbagiSetelah kalian selesai menjawab kasus yang terdapat pada kegiatan menalardi atas, coba sekarang tukarkan hasil jawaban kalian dengan kelompok yanglain. Kemudian bandingkan hasil jawabannya, diskusikan dengan kelompoktersebut.Tulislah kesimpulan kalian pada lembar kerja/buku tulis yang sudah kaliansediakan.?! Ayo Kita Berlatih 8.7 1. Perhatikan gambar di bawah. 12 cm 5 cm 6 cm 5 cm18 cmTentukan luas permukaan dan volumenya.2. Perhatikan gambar rangka bangun di T samping. 8m Rangka bangun tersebut terdiri atas dua bagian, yaitu balok dan limas. H G Tentukan: E F a. luas permukaan balok. b. volume balok. 8m c. luas alas limas. d. panjang diagonal alas limas. DC e. volume limas. A 8m B 8m200 Kelas VIII SMP/MTs Semester II3. Sebuah tenda berbentuk bangun seperti 3m berikut. 2m Berapakah luas kain yang digunakan untuk membuat sebuah tenda seperti itu, bila alasnya berbentuk persegi dengan ukuran (4 × 4) m2, tinggi bagian tenda yang berbentuk prisma 2 m dan tinggi sisi tegak bagian atapnya 3 m?4. Ambillah enam benda-benda nyata yang ada di sekitar kalian, kemudian ukurlah dan perkirakan luas permukaan dan volumenya. Contoh: PensilGelas Penghapus Batu Telur Stabilo5. Perhatikan kubus ABCD.EFGH pada gambar berikut. H T G E F SR PQ C D A 12 m B Titik A, B, C, dan D terletak pada bidang sisi bagian bawah. Titik T merupakan titik perpotongan garis diagonal pada bidang sisi bagian atas. Selanjutnya dibuat limas T.ABCD. Jika limas T.ABCD dipotong oleh bidang PQRS dimana titik P, Q, R, S, berturut terletak di tengah garis AE, BF, CG, dan DH. Jika dengan panjang rusuk kubus tersebut adalah 12 cm, maka tentukan volume limas terpancung bagian bawah.Kurikulum 2013 MATEMATIKA 2016. Bangunan Candi Borobudur terdiri atas tiga tingkatan, yaitu Kamadhatu, Rupadhatu, dan Arupadhatu. Arupadhatu merupakan bagian teratas candi yang denah lantainya berbentuk lingkaran. Di atas lantai ini terdapat sejumlah stupa kecil berbentuk lonceng yang disusun dalam tiga teras lingkaran melingkari stupa induk seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut. Stupa Kecil Stupa Induk Pikirkan berapa banyak stupa kecil pada bagian Arupadhatu tersebut? Tuliskan strategimu.202 Kelas VIII SMP/MTs Semester IIMateri Pengayaan Diagonal Ruang, Diagonal Bidang, dan Bidang DiagonalCoba ingat kembali tentang unsur-unsur kubus atau balok yang pernah kalianpelajari ketika di SD. Unsur-unsur tersebut sekilas akan kita bahas kembalipada kesempatan kali ini. Oleh karena itu, perhatikan Gambar 8.31 berikut. H Bidang/Sisi Atas Bidang/Sisi AtasE F FG H D E G RusukA C Rusuk B Titik Sudut CD Bidang/Sisi Bawah B Titik Sudut A Bidang/Sisi Bawah (a) (b) Gambar 8.31 Unsur-unsur kubus dan balokPerhatikan Gambar 8.31a. Kubus ABCD.EFGH dibatasi oleh bidang ABCD,ABFE, BCGF, CDHG, ADHE, dan EFGH. Semua bidang tersebut disebut sisi-sisi kubus ABCD.EFGH. Kubus tersebut memiliki 8 titik sudut. Garis yangdibatasi oleh dua titik sudut, contoh AB , BC , CD , AD , EF , FG , GH ,EH , AE , BF , CG , dan DH disebut rusuk-rusuk kubus ABCD.EFGH.Coba kalian amati bahwa tiap sisi kubus tersebut dibatasi oleh rusuk-rusuk.Menurut kalian, apakah rusuk AB merupakan perpotongan bidang ABCDdan ABFE?Rusuk-rusuk AB , BC , CD , dan AD disebut rusuk alas, sedangkan rusukAE , BF , CG , dan DH disebut rusuk tegak. Dapatkah kalian menyebutkanrusuk mana saja yang termasuk rusuk atas?Coba kalian bandingkan dengan balok pada Gambar 8.29b. Setiap daerahpersegi pada kubus dan daerah persegi panjang pada balok disebut bidang atausisi. Perpotongan dua buah daerah persegi pada kubus atau dua buah daerahpersegi panjang pada balok disebut rusuk, yaitu rusuk AB , BC , CD , AD ,EF , FG , GH , EH , AE , BF , CG , dan DH . Adapun titik potong antaratiga buah rusuk disebut titik sudut, yaitu titik sudut A, B, C, D, E, F, G, dan H.Kurikulum 2013 MATEMATIKA 203Selain unsur-unsur yang telah diuraikan di atas, kubus atau balok jugamemiliki tiga diagonal, yaitu diagonal bidang, diagonal ruang, dan bidangdiagonal. Untuk lebih jelasnya tentang diagonal bidang, diagonal ruang, danbidang diagonal marilah kita lakukan kegiatan berikut.Kegiatan 8.8 Hubungan antara Diagonal Ruang, Diagonal Bidang, dan Bidang DiagonalAyoKita AmatiPerhatikan gambar balok yang terbentuk berikut ini. Tabel 8.12 Unsur-unsur lain pada balokNo. Balok Unsur-unsur lain H G AC adalah diagonal bidang E F t 1. D lC pB A H GE F2. t Diagonal bidang AF D lC p B A H GE F3. D t Diagonal bidang BG A lC p B204 Kelas VIII SMP/MTs Semester IINo. Balok G Unsur-unsur lain H F t Diagoal ruang AG Diagoal ruang DF E lC Bidang diagonal BCHE pB Bidang diagonal ABGH 4. D G F A H t E lC pB 5. D A H GE F6. p t D lC B A H GE F7. p t D lC B A? Ayo Kita MenanyaBerdasarkan hasil pengamatan kalian, mungkin kalian bertanya dua halberikut.1. Bagaimana cara menentukan panjang diagonal bidang?2. Apakah hubungan antara diagonal bidang dengan diagonal ruang?Kurikulum 2013 MATEMATIKA 205Sekarang cobalah buat pertanyaan yang serupa atau memuat kata-kata berikut.1. “cara” dan “diagonal”2. “panjang” dan “diagonal”3. “luas” dan “diagonal”Tulislah pertanyaan kalian di lembar kerja/buku tulis.=+ Ayo Kita+ Menggali InformasiAgar kalian menjadi lebih yakin dalam memahami tentang hubungan antaradiagonal ruang, diagonal bidang, dan bidang diagonal pada kubus dan balok,cobalah perhatikan dengan cermat pada Tabel 8.13 berikut.Tabel 8.13 Diagonal ruang, diagonal bidang, dan bidang diagonal pada balokNo. Balok Unsur-unsur lain Keterangan H p p FGD C Titik sudut A E p dihubungkan l dengan titik sudut1. tA p B C membentuk D lC AC adalah diagonal ruas garis AC A B bidang. yang berada pada H bidang ABCD. E G EF Titik sudut A2. F dihubungkan A pB dengan titik sudut D t Diagonal bidang AF. F membentuk ruas garis AF A lC yang berada pada H B bidang ABFE. E G G Titik sudut B3. F F dihubungkan dengan titik sudut D t t G membentuk A lC B lC B Diagonal bidang BG. ruas garis BG yang berada pada bidang BCGF.206 Kelas VIII SMP/MTs Semester IIBagian A1. Coba sebutkan semua diagonal bidang yang terdapat pada balok ABCD.EFGH di atas.2. Ada berapa banyak diagonal bidang yang dapat kalian temukan.No. Balok Unsur-unsur lain Keterangan H GE G Titik sudut A E F dihubungkan4. t D t dengan titik sudut G membentuk A lC C ruas garis AG yang berada di p B A dalam balok Diagoal ruang AG ABCD.EFGH.H GH Titik sudut DEF F dihubungkan5. D t dengan titik sudut D F membentukA pB lC ruas garis DF yang berada di B dalam balok Diagoal ruang DF. ABCD.EFGHBagian B1. Coba sebutkan semua diagoal ruang yang terdapat pada balok ABCD.EFGH di atas.2. Ada berapa banyak diagoal ruang yang dapat kalian temukan. H H GE FE6. tC ... D lC B p B Bidang diagonal BCHE. AKurikulum 2013 MATEMATIKA 207H G H GE F t7. D lC ... A p BA pB Bidang Diagonal ABGHBagian C1. Menurut kalian, bagaimanakah cara terbentuknya bidang BCHE dan ABGH itu? Coba lengkap pada kolom keterangan di atas.2. Coba sebutkan semua bidang diagonal yang terdapat pada balok ABCD.EFGH di atas.3. Ada berapa banyak bidang diagonal yang dapat kalian temukan. Sedikit InformasiUntuk memperdalam tentang unsur-unsur kubus atau balok, silakan perhatikandan pahami contoh soal berikut ini. HGContoh 8.18 EFPerhatikan kubus ABCD.EFGH berikut ini. DCTentukan panjang diagonal BE. A 5 cm B Alternatif PenyelesaianPerhatikan segitiga ABE.Segitiga ABE adalah segitiga siku-siku di titik A, sehingga untuk mencaripanjang BE menggunakan rumus Pythagoras. Perhatikan uraian berikut.208 Kelas VIII SMP/MTs Semester IIH G H G E F E F DC D C 5 cm B A 5 cm B ABE2 = AB2 + AE2 = 52 + 52 = 25 + 25 = 50 = 50 =5 2Jadi, panjang diagonal BE adalah 5 2 cm. Contoh 8.19 H G 5 cm E FPerhatikan balok ABCD.EFGH berikut ini.Tentukan panjang diagonal ruang CE. D C A B Alternatif Penyelesaian 6 cm 8 cm 6 cm 6 cmPerhatikan segitiga ABC dan segitiga ACE. G H GH F E FE 5 cm 5 cm D CD CA 8 cm B A 8 cm BSegitiga ACE adalah segitiga siku-siku di titik A, sehingga untuk mencaripanjang CE terlebih dulu mencari panjang AC dengan memerhatikan segitigaABC, yakni sebagai berikut. Perhatikan uraian berikut.Kurikulum 2013 MATEMATIKA 209AC2 = AB2 + BC2 = 82 + 62 = 64 + 36 = 100 = 100 = 10Dengan demikian, panjang diagonal AC adalah 10 cm.Kemudian mencari panjang diagonal ruang CE, yaitu sebagai berikut.CE2 = AE2 + AC2 = 52 + 102 = 25 + 100 = 125 = 125 =5 5Jadi, panjang diagonal ruang CE adalah 5 5 cm.Contoh 8.20 H G E F 8 cmPerhatikan balok ABCD.EFGH berikut ini.Tentukan luas bidang diagonal BCHE. D C 4 cm A 15 cm BAlternatifPenyelesaianPerhatika persegi panjang BCHE. H G H GE F E F 8 cm 8 cm D 15 cm C D 15 cm CA 4 cm A B4 cm B210 Kelas VIII SMP/MTs Semester IIUntuk menentukan luas persegi panjang BCHE terlebih dulu carilah panjangdiagonal BE atau CH, yakni sebagai berikut.Perhatikan segitiga ABCE siku-siku di A.BE2 = AB2 + AE2 = 152 + 82 = 225 + 64 = 289 = 289 = 17Dengan demikian, panjang diagonal AC adalah 17 cm.Kemudian mencari luas bidang diagonal BCHE, yaitu sebagai berikut.Luas bidang diagonal BCHE = BE × BC = 17 × 4 = 68Jadi, luas bidang diagonal BCHE adalah 68 cm2. Ayo Kita MencobaSetelah kalian memahami sedikit informasi di atas, sekarang coba temukanpada buku tertentu, di internet, atau membuat sendiri tentang dua hal berikut.1. Temukan cara yang paling cepat atau temukan triknya untuk menentukan panjang diagonal bidang, panjang diagonal ruang, dan luas bidang diagonal baik pada kubus maupun pada balok.2. Temukan apa yang dimaksud dengan bidang frontal dan bidang ortogonal pada kubus, balok, prisma, dan limas. Ayo Kita MenalarKemudian setelah kalian melakukan kegiatan menggali informasi, sekarangterapkan pemahaman kalian tentang hal berikut.Kurikulum 2013 MATEMATIKA 2111. Setelah kalian melengkapi Tabel 8.13 dan menjawab pertanyaan- pertanyaan yang terdapat pada bagian A, B, dan C pada tabel tersebut. Kemudian simpulkan apa yang dapat kalian ketahui tentang diagonal ruang, diagonal bidang, dan bidang diagonal pada kubus atau balok2. Dalam kubus atau balok ada istilah diagonal ruang dan bidang diagonal. coba uraikan hubungan antara diagonal ruang, diagonal bidang, dan bidang diagonal pada kubus atau balok?3. Perhatikan gambar prisma berikut ini. F DE C AB Perhatikan segitiga ABF di atas. Apakah segitiga ABF itu termasuk bidang diagonal pada prisma? Jelaskan. Ayo Kita BerbagiKemudian lakukan diskusi dalam kelompok kalian untuk menjawab ketigasoal tersebut yang dipandu oleh gurumu sehingga diperoleh pemahaman dansimpulan yang sama.Tulislah pemahaman dan simpulan yang sudah diperoleh pada buku kalian.212 Kelas VIII SMP/MTs Semester II?! Ayo Kita Berlatih 8.81. Perhatikan gambar kubus KLMN.OPQR R Q Pdi samping. O Ma. Gambarlah semua diagonal sisinya Ldengan warna yang berbeda dan padasalinan gambar kubus KLMN.OPQR Nyang berbeda.b. Berapa banyak diagonal sisinya? Kc. Bagaimanakah panjangnya?2. Diketahui panjang sisi kubus ABCD.EFGH adalah 6 cm. Tentukan panjang diagonal bidang, diagonal ruang, dan luas bidang diagonal pada kubus ABCD.EFGH di atas.3. Perhatikan gambar di samping H G Tentukan luas daerah segitiga ACE. E F4. Perhatikan gambar berikut. D C HG A 12 cm B 8 cm EF 9 cm 8 cm D 15 cm C A B4 cm Tentukan luas permukaan prisma ABE.DCH.5. Gambar di samping menunjukkan sebuah kubus dengan panjang rusuk 5 cm yang dipotong sehingga salah satu bagiannya berbentuk limas segitiga (tetrahedron). Tentukan volume kedua bangun hasil perpotongannya.Kurikulum 2013 MATEMATIKA 2136. Q merupakan titik perpotongan dua diagonal Q sisi kubus yang panjang rusuknya 2 cm. Tentukan panjang QR. RP7. X H G ABCD.EFGH adalah kubus dengan rusuk 10 cm. E F Titik X, Y, dan Z adalah pertengahan EH, BG D Y dan AB. Hitunglah panjang XZ, YZ, dan XY. AZ C B8. Perhatikan gambar prisma berikut ini. D F A E Diketahui alas prisma tersebut berbentuk segitiga siku-siku dengan panjang BC = 3 cm C dan AC = 4 cm. Jika luas permukaan prisma B 108 cm2, tentukan tinggi prisma tersebut. Bagaimana cara kalian mencari luas bidang I ABF? Jelaskan. H9. Perhatikan gambar prisma segilima di DG samping. Tentukan: Ca. ada berapa banyak rusuknya? J B Fb. ada berapa banyak bidang sisinya? Ec. ada berapa banyak titik sudutnya? Ad. hubungkan titik sudut A dengan titik sudut D, apakah termasuk diagonal bidang? Coba jelaskan.e. hubungkan titik sudut A dengan titik sudut H, apakah termasuk diagonal ruang? Coba jelaskan.f. hubungkan titik-titik A, C, H, dan F, apakah termasuk bidang diagonal? Coba jelaskan.214 Kelas VIII SMP/MTs Semester II8Ayo Kita Mengerjakan ProjekPada kegiatan akhir bab ini kalian akan melakukan suatu projek. Projeknyaadalah membuat bangun tertentu hasil kreasi dari bahan kardus.Gunakan pengetahuan kalian tentang materi bangun ruang sisi datar danmateri lainnya pada kegiatan projek ini. Kemudian coba pikirkan dantuliskan di tempat yang disediakan berikut jawaban dari pertanyaan-pertanyaan ini.1. Supaya rencana mengkreasi bahan kardus ini baik dan unik, kira- kira apa yang harus kita perbuat? (Bahan kardus apa yang harus kita sediakan? Alat-alat apa yang harus kita siapkan? Langkah-langkah mengkreasi bahan dari kardus bagaimana? Berapa biaya yang butuhkan untuk mengkreasi bahan kardus ini? dan sebagainya)2. Agar tugas kalian ini mendapatkan hasil yang memuaskan, kira-kira strategi apa yang harus kalian perbuat? Bagaimana bentuk strateginya? Apalagi yang harus diperbuat? dan sebagainya.3. Apakah pelajaran kita saat ini (tentang bentuk-bentuk bangun datar) bisa kalian manfaatkan? Yang mana saja? Mengapa? 8Ayo Kita MerangkumPengalaman belajar tentang bangun ruang sisi datar telah kalian lalui.Sekarang, cobalah tuliskan hal-hal penting yang menurut kalian sangatberharga dan kira-kira akan bermanfaat bagi kalian untuk belajar lebihjauh dengan menjawab pertanyaan berikut.1. Berbentuk bangun apakah jaring-jaring kubus dan balok?2. Apakah yang dimaksud dengan bangun kubus, balok, prisma, dan limas?3. Tuliskan rumus luas permukaan kubus, balok, prisma, dan limas dilengkapi dengan keterangannya.4. Tuliskan rumus volume bangun ruang sisi datar dilengkapi dengan keterangannya.5. Bagaimana hubungan antara diagonal ruang, diagonal bidang, dan bidang diagonal?Kurikulum 2013 MATEMATIKA 215? 8=++ Uji KompetensiA. Pilihan Ganda1. Sebuah dadu dirancang sedemikian hingga jumlah angka pada alas dan atas selalu sama untuk setiap posisi dadu. Jaring-jaring dadu tersebut adalah …. A. C. B. D. 2. Disediakan kawat yang panjangnya 6 m, akan dibuat kerangka balok berukuran 13 cm × 9 cm × 8 cm. Banyak kerangka balok yang dapat dibuat dari kawat tersebut adalah .... A. 3 buah C. 5 buah B. 4 buah D. 6 buah3. Sebuah balok berukuran panjang = (3x + 2) cm, lebar = (x + 5) cm, dan tinggi = (2x – 4) cm. Jika jumlah panjang rusuknya 156 cm, maka nilai x adalah .... A. 6 cm C. 8 cm B. 7 cm D. 9 cm4. Aku adalah bangun ruang yang memiliki 5 sisi, 9 rusuk, dan 6 titik sudut. Aku adalah ....216 Kelas VIII SMP/MTs Semester IIA. prisma segiempat C. limas segitigaB. prisma segitiga D. limas segiempat5. Jumlah panjang rusuk sebuah kubus adalah 96 cm. Luas permukaan kubus adalah … . A. 364 cm2 C. 486 cm2 B. 384 cm2 D. 512 cm26. Suatu balok memiliki luas permukaan 516 cm2. Jika panjang dan lebar balok masing-masing 15 cm dan 6 cm, maka tinggi balok tersebut adalah .... A. 6 cm C. 8 cm B. 7 cm D. 9 cm7. Alas sebuah prisma berbentuk segitiga siku-siku dengan panjang sisi 3 cm, 4 cm, dan 5 cm. Jika luas permukaan prisma adalah 108 cm2, maka tinggi prisma tersebut adalah .... A. 9 cm C. 7 cm B. 8 cm D. 6 cm8. Jika tinggi prisma adalah 20 cm. Luas permukaan prisma tersebut adalah .... A. 330 cm2 C. 550 cm2 B. 440 cm2 D. 660 cm29. Alas sebuah limas beraturan berbentuk persegi dengan panjang sisi 5 cm dan tinggi segitiga bidang tegaknya 10 cm. Luas permukaan limas tersebut adalah .... A. 75 cm2 C. 125 cm2 B. 100 cm2 D. 150 cm210. Sebuah limas tingginya 8 cm dan T tinggi rusuk tegaknya 10 cm. Jika alasnya berbentuk persegi maka luas D8 10 C permukaan limas adalah ....A. 348 cm2 C. 438 cm2 B. 384 cm2 D. 834 cm2 A PQ BKurikulum 2013 MATEMATIKA 21711. Sebuah balok berukuran panjang 12 cm, lebar 6 cm, dan tinggi 4 cm, maka luas permukaan balok adalah …. A. 488 cm2 C. 288 cm2 B. 388 cm2 D. 188 cm212. Sebuah prisma alasnya berbentuk belahketupat dengan panjang diagonal 16 cm dan 12 cm. Luas permukaan prisma tersebut jika tingginya 12 cm adalah …. A. 726 cm2 C. 264 cm2 B. 672 cm2 D. 216 cm213. Jika luas permukaan kubus adaLah 96 cm2, maka panjang rusuk kubus tersebut adalah .... A. 4 cm C. 8 cm B. 6 cm D. 16 cm14. Volume balok yang berukuran 13 cm × 15 cm × 17 cm adalah …. A. 3.315 cm3 C. 3.115 cm3 B. 3.215 cm3 D. 3.015 cm315. Suatu prisma tegak yang alasnya merupakaN segitiga dengan panjang sisi-sisinya 3 cm, 4 cm, dan 5 cm. Jika panjang rusuk tegaknya 6 cm, maka volume prisma tersebut adalah .... A. 36 cm3 C. 72 cm3 B. 60 cm3 D. 90 cm316. Halimah membuat model balok padat yang terbuat dari bahan Gipsum dengan luas alas 200 cm2 dan tingginya 9 cm. Harga Gipsum per liter adalah Rp15.000,00. Rupiah minimal uang Halimah yang harus dikeluarkan untuk membuat model balok adalah .... A. Rp18.000,00 C. Rp27.000,00 B. Rp24.000,00 D. Rp34.000,0017. Sebuah kotak panjangnya 1 1 kali lebar dan 4 1 kali tingginya. Jumlah 2 2 semua rusuk 408 cm. Maka volume dan luas permukaannya bertutur- turut adalah .... A. 23.328 cm3 dan 6048 cm2 C. 6048 cm2 dan 23.328 cm3 B. 23.238 cm3 dan 4068 cm2 D. 8084 cm2 dan 23.238 cm3218 Kelas VIII SMP/MTs Semester II18. Suatu kolam renang diisi penuh oleh air mempunyai ukuran panjang 20 m dan lebar 6 m. Kedalaman air pada ujung yang dangkal 1 m dan terus melandai sampai 4 m pada ujung yang paling dalam. Berapa literkah volume air dalam kolam? 6 m 20 m 1m4mA. 100.000 liter C. 300.000 literB. 200.000 liter D. 400.000 liter19. Tiga kubus berukuran 1 m3, 8 m3, dan 27 m3 ditumpuk seperti tampak pada gambar di samping. Tentukan jumlah luas permukaan tumpukan. A. 46 m2 B. 54 m2 C. 56 m2 D. 64 m220. Kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk 2 satuan. Titik Oadalah titik potong dua diagonal pada bidang BCFG. Jarak titik O kebidang BCEH adalah .… satuan. (OSK SMP 2014)A. 2 C. 32 5B. 2 D. 22 4B. Esai21. Seorang panitia konsumsi sebuah seminar pendidikan ingin mengecek apakah total kotak nasi yang dipesan sudah selesai. Cara yang ia lakukan adalah dengan menyusun kotak-kotak nasi tersebut di atas dua buah meja seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut.Kurikulum 2013 MATEMATIKA 219Meja 1 Meja 2 Bantulah panitia tersebut untuk menghitung total kotak nasi. Gunakan strategimu sendiri. (Soal PISA)22. Diketahui balok memiliki p : l : t = 4 : 2 : 3. Jika luas sisi balok 1.300 cm2, hitunglah: a. ukuran panjang, lebar, dan tinggi balok. b. panjang kerangka balok. c. volume balok.23. Alas limas T.ABCD pada gambar di samping A T berbentuk persegi. Apabila volumenya 384 cm3 dan tinggi limas 8 cm, hitunglah: DC QP a. luas alas limas. B b. panjang rusuk alas limas. c. panjang TP. d. luas segitiga TBC. e. luas seluruh permukaan limas.24. Alas sebuah prisma berbentuk segitiga siku-siku yang panjang sisi- sisinya 15 cm, 8 cm, dan 17 cm. Jika tinggi prisma 20 cm, hitunglah: a. luas alas prisma. b. luas permukaan prisma. c. volume prisma.220 Kelas VIII SMP/MTs Semester II25. Diketahui sebuah prisma yang dibentuk oleh bidang-bidang sisi berupa: dua trapesium yang kongruen ABFE dan DCGH. Jika AB sejajar EF, panjang AE = panjang BF, panjang AB = 2 kali panjang EF, panjang AP = panjang PB = panjang DQ = panjang QC, AD ⊥ AB dan EH ⊥ EF, maka perbandingan volume prisma APE.DQH dan prisma PBFE. QCGH adalah .... (OSK SMP 2015) HG EF DQCAPB26. Hitunglah luas permukaan dan volume tangki/bejana yang gambarnya berikut ini. 60 80 20 3027. Sebuah balok ABCD.EFGH di samping, panjang, lebar, dan tingginyaberturut-turut adalah 8 cm, 6 cm, dan 3 H G Fcm. Tentukan: Ea. volume limas T.ABCD.b. volume balok di luar limas T.ABCD. D C B AKurikulum 2013 MATEMATIKA 22128. Perhatikan balok ABCD.EFGH berikut ini. H G 12 cmE F D CA 16 cm B 8 cm Tentukan panjang diagonal bidang, diagonal ruang, dan luas bidang diagonal pada balok ABCD.EFGH di atas.29. Perhatikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 2 cm. Tentukan luas permukaan dan volume limas E.ABCD. HG F E D C A 2 cm B30. Sebuah tangki penampungan minyak tanah berbentuk prisma yang alasnya berupa belahketupat yang panjang diagonal-diagonalnya 4 m dan 3 m. Tinggi tangki 2,5 m. Pada dasar tangki terdapat keran yang dapat mengalirkan minyak tanah rata-rata 75 liter setiap menit. Berapa lama waktu yang diperlukan untuk mengeluarkan minyak tanah dari tangki itu sampai habis?222 Kelas VIII SMP/MTs Semester IIBab 9 StatistikaSumber: www.finance.detik.com Aktuaris adalah seorang ahli yang dapat mengaplikasikan ilmu keuangan dan teori statistik untuk menyelesaikan persoalan-persoalan bisnis aktual. Persoalan ini umumnya menyangkut analisis kejadian masa depan yang berdampak pada segi finansial, khususnya yang berhubungan dengan besar pembayaran pada masa depan dan kapan pembayaran dilakukan pada waktu yang tidak pasti. Secara umum, aktuaris bekerja di bidang konsultasi, perusahaan asuransi jiwa, pensiun, dan investasi. Aktuaris juga sedang merambah di bidang-bidang lainnya, di mana kemampuan analitis diperlukan. Pada umumnya aktuaris di Indonesia memiliki latar belakang pendidikan dari FMIPA Matematika ataupun Statistika. Namun ada sedikit aktuaris yang berasal dari disiplin lain. Aktuaris di Indonesia banyak bekerja di perusahaan asuransi jiwa, sedangkan sisanya bekerja di dana pensiun, konsultan aktuaria, dan saat ini merambah ke dunia investasi. Nah, sekarang kalian sudah tidak ragu lagi belajar matematika dan statistika, kan? Tertarik untuk mempelajari statistika? Yuk, ikuti kegiatan mengenai statistika dan penerapannya di bab ini.Kurikulum 2013 MATEMATIKA 223• Rata-rata• Median• Modus• Kuartil• Jangkauan Kompetensi Dasar3.10 Menganalisis data berdasarkan distribusi data, nilai rata-rata, median, dan modus dari sebaran data untuk mengambil simpulan, membuat keputusan, dan membuat prediksi.4.10 Menyajikan dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan distribusi data, nilai rata-rata, median, modus, dan sebaran data untuk mengambil simpulan, membuat keputusan, dan membuat prediksi. Pengalaman Belajar1. Menganalisis data dari distribusi data yang diberikan.2. Menentukan nilai rata-rata, median, modus dari sebaran data.3. Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan rata-rata, median, modus dari sebaran data224 Kelas VIII SMP/MTs Semester IIKPeotnasep Statistika Pengukuran Data Ukuran Ukuran Penyebaran Pemusatan Data Data• Jangkauan • Mean• Kuartil • Median• Jangkauan Interkuartil • Modus• Simpangan Kuartil 225Dr. Genichi Taguchi (1 Januari 1924 – 2 Juni 2012)Genichi Taguchi Pada 2012 lalu dunia berduka karena kehilangan (1924 – 2012) seorang insinyur dan ahli statistik terbaik di Jepang, Genichi Taguchi. Jika kalian merasa begitu asing dengan tokoh ini, lihatlah kembali mobil dan barang-barang elektronik yang kalian punya di rumah. Mengapa hampir semuanya berlabel ‘Made in Japan’? Salah satu alasannya adalah, sejak tahun 1970-an, produk Jepang terkenal karena kualitas, ketahanan, keandalan dan harganya yang terjangkau dibandingkan produk Amerika atau Eropa. Alasannya? Perusahaan manufaktur Jepang selalu mendengar apa kata Taguchi.Genichi Taguchi adalah seorang insinyur dan ahli statistik. Ia memilikilatar belakang ilmu teknik dan juga mendalami statistika serta matematikatingkat lanjut, sehingga ia dapat menggabungkan teknik statistika danpengetahuan keteknikan. Taguchi telah membuat kontribusi yang sangatberpengaruh untuk statistik industri. Metode yang ia cetuskan merupakanmetodologi baru dalam bidang teknik yang bertujuan untuk memperbaikikualitas produk dan proses serta dapat menekan biaya dan bahan bakuseminimal mungkin. Metode Taguchi banyak diterapkan di pabrik-pabrikdi Jepang oleh para teknisi untuk memperbaiki proses dan produk.Pesan moral yang dapat kita ambil dari kontribusi Taguchi antara lain:1. Selalu menjaga kualitas proses dan hasil kerja keras kita, baik dalam belajar maupun bekerja. Hal ini berarti, kualitas hasil belajar akan menjadi baik apabila kualitas proses belajar terjaga dengan baik. Dengan belajar statistika, kita bisa melihat hasil belajar kita ada kemajuan atau tidak, sehingga kita bisa mengontrol dan memperbaiki proses belajar.2. Kita harus bersikap jujur, karena kejujuran dapat membuat diri kita menjadi pribadi yang berkualitas. Kitapun akan menjadi orang yang dipercaya. Hal inilah yang dapat diambil dari statistika. Dengan statistika, kita belajar menjadi manusia yang jujur dan, bicara sesuai dengan data dan fakta.226Kegiatan 9.1 Menganalisis DataDalam kehidupan sehari-hari, kita sering menjumpai penerapan statistikadalam beberapa aspek kehidupan. Pengumpulan data tentang minat siswadalam pemilihan bakat minat, ukuran sepatu, atau bahasa serta data tentangkepadatan penduduk dapat disajikan dengan mudah menggunakan ilmustatistika. Dengan statistika, data-data yang diperoleh itu dapat disajikandalam tabel atau diagram sehingga mempermudah menganalisisnya.Pada kegiatan ini kalian akan mempelajari cara menganalisis, membaca, danmemprediksi berdasarkan data dari tabel atau diagram. Ayo Kita AmatiDari diagram batang di bawah dapat dilihat bahwa hasil perikanan terendahdicapai pada tahun 2004 yaitu sebanyak 2.000 ton. Sebaliknya hasil perikanantertinggi dicapai pada tahun 2007 yaitu sebanyak 5.000 ton. Kenaikan tertinggidicapai pada tahun 2006-2007 yaitu mencapai 2.500 ton. Jumlah Hasil Tangkapan 6Jumlah (ribuan ton) 5 4 3 2 1 0 2004 2005 2006 2007 2008 2003 TahunGambar 9.1 Diagram batang hasil perikanan tahun 2003 – 2008Kurikulum 2013 MATEMATIKA 227Banyak Bayi LahirBagaimana kita membaca data dalam grafik?Perhatikan gambar diagram garis yang terdapat di Puskesmas Desa SukaMakmur berikut ini. 30 25 24 25 22 20 20 17 15 13 10 10 7 5 0 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 Tahun Gambar 9.2 Diagram garis jumlah kelahiran tiap tahun di Desa Suka MakmurDiagram di atas menunjukkan bahwa pada tahun 2001 terdapat 7 kelahiran,tahun 2002 sebanyak 10 kelahiran, dan seterusnya.Temukan juga keterangan-keterangan lain yang dapat kalian peroleh dari diagram di atas.a. Tentukan banyak kelahiran pada tahun 2003, 2004, dan seterusnya.b. Pada tahun berapakah jumlah kelahiran paling tinggi? Pada tahun berapakah jumlah kelahiran paling rendah?c. Berdasarkan grafik tersebut, perkirakan dan jelaskan banyak kelahiran pada tahun 2005.d. Apa pendapat kalian tentang program Keluarga Berencana di desa tersebut?e. Pada tahun 2008 terdapat 25 kelahiran. Dapatkah kita simpulkan bahwa pada tahun 2008 penduduk Desa Suka Makmur bertambah 25 orang dibandingkan tahun 2007? Ayo Kita MencobaDiberikan hasil produksi padi tiap tahun pada Desa Suka Makmur dari tahun2008 sampai dengan 2015 sebagai berikut.228 Kelas VIII SMP/MTs Semester IITabel 9.1 Hasil produksi padi Desa Suka Makmur tahun 2001-2008Tahun 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008Hasil 250 285 310 340 380 225 290 420(ton)a. Buatlah beberapa simpulan dari data pada tabel di atas.b. Pada tahun berapakah hasil produksi padi tertinggi?c. Berikan tafsiran yang dapat diperoleh dari diagram garis tersebut.d. Perkirakan produksi padi pada tahun 2010.e. Menurutmu, apa yang terjadi pada tahun 2006 sehingga produksi menurun secara drastis?f. Buatlah suatu pertanyaan berdasarkan tabel data tersebut. Ayo Kita MenalarGrafik di bawah ini menyajikan penggunaan bahan bakar terhadap waktu(dalam jam) pada perjalanan sebuah mobil dari kota M ke kota N. Gunakaninformasi pada grafik di bawah ini untuk menjawab pertanyaan. Liter 80 60 D 40 A E F 20 B C G 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Waktu (Jam) Gambar 9.3 Sajian data penggunaan bahan bakar terhadap waktuKurikulum 2013 MATEMATIKA 2291. Berapa liter bahan bakar yang dihabiskan dalam perjalanan: a. dari titik A ke titik B? b. dari titik C ke titik D? c. dari titik D ke titik E? d. dari titik E ke titik F? e. dari titik F ke titik G?2. a. Berapa liter bahan bakar total yang dihabiskan dalam perjalanan tersebut? b. Berapa lama perjalanan dari kota M ke kota N?3. Coba perhatikan kembali grafik di atas secara baik. a. Berapa banyak bahan bakar yang dihabiskan dari titik B ke titik C? b. Menurutmu apa yang kira-kira terjadi pada perjalanan dari titik B ke titik C? Jelaskan jawabanmu. c. Menurut analisismu, kejadian apa yang terjadi pada titik D? Jelaskan jawabanmu. Ayo Kita BerbagiSajikan hasil penalaran kalian di depan kelas. Periksa dan silakan salingmemberi komentar secara santun pendapat teman di kelas.230 Kelas VIII SMP/MTs Semester II?! Ayo Kita 9.1 Berlatih1. Diagram di bawah ini menunjukkan data penjualan beberapa jenistelevisi di Toko Elektronik Wawan Jaya Makmur pada bulan Januari. 25Banyak TV yang terjual 20 15 10 5 0 ABCDE FG Merek TVa. Pada bulan tersebut, TV merk apa yang terjual paling banyak dan paling sedikit?b. Berapa total TV yang terjual pada toko tersebut berdasarkan diagram di atas?2. Diagram di bawah ini menunjukkan data banyaknya siswa kelas IX SMP Ceria pada tahun 2007 sampai tahun 2013. Data Banyak Siswa Kelas VIII SMP Ceria 200 180 Banyak Siswa 180 120 140 130 150 160 160 140 120 100 100 80 60 40 20 0 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 TahunKurikulum 2013 MATEMATIKA 231Banyaknya siswa perempuan kelas IX pada tahun 2007 adalah sebanyak 55% dari total siswa pada tahun tersebut. Banyaknya siswa perempuan kelas IX pada tahun 2012 adalah sebanyak 40% dari total siswa pada tahun tersebut. Apakah dapat disimpulkan bahwa banyak siswa perempuan pada tahun 2007 lebih banyak dibandingkan pada tahun 2012? Jelaskan jawabanmu.3. Diagram lingkaran di samping DDaattaa FFllaasshhddisiskk menunjukkan file yang terdapat di dalam flashdisk milik Reta yang Kosong Musik berkapasitas 4 GB (setara dengan Lainnya 10% 20% 4.000 MB). Flashdisk tersebut diisi dengan file musik, foto, data buku 10% ajar matematika, dan data lainnya. Data Buku Foto a. Jika Reta ingin menambahkan Ajar 20% file data buku ajar baru yang 40% berkapasitas 750 MB, apakah kapasitas flashdisk milik Reta masih mencukupi? Jelaskan.b. Jika Reta tidak ingin menghapus file foto, file data buku ajar, dan file data lainnya di flashdisknya, berapa persen dari keseluruhan file musik yang harus dihapus agar data buku ajar baru dapat ditambahkan ke dalam flashdisk?4. Tabel di samping menunjukkan Album Kapasitas album-album pada file Musik di dalam flashdisk milik Reta. Album A 75 MB Album B 85 MB Dia ingin menambahkan file data Album C 125 MB buku ajar baru yang berkapasitas 750 Album D 48 MB MB tersebut, akan tetapi dia hanya Album E 152 MB ingin menghapus beberapa file Musik Album F 95 MB miliknya dengan syarat maksimal 3 Album G 66 MB album pada file Musik miliknya yang Album H 85 MB dihapus. Apakah mungkin bagi Reta Album I 69 MB untuk memasukkan file data buku ajar baru ke dalam flashdisk nya? Jelaskan jawabanmu.232 Kelas VIII SMP/MTs Semester II5. Sains. Data panjang kecambah dalam kondisi lingkungan yang gelap dan terang selama tujuh hari disajikan dalam grafik berikut. Pertumbuhan Kecambah dalam Dua Kondisi yang Berbeda 25 23 20,6 20 18,1Tinggi (cm) 15,8 15 13,1 11,7 12,9 Tempat Gelap 9,5 10,5 Tempat Terang 10 7,7 8 5 5,4 1,1 1,2 0 1234567 Hari ke-a. Kapan selisih panjang kecambah yang diletakkan di tempat gelap dan terang menjadi 7,6? Bagaimana kalian menentukannya?b. Jika kalian ingin menanam kecambah, manakah yang akan kalian pilih, menanam kecambah di tempat yang gelap dengan pertumbuhan yang cepat, atau di tempat terang dengan pertumbuhan yang lambat? Jelaskan jawaban kalian.Kegiatan 9.2 Menentukan Rata-rata (Mean) suatu DataPada saat upacara bendera, kita sering memerhatikan teman-teman kita.Terkadang tanpa sadar kita membandingkan tinggi rendah siswa dalam upacaratersebut. Ada yang tingginya 170 cm, 165 cm, 150 cm, atau bahkan 140 cm.Namun demikian, jika kita mencoba mendata tinggi tiap siswa, pasti hasilnyaakan mengacu pada suatu nilai tertentu, yang disebut rata-rata.Rata-rata merupakan salah satu contoh ukuran data. Dalam kegiatan ini kalianakan mempelajari rata-rata dan ukuran data lain meliputi ukuran pemusatan,ukuran letak, dan ukuran penyebaran data. Dengan mempelajari materi inidiharapkan kalian dapat menentukan ukuran pemusatan data dan dapatmenafsirkan kecenderungan suatu data dari data yang telah diketahui.Kurikulum 2013 MATEMATIKA 233AyoKita AmatiPernahkah kalian mengetahui berapa usia presiden dan wakil presiden Indonesiasaat pertama kali menjabat? Tahukah kalian, bahwa di antara presiden danwakil presiden yang pernah menjabat, Mohammad Hatta adalah yang palingmuda. Mohammad Hatta menjabat sebagai wakil presiden saat usia 43 tahun.Soekarno menjabat sebagai presiden saat beliau berusia 44 tahun. Apakahmungkin seseorang yang berusia 40 tahun bisa menjadi presiden atau wakilpresiden? Usia berapa pejabat negara yang pernah menjadi presiden dan wakilpresiden di Indonesia? Perhatikan tabel berikut Tabel 9.2 Data presiden dan wakil presiden yang pernah menjabat di IndonesiaNama Lahir Dilantik Usia saat Wafat Usia pertama dilantik pertama kali kaliSoekarno 9 Juni 1901 1945 44 21 Juni 69 1970Mohammad 12 Agustus 1945 43 14 Maret 78Hatta 1902 1980Soeharto 8 Juni 1921 1967 46 27 Januari 87 2008Sri Sultan 12 April 1973 61 2 Oktober 76Hamengkubuwono 1912 1988IX234 Kelas VIII SMP/MTs Semester IINama Lahir Dilantik Usia saat Wafat UsiaAdam Malik pertama dilantik pertama kali kali 22 Juli 1978 5 1917 61 September 67 1984Umar 10 Oktober 1983 59 21 Februari 79 2003Wirahadikusumah 1924Sudharmono 12 Maret 1988 61 25 Jauari 79 1927 2006Tri Sutrisno 15 58 -- November 1993 1935Bacharuddin 25 Juni 1988 62 --Jusuf Habibie 1936Abdurrahman 7 30Wahid September 1999 59 Desember 69 1940 2009Kurikulum 2013 MATEMATIKA 235Nama Lahir Dilantik Usia saat Wafat Usia pertama dilantik pertama kali kaliMegawati 23 Januari 2001 54 --Sukarnoputri 1947Hamzah Haz 15 Februari 2001 61 -- 1940Susilo Bambang 9 2004 55 --Yudhoyono September 1949Jusuf Kalla 15 Mei 2004 62 -- 1942Boediono 25 Februari 2009 67 -- 1943Joko Widodo 21 Juni 2014 53 -- 1961236 Kelas VIII SMP/MTs Semester IIRata-rata atau mean merupakan salah satu ukuran untuk memberikangambaran yang lebih jelas dan singkat tentang sekumpulan data. Rata-ratamerupakan wakil dari sekumpulan data atau dianggap suatu nilai yang palingdekat dengan hasil pengukuran yang sebenarnya.Bagaimana cara kita untuk menentukan rata-rata? Lakukan beberapa kegiatandi bawah ini agar kamu dapat mengetahui rata-rata usia presiden dan wakilpresiden pertama kali menjabat.1. Coba kalian kumpulkan semua data usia presiden dan wakil presiden saat pertama kali dilantik.2. Jumlahkan seluruh bilangan yang menyatakan usia presiden dan wakil presiden saat pertama kali dilantik. Kemudian catat hasil penjumlahannya.3. Setelah kamu mendapatkan hasil dari langkah 2, bagilah nilai tersebut dengan jumlah presiden dan wakil presiden yang terdaftar pada tabel.Berdasarkan tabel tersebut, rata-rata usia presiden dan wakil presiden saatdilantik pertama kali adalah berusia 61 tahun.? Ayo Kita MenanyaJika jumlah seluruh presiden dan wakil presiden menyatakan banyaknya data,berapakah banyaknya data tersebut? Jika bilangan yang kamu dapatkan padanomor 3 di atas disebut dengan rata-rata (mean) usia presiden dan wakil presidensaat pertama kali dilantik, bagaimana rumus umum untuk mendapatkan rata-rata usia presiden dan wakil presiden saat pertama kali dilantik? Buatlahpertanyaan lain yang terkait dengan rata-rata, banyak data, dan jumlah data.Ajukan pertanyaan yang telah kalian buat kepada guru kalian.=+ Ayo Kita+ Menggali InformasiSalah satu ukuran pemusatan data adalah rata-rata atau mean. Langkah mudahuntuk menentukan rata-rata adalah menjumlahkan semua bilangan pada data,kemudian membaginya dengan banyak data. Seringkali nilai rata-rata yangdiperoleh tidak terdapat pada data yang diberikan. Untuk lebih memahamiya,yuk perhatikan beberapa contoh berikut.Kurikulum 2013 MATEMATIKA 237Contoh 9.1Tabel berikut meunjukkan curah hujan Kabupaten Sragen, Jawa Tengah tahun2014.Bulan Jan Feb Mar Apr Mei JunCurah Hujan (mm) 207,11 188,11 251,79 260,89 53,00 137,68Bulan Jul Agst Sept Okt Nov DesCurah Hujan (mm) 41,95 4,37 2,68 9,89 295,84 271,26Sumber: http://sragenkab.bps.go.id/LinkTabelStatis/view/id/20Tentukan rata-rata curah hujan di Kabuaten Sragen sepanjang tahun 2014.AlternatifPenyelesaianRata-rata curah hujan Kabupaten Sragen sepanjang tahun 2014 adalah207,11 + 188,11 + 251,79 + 260,89 + 53,00 + 137,68 +41,95 + 4,37 + 2,68 + 9,89 + 295,84 + 271,26 = 1.724,57 =143,71 12 12Jadi, rata-rata curah hujan di kabupaten Sragen adalah 143,71 mm di tahun2014.Dalam suatu kumpulan data, adakalanya terdapat satu nilai data yang jauhlebih besar atau jauh lebih kecil daripada nilai-nilai yang lainnya. Ketika nilaitersebut dimasukkan ke dalam kumpulan data akan memengaruhi nilai rata-rata. Perhatikan contoh berikut.Contoh 9.2Tabel di bawah menunjukkan nomor sepatu anak yang mewakili sekolahdalam ajang pekan olahraga di kabupaten.a. Tentukan nilai yang dapat memengaruhi nilai rata-rata.b. Tentukan rata-rata dengan dan tanpa nilai dari poin a.238 Kelas VIII SMP/MTs Semester IINomor Sepatu Anak-anak yang Mewakili POR 40 37 39 40 42 38 38 37 28 40 Alternatif Penyelesaiana. Berdasarkan data dalam tabel, kita bisa mengetahui nilai yang dapat memengaruhi nilai rata-rata dengan membuat plot data seperti berikut. 26 28 30 32 34 36 38 40 42 Nomor sepatu yang berukuran 28 jauh lebih kecil dibandingkan dengan ukuran sepatu lainnya. Jadi, nomor sepatu berukuran 28 adalah data yang dapat memengaruhi rata-rata.b. Rata-rata dengan data 28. 40 + 37 + 39 + 40 + 42 + 38 + 38 + 37 + 28 + 40 = 379 = 37,9 10 10 Rata-rata tanpa data 28. 40 + 37 + 39 + 40 + 42 + 38 + 38 + 37 + 40 = 351 = 39 9 9 Perhatikan bahwa rata-rata dengan dan tanpa megikutsertakan 28 dalam kumpulan data memiliki nilai yang berbeda. Sehingga, rata-rata tanpa nilai 28 lebih baik untuk menyatakan nomor sepatu. Contoh 9.3Rata-rata nilai ulangan Matematika susulan dari 11 orang siswa adalah7,2. Jika nilai ulangan Romi tidak diikutkan karena dia mengakui bahwadia mendapatkan jawabannya dari hasil menyontek, nilai rata-rata tersebutberubah menjadi 7,0. Tentukan nilai ulangan Romi. Kurikulum 2013 MATEMATIKA 239AlternatifPenyelesaianRata-rata (Mean) = jumlah nilai seluruh data banyak data 7,2 = x1 + x2 + ... + x11 , sehingga 9 Jumlah nilai seluruh data, yakni x1 + x2 + ... + x11 = 79,2.Jika nilai Romi adalah x11 dikeluarkan, maka7,0 = x1 + x2 + ... + x10 , sehingga 7,0 = 79,2 – x11 9 10 70 = 79,2 – x11 x11 = 79,2 – 70 = 9,2Jadi, nilai ulangan Matematika Romi yang tidak diikutsertakan adalah 9,2. Ayo Kita Menalara. Buatlah dua kelompok data yang berbeda yang terdiri atas enam nilai dan memiliki rata-rata 21 untuk tiap-tiap kelompok.b. Apakah nilai rata-rata selalu terdapat dalam kumpulan data?c. Jika x menyatakan jumlah seluruh nilai dari suatu data umum dan n menyatakan banyaknya data, bagaimana menentukan rumus umum dari mean?d. Kalian telah mempelajari cara menentukan mean dari data yang diberikan. Nah, dengan menggunakan kalimat kalian sendiri, bagaimanakah cara kalian menentukan mean suatu data yang disajikan dalam bentuk tabel (biasanya disebut tabel distributif frekuensi) seperti berikut?240 Kelas VIII SMP/MTs Semester IITabel 9.3 Tabel Nilai Ulangan IPA Siswa Kelas VIIIANilai 456789 10 2Frekuensi 4 5 5 8 7 4Ayo Kita BerbagiDiskusikan hasil penalaran kalian dengan teman sebangku kalian. Setelah itu,sampaikan hasil diskusi kalian di depan kelas.?! Ayo Kita Berlatih 9.21. Tentukan rata-rata dari data yang diberikan berikut. a. 11, 12, 12, 12, 12, 13, 14 b. 108, 103, 98, 105, 85, 112, 119, 82, 94, 115, 126 c. 40, 50, 55, 60, 8, 37, 50 d. Pengunjung di klinik kesehatan gigi Jumlah pengunjung di klinik gigi Banyak Pengunjung 35 31 30 28 25 20 16 17 15 12 10 8 50 0 1234567 Hari ke-2. Mean dari 12 data adalah 6,5. Tentukan jumlah seluruh data tersebut. Kurikulum 2013 MATEMATIKA 241 Page 2
7. Tentukan luas trapesium di bawah ini. 1 11 30° 30°8. Perhatikan gambar segitiga ABC di bawah ini. Diketahui ∠ABC = 90°, ∠CDB = 45°, ∠CAB = 30°, dan AD = 2 cm. Tentukan panjang BC. C A DB9. Perhatikan balok ABCD.EFGH E H G di samping. A D F Jika besar ∠BCA = 60o, C tentukan: 24 dm B a. panjang AC, b. luas bidang ACGE.10. Gambar di samping adalah jaring- 4 cm 4 cm 4 cm4 cm jaring piramida segitiga. b a. Berapakah panjang b? b. Berapakah luas permukaan piramida?42 Kelas VIII SMP/MTs Semester II6Ayo Kita Mengerjakan ProjekKumpulan mangkuk qi qiao di sampingdapat disusun menjadi persegi denganukuran 37 cm × 37 cm atau bentuk lain.Setiap mangkuk memiliki kedalaman 10cm. Biasanya digunakan untuk menyajikanpermen, kacang-kacangan, kismis, ataumakanan ringan lainnya.Qi qiao atau tangram ini berasal dari Cinadan terdiri dari tujuh bagian, yakni limasegitiga siku-siku sama kaki, persegi, dan jajargenjang. Tangram tersebutdapat disusun menjadi persegi atau ratusan bentuk lainnya (di bawah inibeberapa bentuk lainnya dari susunan tangram).a. Jika luas persegi berwarna merah adalah 4 cm2, tentukan ukuran keenam bangun penyusun tangram lainnya.b. Tentukan susunan tangram yang membentuk Angsa serta Kuda dan Pengendaranya.c. Buatlah tujuh bentuk benda/objek lain dari tangram. angsa kucing kelinci kuda danKurikulum 2013 pengendaranya MATEMATIKA 436Ayo Kita MerangkumPertanyaan berikut akan membantu kalian untuk merangkum apa yangtelah kalian pelajari.1. Nyatakan teorema Pythagoras.2. Jika diketahui panjang dua sisi suatu segitiga siku-siku, bagaimana cara kalian menentukan panjang sisi yang ketiga?3. Bagaimanakah cara kalian menentukan suatu segitiga adalah segitiga siku-siku jika hanya diketahui panjang ketiga sisinya?4. Apakah kelipatan suatu tripel Pythagoras adalah tripel Pythagoras juga? Jelaskan.5. Bagaimanakah hubungan panjang sisi-sisi segitiga siku-siku sama kaki?6. Bagaimanakah hubungan panjang sisi-sisi segitiga siku-siku yang salah satu sudutnya 60°?7. Bagaimanakah cara kalian menentukan panjang sisi persegi jika kalian mengetahui luasnya?8. Bagaimanakalianmenentukanpanjangruasgarisyangmenghubungkan dua titik pada bidang Kartesius?9. Jelaskan dengan menggunakan kalimat dan simbol-simbol untuk menentukan a. panjang diagonal persegi yang panjang sisinya s. b. panjang diagonal persegi panjang yang panjang sisinya p dan l. c. tinggi segitiga sama sisi yang panjang sisinya s.10. Carilah permasalahan nyata yang dapat diselesaikan dengan teorema Pythagoras sekaligus tentukan selesaiannya. Pada segitiga siku-siku terdapat hipotenusa, yakni sisi yang paling panjang dan berada di hadapan sudut siku-siku. Teorema Pythagoras menyatakan bahwa dalam segitiga siku-siku berlaku jumlah kuadrat sisi siku-sikunya sama dengan kuadrat hipotenusanya. Jika a, b, dan c panjang suatu segitiga dan ketiganya merupakan bilangan asli, serta memenuhi teorema Pythagoras, maka a, b, c disebut tripel Pythagoras. Jika a, b, dan c adalah sisi-sisi suatu segitiga dan c adalah sisi terpanjang, serta memenuhi persamaan a2 + b2 = c2, maka segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku.44 Kelas VIII SMP/MTs Semester II? 6=++ Uji KompetensiA. Pilihan Ganda1. Diketahui segitiga KLM dengan panjang sisi-sisinya k, l, dan m. Pernyataan berikut yang benar dari segitiga KLM adalah .... A. Jika m2 = l2 + k2, besar ∠K = 90o. B. Jika m2 = l2 − k2, besar ∠M = 90o. C. Jika m2 = k2 − l2, besar ∠L = 90o. D. Jika k2 = l2 + m2, besar ∠K = 90o.2. Perhatikan gambar berikut. PPanjang sisi PQ = ... cm. 26 cmA. 10 C. 13B. 12 D. 14 Q 24 cm R3. Diketahui kelompok tiga bilangan berikut.(i) 3, 4, 5 (iii) 7, 24, 25(ii) 5, 13, 14 (iv) 20, 21, 29Kelompok bilangan di atas yang merupakan tripel Pythagoras adalah ....A. (i), (ii), dan (iii) C. (ii) dan (iv)B. (i) dan (iii) D. (i), (ii), (iii), dan (iv)4. (i) 3 cm, 5 cm, 6 cm (iii) 16 cm, 24 cm, 32 cm(ii) 5 cm, 12 cm, 13 cm (iv) 20 cm, 30 cm, 34 cmUkuran sisi yang membentuk segitiga lancip ditunjukkan oleh ....A. (i) dan (ii) C. (ii) dan (iii)B. (i) dan (iii) D. (iii) dan (iv)Kurikulum 2013 MATEMATIKA 455. Diketahui suatu layang-layang berkoordinat di titik K(−5, 0), L(0, 12), M(16, 0), dan N(0, −12). Keliling layang-layang KLMN adalah ....A. 33 satuan C. 66 satuanB. 52 satuan D. 80 satuan6. Jika segitiga siku-siku PQR dengan panjang sisi siku-sikunya 4 dm dan 6 dm, maka panjang hipotenusa dari ∆PQR adalah ....A. 52 dm C. 2 13 dmB. 10 dm D. 26 dm7. Perhatikan peta yang dibuat Euclid di bawah. 5Y SPBU 4Stadion 3Taman Kota 2 Museum 7X 1 123456−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1 −2 Penampungan HewanRumah Sakit −3 Makam Kantor Polisi −4 −5 Bangunan manakah yang berjarak 40 satuan? A. Taman Kota dan Stadion B. Pusat Kota dan Museum C. Rumah Sakit dan Museum D. Penampungan Hewan dan Kantor polisi46 Kelas VIII SMP/MTs Semester II8. Di antara ukuran panjang sisi segitiga berikut, manakah yang membentuk segitiga siku-siku?A. 10 cm, 24 cm, 26 cm C. 4 cm, 6 cm, 10 cmB. 5 cm, 10 cm, 50 cm D. 8 cm, 9 cm, 15 cm9. Suatu segitiga siku-siku memiliki panjang hipotenusa 17 cm dan panjang salah satu sisi tegaknya adalah 15 cm. Panjang sisi tegak lainnya adalah ....A. 6 cm C. 12 cmB. 8 cm D. 16 cm10. Panjang hipotenusa dan tinggi suatu segitiga siku-siku berturut-turut 25 cm dan 24 cm. Keliling segitiga tersebut ...A. 49 cm C. 66 cmB. 56 cm D. 74 cm11. Panjang sisi siku-siku suatu segitiga siku-siku berturut-turut adalah 4a cm dan 3a cm. Jika panjang sisi hipotenusanya adalah 70 cm, keliling segitiga tersebut adalah ....A. 136 cm C. 168 cmB. 144 cm D. 192 cm12. Sebuah kapal berlayar ke arah utara sejauh 11 km kemudian kapal tersebut berbelok ke arah barat dan berlayar sejauh 9 km. Jarak kapal dari titik awal keberangkatan ke titik akhir adalah ....A. 102 km C. 202 kmB. 102 km D. 202 km13. Luas trapesium pada gambar di samping adalah ....a. 246 inci2 c. 276 inci2 5 incib. 266,5 inci2 d. 299 inci2 13 inciKurikulum 2013 18 inci MATEMATIKA 4714. Kubus KLMN.PQRS di samping P SR memiliki panjang rusuk 13 cm. K Q Panjang KM adalah .... A. 13,5 cm N M 13 cm L B. 13 2 cm C. 13 3 cm D. 13 6 cm15. Nilai x yang memenuhi gambar di (3x − 5) cm samping adalah .... 30 cmA. 5 C. 8 17 cmB. 7 D. 10 6 cm 15 cm16. Luas daerah yang diarsir dari 40 cm 10 cm gambar di samping adalah .... A. 5 dm2 B. 10 dm2 C. 12 dm2 D. 20 dm217. Perhatikan limas T.ABCD di T samping. Alas limas berbentuk persegi dengan panjang sisi 14 cm DC dan panjang TO = 24 cm. Panjang OE TE adalah .... A 14 cm B A. 25 cm B. 26 cm C. 27 cm D. 28 cm48 Kelas VIII SMP/MTs Semester IIA 18. Panjang sisi AB pada gambar di 24 cm samping adalah .... A. 12 cm= B. 12 2 cm C. 24 cm D. 24 2 cm =BCP 30° Q 19. Panjang sisi PR pada gambar berikut adalah .... 3 cm A. 3 cm C. 4 3 cm B. 3 3 cm D. 6 3 cm S 60° R D 20. Perhatikan gambar jajargenjang C ABCD berikut. 60°A 15 cm Luas jajargenjang ABCD adalah .... 12 cm A. 180 cm2 C. 90 cm2 B. 90 3 cm2 D. 90 3 cm2 BB. Esai.1. Tentukan nilai a pada gambar berikut. 3a + 4 3a + 2 a+4Kurikulum 2013 MATEMATIKA 492. Tentukan apakah ∆ABC dengan koordinat A(−2, 2) ,B(−1, 6) dan C(3, 5) adalah suatu segitiga siku-siku? Jelaskan.3. Buktikan bahwa (a2 − b2), 2ab, (a2 + b2) membentuk tripel Pythagoras.4. Perhatikan gambar di samping. Persegi D C ABCD mempunyai panjang sisi 1 satuan dan garis AC adalah diagonal.a. Bagaimana hubungan antara segitiga ABC dan segitiga ACD?b. Tentukan besar sudut-sudut pada salah A B satu segitiga di samping.c. Berapakah panjang diagonal AC? Jelaskan.d. Misalkan panjang sisi persegi ABCD 6 satuan. Apakah yang berubah dari jawabanmu pada soal b dan c? Jelaskan.5. Tentukan nilai x dari gambar di bawah ini.15 8 x6. Tentukan keliling segitiga ABC di bawah ini. 8 A 30° xB 60° DC50 Kelas VIII SMP/MTs Semester II7. Sebuah air mancur terletak di tengah perempatan jalan di pusat kota. Mobil merah dan mobil hijau sama-sama melaju meninggalkan air mancur tersebut. Mobil merah melaju dengan kecepatan 60 km/jam sedangkan mobil hijau 80 km/jam. a. Buatlah tabel yang menunjukkan jarak yang ditempuh kedua mobil dan jarak kedua mobil tersebut setelah 1 jam, 2 jam, dan 3 jam. Gambarkan perubahan jarak tersebut. b. Misalkan mobil merah melaju dengan kecepatan 40 km/jam. Setelah 2 jam jarak antara kedua mobil 100 km. Berapakah kecepatan mobil hijau pada saat itu? Keterangan: Jarak kedua mobil yang dimaksud adalah panjang ruas garis yang menghubungkan kedudukan dua mobil tersebut.8. Perhatikan gambar segitiga ABC di bawah ini. C A 8 cm D 30° Ba. Tentukan keliling segitiga ACD.b. Apakah hubungan antara keliling segitiga ACD dan ABC?c. Apakah hubungan antara luas segitiga ACD dan ABC?Kurikulum 2013 MATEMATIKA 519. Gambar di bawah ini merupakan balok ABCD.EFGH dengan panjang 10 dm, lebar 6 dm, dan tinggi 4 dm. Titik P dan Q berurut-urut merupakan titik tengah AB dan FG. Jika seekor laba-laba berjalan di permukaan balok dari titik P ke titik Q, tentukan jarak terpendek yang mungkin ditempuh oleh laba-laba. H Q GE F D C B A P10. Pada gambar di bawah ini, ketiga sisi sebuah segitiga siku-siku ditempel setengah lingkaran. 5 cm 4 cm 3 cm a. Tentukan luas setiap setengah lingkaran. b. Bagaimanakah hubungan ketiga luas setengah lingkaran tersebut?52 Kelas VIII SMP/MTs Semester IIBab 7 Lingkaran M O U S P R A αO PI BLingkaran merupakan salah satu bentuk geometri datar yang banyakkita temui dan kita manfaatkan dalam kehidupan sehari-hari. Lingkaranberguna dalam banyak bidang kehidupan, misal: olahraga, arsitektur,teknologi, dan lain-lain. Banyak alat olahraga yang memanfaatkan bentuklingkaran seperti pada bentuk lapangan silat, papan target panahan,dan keranjang basket. Bagi seorang arsitek, bentuk lingkaran dinilaimemiliki bentuk yang indah untuk mendekorasi rumah, maupun gedungperkantoran. Seperti bentuk pintu, jendela, atap rumah. Kemudian, padabidang teknologi bentuk lingkaran juga sering kita jumpai, seperti rodamobil, roda motor, setir mobil memanfaatkan bentuk lingkaran.Kurikulum 2013 MATEMATIKA 53• Lingkaran• Busur• Juring• Garis singgung Kompetensi Dasar3.7 Menjelaskan sudut pusat, sudut keliling, panjang busur, dan luas juring lingkaran, serta hubungannya.3.8 Menjelaskan garis singgung persekutuan luar dan persekutuan dalam dua lingkaran dan cara melukisnya.4.7 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sudut pusat, sudut keliling, panjang busur, dan luas juring lingkaran, serta hubungannya.4.8 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan garis singgung persekutuan luar dan persekutuan dalam dua lingkaran. Pengalaman Belajar1. Mengamati unsur-unsur lingkaran.2. Mengkritisi/menalar hubungan antar unsur lingkaran.3. Menemukan rumus menentukan panjang busur lingkaran.4. Menemukan rumus untuk menentukan luas juring lingkaran.5. Menemukan rumus menentukan garis singgung persekutuan dalam antara dua lingkaran.6. Menemukan rumus menentukan garis singgung persekutuan luar antara dua lingkaran.7. Melukis garis singgung lingkaran, serta garis singgung persekutuan dalam dan garis singgung persekutuan luar antara dua lingkaran.54 Kelas VIII SMP/MTs Semester IIKPoetnasep Menentukan hubungan antara sudut pusat dan sudut keliling Menentukan Menentukanrumus luas juring rumus panjang Lingkaran busurGaris singgung Garis singgung persekutuan persekutuan luar dalam dua lingkaran dua lingkaran 55Sejarah π (pi) Bilangan π adalah salah satu bilangan yang ditemukan sejak jaman dahulu. Bilangan itu menunjukkan perbandingan dari keliling terhadap diameter lingkaran. Beberapa orang jaman dulu menggunakan bilangan 3 sebagai bilangan π. Bilangan itu jauh dari keakuratan, namun bilangan itu mudah untuk digunakan dalam perhitungan. Bangsa Babilonia menggunakan bilangan yang Archimedes hampir akurat: 3 + 1. Kemudian orang Mesir(287 SM - 212 SM) 8 kuno, yang diperkirakan berusia 1650 Sebelum Masehi, menggunakan nilai π yaitu 4 × 8 × 8. 99Kemudian sekitar 250 Sebelum Masehi, seorang matematikawan Yunaniterkenal bernama Archimedes menggunakan poligon sebagai bantuanuntuk menemukan nilai π yaitu antara 223 dan 22. 71 7Pada abad ke-50, seorang matematikawanCina bernama Zu Chungzhi menemukanbilangan π yang lebih akurat daripadatemuan Archimedes. Nilai ini tersebut adalah335, dan enam satuan desimal π seperti yang113sekarang digunakan. Pada tahun 1400, seorangmatematikawan Persia bernama Al Kashimenemukan nilai π hingga 16 digit desimal. Gambar 7.1 SegienamDia menggunakan strategi Archimedes, namun dia melipatgandakan sisinya23 kali.William Jones, seorang matematikawan Inggris, memperkenalkansimbol modern untuk “pi” pada tahun 1700. Simbol “π” dipilih karenaπ di Yunani, pelafalan huruf π menyerupai huruf “p” singkatan perimeter(keliling lingkaran). Sejalan dengan berkembangnya teknologi, penemuannilai π telah lebih dari 1 triliun digit di belakang koma.Hikmah yang bisa diambil:1. Dengan kerja keras dan usaha pantang menyerah akan menghasilkan sesuatu yang kita harapkan.2. Saling menghormati pendapat orang lain, meskipun berbeda dengan pendapat kita. Sumber: camphalfblood.wikia.com56Kegiatan 7.1 Mengenal LingkaranMateri tentang lingkaran telah kalian pelajari ketika masih SD. Di kelas VIIIini akan dipelajari lebih banyak tentang materi lingkaran. Banyak hal yangakan dipelajari pada bab tentang lingkaran. Sebelum mempelajari lebih jauhBab Lingkaran, mari mengenal lebih dulu “apa itu lingkaran?”.Untuk mengenal lingkaran, mari amati gambar-gambar yang menunjukkanlingkaran dan bukan lingkaran berikut.AyoKita AmatiTabel 7.1 Contoh dan bukan contoh lingkaranLingkaran Bukan LingkaranBerupa kurva tutup Kurva bukar4 r1 r4 r1 O r2 r3 O r2r3 r1 = r2 = r3 = r4 Keterangan:Keterangan: r1, r2, r3, dan r4 adalah jarak titikr1, r2, r3, dan r4 adalah jarak titik pada kurva terhadap titik pusat O.pada kurva terhadap titik pusat O.Dari pengamatan kalian terhadap gambar di atas, coba jelaskan pengertianlingkaran dengan kalimat kalian sendiri.Kurikulum 2013 MATEMATIKA 57Lingkaran merupakan salah satu kurva tutup sederhana yang membagi bidangmenjadi dua bagian, yaitu bagian dalam dan bagian luar lingkaran.Nama lingkaran biasanya sesuai dengan nama rPtitik pusatnya. Pada gambar di samping contohbentuk lingkaran dengan pusat titik P, bisa disebutlingkaran P. Jarak yang tetap antara titik padalingkaran dengan pusat lingkaran dinamakan jari-jari, biasanya disimbolkan r.Selain titik pusat dan jari-jari, masih banyak istilah yang berkaitan denganlingkaran yang akan kita pelajari pada Kegiatan 7.1. Dengan pemahamantentang istilah-istilah tersebut kalian bisa memecahkan berbagai masalah yangterkait dengan lingkaran.Seperti yang diungkapkan pada pengantar Bab Lingkaran, bentuk-bentuklingkaran banyak kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari. Berikut inibeberapa masalah sehari-hari yang berkaitan dengan lingkaran. Bisakah kalianmenemukan solusinya?Masalah 7.1Seorang tukang kayu yang membuat Sumber themailbox.comperalatan rumah tangga, perlu untuk Gambar 7.1.a Tukang kayumemotong papan yang berbentuk persegiatau persegi panjang menjadi lingkaran.Tukang kayu tersebut menemui masalahuntuk menentukan titik pusat lingkaranyang akan dibuat. Dapatkah kalianmembantu tukang kayu agar mendapatkanbentuk lingkaran sebesar mungkin daripapan-papan tersebut?58 Kelas VIII SMP/MTs Semester IIAlternatifPemecahan MasalahLangkah 1: Sketsalah bentuk persegi pada Sumber encrypted-tbn2.gstatic.com papan tersebut. Gambar 7.1.b Papan kayuLangkah 2: Gambarlah kedua diagonal persegi tersebut hingga bertemu di satu titik.Langkah 3: Lingkaran bisa digambar dengan pusat titik tersebut dan jari-jari setengah panjang sisi persegi. Masalah 7.2 Gambar di samping adalah foto salah satu peninggalan sejarah, yaitu stonehenge yang berada di Inggris. Seorang arkeolog menduga, bentuk utuh stonehengeSumber: jonosbrothers.wordpress.com adalah lingkaran. Namun dia Gambar 7.2 Stonehenge tidak bisa menentukan berapakah jari-jari lingkaran dari susunanstonehenge, karena bentuknya hanya berupa busur. Andaikan kalian menjadipenemu tersebut, apa yang kalian lakukan untuk menentukan posisi titk pusatstonehenge dan membuat sketsa lingkaran. Alternatif Pemecahan MasalahLangkah 1: Buatlah sketsa dari bentuk stonehenge tersebut.Langkah 2: Buatlah dua ruas garis yang terbentuk dari dua pasang titik berbeda pada lingkaran. (2 garis tidak boleh sejajar)Kurikulum 2013 MATEMATIKA 59Langkah 3: Buatlah garis bagi tegak lurus (garis sumbu) pada kedua ruas garis yang kalian buat. Kedua garis bagi tersebut berpotongan tepat di satu titik. Titik tersebut adalah titik pusat lingkaran.Langkah 4: Ukurlah jarak antara titik pusat tersebut dengan suatu titik pada lingkaran (model stonehenge), yang selanjutnya disebut jari-jari.Langkah 5: Dengan titik pusat dari jari-jari tersebut kalian bisa menggambar ukuran utuh stonehenge.Pertanyaan kritisPada Langkah 2, ada catatan, bahwa 2 garis yang dibuat tidak boleh sejajar,mengapa?Dari dua contoh permasalahan tersebut, telah disajikan manfaat lingkarandalam kehidupan tukang kayu dan arkeolog. Untuk mengikuti langkah-langkah tersebut tentunya bukan permasalahan yang susah. Yang menjadimasalah adalah “Mengapa langkah-langkah tersebut benar?”. Untuk menjawabpertanyaan tersebut, kalian harus lebih dulu memahami istilah-istilah yangterkait dengan lingkaran, selanjutnya disebut unsur-unsur lingkaran. Masihbanyak lagi permasalahan yang bisa kalian cari solusinya dengan memahamiunsur-unsur lingkaran. Pada Kegiatan 7.1, kalian akan akan melakukanaktivitas untuk memahami pengertian unsur-unsur lingkaran serta hubunganantarbeberapa unsur lingkaran.Memahami Unsur-unsur LingkaranDalam kegiatan ini kalian diajak untuk memahami unsur-unsur lingkaranmelalui pengamatan terhadap gambar dan ciri-ciri unsur lingkaran. Denganmelakukan pengamatan tersebut, diharapkan kalian akan memahami unsur-unsur lingkaran.Unsur-unsur yang akan kita pelajari pada Kegiatan 7.1 ini antara lain :a. Unsur lingkaran berupa ruas garis atau kurva lengkung: busur, tali busur, jari-jari, diameter, apotema.b. Unsur lingkaran berupa luasan: juring, tembereng.60 Kelas VIII SMP/MTs Semester IIBerikut disajikan bentuk masing-masing unsur lingkaran yang dimaksud diatas. Perhatikan bagian dengan tanda warna merah, serta ciri-ciri dari setiapunsur tersebut. Silakan kalian merangkai kalimat dari pemahamam kalianterhadap gambar dan ciri-ciri yang disajikan berikut. Ayo Kita AmatiA. Unsur-unsur Lingkaran yang Berupa Garis dan Ciri-cirinyaCiri-ciri Busur1. Berupa kurva lengkung.2. Berhimpit dengan lingkaran.3. Jika kurang dari setengah lingkaran (sudut pusat < 180o) disebut busur minor.4. Jika lebih dari setengah lingkaran (sudut pusat > 180o) disebut busur mayor.5. Busur setengah lingkaran berukuran sudut pusat = 180o.Keterangan :Untuk selanjutnya, jika tidak disebutkan mayor atau minor, maka yangdimaksud adalah minor.Simbol: AD, ACD, dan RST D R minor DAO AP T Q mayor C S Setengah lingkaran Jari-jariCiri-ciri1. Berupa ruas garis.2. Menghubungan titik pada lingkaran dengan titik pusat.Kurikulum 2013 MATEMATIKA 61Penulisan simbol: OD, PM , dan QS M DOP Q S DiameterCiri-ciri1. Berupa ruas garis.2. Menghubungkan dua titik pada lingkaran.3. Melalui titik pusat lingkaran.Penulisan simbol: BD , JM , dan SUDM Q UO PS BJ Tali busurCiri-ciri1. Berupa ruas garis.2. Menghubungkan dua titik pada lingkaran.Penulisan simbol: FE , IR, dan SU FR UO P Q E I S62 Kelas VIII SMP/MTs Semester IIApotemaCiri-ciri1. Berupa ruas garis.2. Menghubungkan titik pusat dengan satu titik di tali busur.3. Tegak lurus dengan tali busur.Penulisan simbol: OG, PQ F∟ ∟ R Tidak memilikiOG apotema terhadap Q tali busur SU (di E P Gambar tali busur) IB. Unsur-unsur Lingkaran yang Berupa Luasan serta Ciri-cirinya Juring Ciri-ciri 1. Berupa daerah di dalam lingkaran. 2. Dibatasi oleh dua jari-jari dan satu busur lingkaran. 3. Jari-jari yang membatasi memuat titik ujung busur lingkaran.A J mayor minor O P K QJ BG TemberengCiri-ciri1. Berupa daerah di dalam lingkaran.2. Dibatasi oleh tali busur dan busur lingkaran.AO J mayor K QJ minor B P GKurikulum 2013 MATEMATIKA 63Selain istilah yang disajikan, ada satu istilah lagi yang erat kaitannya denganlingkaran, yaitu sudut pusat. Perhatikan gambar dan ciri-cirinya berikut.Ciri-ciri Sudut Pusat1. Terbentuk dari dua sinar garis (kaki sudut).2. Kaki sudut berhimpit dengan jari-jari lingkaran.3. Titik sudut berhimpit dengan titik pusat lingkaran.Pada gambar di bawah ini sudut pusat AOB ditulis “∠AOB” atau “α”,sudut pusat JPG ditulis “∠JPG” atau “β”, dan sudut pusat KQJ ditulis“∠KQJ” atau “θ”.∠AOB ∠JPG ∠KQJA JP θJ αO βK Q G BKeterangan: Untuk istilah busur, juring, tembereng, maupun sudut, jika tidakdisebutkan secara spesifik minor atau mayor, maka kita sepakati minor.? Ayo Kita MenanyaDari hasil pengamatan, berikut ini hal-hal yang penting untuk ditanyakan.a. Apakah hubungan antara busur minor dengan busur mayor?b. Mengapa tidak ada apotema yang bersesuaian dengan diameter?Cobalah buat pertanyaan lain terkait dengan pengamatan kalian.64 Kelas VIII SMP/MTs Semester II+=+ Ayo Kita Menggali InformasiDari pengamatan kalian pada gambar-gambar unsur-unsur lingkaran, buatlahsketsa lain dari masing-masing unsur yang sudah kalian amati. Sketsatidak boleh sama dengan gambar pada pengamatan. Setelah itu, rangkailahpengertian tiap unsur tersebut dengan kalimat kalian sendiri. Kalian jugaboleh mencari dari sumber lain tentang pengertian unsur-unsur lingkaran(jangan takut salah). Mungkin kalian bisa membuat pengertian berbeda darisuatu unsur namun tetap memiliki makna sama.Untuk mengecek kebenaran pengertian yang kalian buat, kalian bisamengonsultasikan dengan guru di kelas atau mengecek pada buku sumberlain. Dengan begitu kalian bisa menghargai pengertian berbeda yang dibuatoleh teman yang lain.Sebenarnya, tujuan dari meminta kalian untuk membuat pengertian daripengamatan gambar dan melihat ciri-ciri unsur lingkaran yang disajikan adalahagar kalian memahami unsur tersebut bukan hanya menghafalkan redaksikalimat. Antarunsur-unsur lingkaran tersebut sebenarnya saling terkait. Untukmenambah pemahaman kalian tentang unsur lingkaran mari kita cermatihubungan antar unsur-unsur lingkaran.Tanggapan Kritis: Hubungan Antar Unsur LingkaranBerilah tanggapan (Ya/Tidak) terhadap pernyataan berikut serta berikanalasan.No. Pernyataan Ya/ Tidak1. Panjang diameter sama dengan 2 kali panjang jari-jari lingkaran.2. Jumlah panjang busur besar dengan busur kecil sama dengan keliling lingkaran.3. Busur adalah bagian dari keliling lingkaran.4. Keliling lingkaran adalah busur terbesar.5. Diameter adalah tali busur terpanjang.6. Apotema selalu tegak lurus dengan suatu tali busur.7. Luas tembereng sama dengan luas juring dikurangi segitiga yang sisinya adalah dua jari-jari yang membatasi juring dan tali busur pembatas tembereng.Kurikulum 2013 MATEMATIKA 65No. Pernyataan Ya/ Tidak8. Jika semakin besar luas suatu juring, maka ukuran sudut pusat yang bersesuaian dengan juring tersebut akan semakin besar juga.9. Jika semakin kecil panjang suatu busur, maka ukuran sudut pusat yang menghadap busur tersebut akan semakin kecil juga.Mungkin kalian bisa menemukan hubungan lain yang berbeda. Silakan kaliansebutkan suatu hubungan unsur-unsur pada lingkaran yang belum ada padapernyataan kritis tersebut.Ayo Kita MenalarBerikan tanggapan (Ya atau Tidak) terhadap pernyatan nomor 1 - 6 berikutserta berikan alasan kalian.No. Pernyataan Ya/ Tidak1. Setiap tali busur adalah diameter.2. Setiap diameter adalah tali busur.3. Lingkaran adalah busur terbesar.4. Pada tali busur yang berimpit dengan diameter, tali busur tersebut tidak memiliki apotema.5. Luas suatu juring sebanding dengan sudut pusat yang bersesuaian dengan juring tersebut.6. Panjang suatu busur sebanding dengan sudut pusat yang bersesuaian dengan busur tersebut.7. Misalkan diketahui suatu benda berbentuk lingkaran yang tidak diketahui letak titik pusatnya (misal piring berbentuk lingkaran). Bagaimana cara kalian menentukan diameter benda tersebut dengan akurat? Jelaskan.8. Jika diketahui keliling lingkaran adalah K satuan panjang, dan panjang busur minornya adalah x satuan panjang, tentukan panjang busur mayornya.66 Kelas VIII SMP/MTs Semester II9. Pada gambar di samping Sumber: wikipedia.org/wiki/Borobudur disajikan bangunan Candi Borobudur yang terletak di Magelang, Jawa Tengah. Di tengah candi tersebut terdapat stupa utama. Tandai dua titik pada alas stupa yang berbentuk lingkaran sedemikian sehingga dua titik tersebut adalah dua titik terjauh pada dinding stupa tersebut. Jelaskan alasannya.Ayo Kita BerbagiPresentasikan hasil dari kegiatan menalar yang kalian peroleh kepada temankalian sekelas. Sajikan pula pengertian dari unsur-unsur lingkaran dengankalimat kalian sendiri.?! Ayo Kita Berlatih 7.1 A. Pilihan Ganda 1. Suatu lingkaran mempunyai jari-jari 10 cm. Pada lingkaran tersebut terdapat tali busur AB, CD, EF, dan GH, dengan panjang berturut- turut 10 cm, 12 cm, 14 cm, dan 16 cm. Jika dari titik pusat lingkaran dibuat apotema terhadap masing-masing tali busur, apotema pada tali busur manakah yang terpanjang? A. AB B. CD C. EF D. GH 2. Diketahui pada suatu lingkaran terdapat empat busur, yaitu busur AB , CD, EF , dan GH. Panjang AB > panjang CD > panjang EF > panjang GH. Jika pada masing-masing busur tersebut dibuat sudut pusat yang bersesuaian, maka sudut pusat terkecil menghadap busur .... A. AB B. CD C. EF D. GHKurikulum 2013 MATEMATIKA 67B. Esai.1. Tentukan jari-jari lingkaran yang diketahui diameternya 13 cm.2. Apakah perpotongan dua diameter selalu di titik pusat?3. Perhatikan gambar di samping. A C l Garis k adalah garis sumbu tali busur AB. P D Garis l adalah garis sumbu tali busur CD. k Titik P adalah perpotongan garis sumbu k B dan l. Benarkah perpotongan kedua garis sumbu tersebut tepat di titik pusat? Jelaskan.4. Adakah tali busur yang lebih panjang dari diameter? Jelaskan.5. Apakah panjang apotema bisa lebih dari jari-jari? Jelaskan.6. Dua atau lebih lingkaran dikatakan konsentris jika berpusat di satu titik yang sama. Sebutkan minimal 3 benda (atau bagian benda) yang memuat hubungan konsentris.7. Diketahui 3 titik berbeda A, B, dan C tidak segaris. Buatlah lingkaran yang melalui 3 titik tersebut. AC B8. Diketahui 3 titik berbeda A, B, dan C tidak segaris. Buatlah juring setengah lingkaran yang melalui 3 titik tersebut. AC B Semester II68 Kelas VIII SMP/MTs9. Komentari pernyataan berikut dengan tanggapan “kadang-kadang”, “selalu”, atau “tidak pernah”. a. Ukuran busur mayor lebih dari 180. b. Sudut pusat busur minor adalah sudut lancip. c. Jumlah beberapa sudut pusat bergantung pada ukuran jari-jarinya. d. Tali busur adalah diameter.10. Berdasarkan gambar di samping, tentukan: C 60° Ga. m∠CGB; Bb. m∠BGE; DEc. m∠AGD; Ad. m∠DGE.11. Berdasarkan gambar di samping, (2x + 65)° Vtentukan: Za. m∠ZXV, X Wb. m∠YXW,c. m∠ZXY, Yd. m∠VXW. (4x + 15)°12. File Musik Perhatikan tabel berikut. Suatu survei dilakukan secara online untukmendapatkan informasi tentang banyak file musik yang dimiliki dandidapatkan melalui free download. Free Music Downloads How many free musica. Jika kalian membuat suatu diagram files have you collected? lingkaran dari informasi tersebut, 100 files or less 76% tentukan masing-masing ukuran sudut 101 to 500 files 16% pusat dari masing-masing kategori 501 to 1000 files 5% tersebut. More than 1000 files 3%b. Sketsalah busur yang sesuai denganmasing-masing kategori.c. Buatlah diagram lingkaran data tersebut.Kurikulum 2013 MATEMATIKA 6913. Tali busur AC dan FD berjarak sama A 10 C terhadap pusat G. Jika diameter dari B lingkaran tersebut adalah 52 cm, maka tentukan panjang AC dan DE. F E 10 G D14. Perhatikan dua argumentasi berikut, kemudian tentukan argumen yangsalah menurutmu. ___ ___Iqbal : Karena DG ⊥ BC , m∠BHD = m∠DHC = m_∠__CHG =m∠GHB = 9_0_°_, maka dapat dikatakan bahwa DG adalahg_a_r_is su_m__bu BC . ___ ___ ___Rusda: DG ⊥ BC , tetapi DG bukan garis sumbu BC karena DGbukan diameter.Keterangan: Garis sumbu adalah garis yang membagi suatu ruas garis menjadi dua bagian yang sama panjang.15. Perhatikan gambar berikut. C B O Pada gambar di samping, panjang AB = 12 cm dan AC = 16 cm. Titik O merupakan titik A pusat lingkaran. Hitunglah: a. jari-jari lingkaran O, b. luas daerah yang diarsir. 16. Rumah Makan Pak Anas Pak Anas memiliki suatu rumah makan di suatu daerah di Surabaya. Berikut ini denah rumah makan Pak Anas.70 Kelas VIII SMP/MTs Semester II2524 Pintu masuk2322 area antrian2120 Area tempat duduk19 Areampejealalayyaannan18171615 14 13 setiap segiempat pada gambar berukuran 12 0,5 meter × 0,5 meter11 Pak A1n0as ingin menata 1 meja dengan 4 kursi seperti pada gambar berikut 98pada area makan tersebut.7 kursi6 kursi kursi5 meja432 kursi1 1,5 meter 4 pembeli m1 e2mil3iki4cu5ku6p t7em8pat9 k1e0ti1k1a 1m2e1r3ek1a4 1d5ud1u6k1.7M18as1i9ng2-0masing tatanan direpresentasikan oleh lingkaran putus-putus sepertipada gambar di atas. Masing-masing tatanan harus ditempatkandengan ketentuan sebagai berikut.a. Masing-masing tatanan harus ditempatkan sekurangnya 0,5 meter dari dinding.b. Masing-masing tatanan harus ditempatkan sekurangnya 0,5 meter dari tatanan lain. Berapakah jumlah tatanan maksimum yang bisa dibuat oleh Pak Anas di area makan rumah makannya?Kurikulum 2013 MATEMATIKA 71Kegiatan 7.2 Menentukan Hubungan antara Sudut Pusat dengan Sudut KelilingPada kegiatan sebelumnya kalian sudah mengenal tentang istilah sudut pusatdan ciri-cirinya. Pada kegiatan ini kalian akan diperkenalkan dengan satuunsur lagi, yaitu sudut keliling.Sudut keliling adalah sudut yang kaki sudutnya berhimpit dengan talibusur, dan titik pusatnya berhimpit dengan suatu titik pada lingkaran.Pada Gambar 7.3, bisa kita amati sudut Akeliling ABC pada lingkaran O. Kaki-kakisudut ABC memotong lingkaran di titik A BOdan C. Dengan kata lain sudut keliling ABC Cmenghadap busur AC. Tahukan kalian,antara sudut keliling dan sudut pusat Gambar 7.3 Sudut keliling ABCyang menghadap busur sama mempunyaihubungan khusus. Mari mencari tahuhubungan tersebut melalui kegiatan 2berikut.Pengalaman belajar yang diharapkan setelah kalian melakukan kegiatan 2adalah:a. Menemukan hubungan antara sudut pusat dengan sudut keliling yang menghadap busur sama.b. Menemukan hubungan antarsudut keliling yang menghadap busur sama.c. Menemukan hubungan sudut yang saling berhadapan pada segiempat tali busur. Masalah 7.3Pada Gambar 7.3, bisa kita amati sudut keliling ABC (∠ABC) pada lingkaran O.Kaki-kaki ∠ABC memotong lingkaran di titik A dan C. Dengan kata lain72 Kelas VIII SMP/MTs Semester IIsudut keliling ABC menghadap busur AC (AC ). Tahukah kalian, antara sudutkeliling dan sudut pusat yang menghadap busur sama mempunyai hubungankhusus. Bagaimanakah hubungan tersebut?Pada kegiatan ini kita akan melakukan kegiatan untuk menemukan:1. hubungan antara sudut keliling dengan sudut pusat yang menghadap busur sama;2. hubungan antar sudut keliling lingkaran yang menghadap busur sama.Kita akan mencoba memahami hubungan antar unsur-unsur tersebut denganmelakukan aktivitas melipat-lipat kertas. Oleh karena itu pastikan kaliansudah mempersiapkan alat dan bahan berikut:Alat dan bahan:1. 1 buah jangka,2. 1 buah busur derajat,3. 1 buah gunting,4. 1 buah penggaris,5. 6 buah lembar kertas HVS. Ayo Kita AmatiSudut Keliling dan Sudut Pusat yang Menghadap Busur SamaSudut ∠AOB ∠KOL ∠MONpusat m∠AOB = 90° m∠KOL = 120° m∠MON = 60° menghadap AB menghadap MN menghadap KL B N 60° O A L M O K 120° OKurikulum 2013 MATEMATIKA 73Sudut ∠ACB ∠KDL ∠MEN dan ∠MFNkeliling m∠ACB = ...? m∠KDL = ...? m∠MEN = ...? dan menghadap AB menghadap KL m∠MFN = ...? AB menghadap MN L E O KO F C D NO MKeterangan: simbol "m∠" menyatakan ukuran sudut, sedang "∠" menyatakannama sudut.? Ayo Kita MenanyaSetelah melakukan pengamatan, kalian mungkin menemukan hal-hal yangmenarik untuk ditakan. Berikut ini beberapa contoh pertanyaan yang menarikuntuk ditanyakan:1. Bagaimanakah hubungan antara sudut pusat dengan sudut keliling yang menghadap busur sama?2. Bagaimanakah hubungan antara sudut keliling yang menghadap busur sama?Buatlah pertanyaan penting lainnya yang membuat kalian untuk mengetahuilebih banyak tentang sudut pusat dan sudut keliling lingkaran berdasarkanpengamatan tadi.+=+ Ayo Kita Menggali InformasiSebelum kegiatan menggali informasi coba berikan ide kalian menentukantitik pusat suatu kertas yang berbentuk lingkaran.Pada kegiatan Ayo Kita Amati kalian sudah mengamati tentang gambarsudut keliling dan sudut pusat yang menghadap busur sama. Yang menjadi74 Kelas VIII SMP/MTs Semester IIpermasalahan sekarang adalah:1. Berapakah ukuran sudut keliling, jika sudut pusatnya diketahui?2. Berapakah ukuran sudut pusat, jika sudut kelilingnya diketahui?Untuk mengetahui hubungan tersebut, kalian perlu mencarinya. Salah satucara untuk mencari tahu hubungan antara sudut pusat dengan sudut kelilingyang menghadap busur sama adalah dengan kegiatan melipat-lipat kertas.Ikuti kegiatan berikut.1. Buatlah sketsa dua lingkaran dengan jari-jari sama (misal 5 cm), lalu guntinglah dengan rapi.2. Lipatlah kedua lingkaran sehingga membentuk sudut pusat 90o. Lalu tandai 2 titik pada busur (ujung-ujung lipatan) yang terbentuk, misal titik A dan B.3. Buka lipatan salah satu lingkaran hingga menjadi bentuk semula, lalu lipat kembali membentuk sudut keliling tertentu yang masing-masing kaki sudutnya melalui titik A dan B. (Keterangan: Misal kaki sudut satu melalui titik A, maka kaki sudut lainnya melalui titik B)4. Bandingkan besar sudut keliling dengan sudut pusat yang telah kalian buat.5. Lakukan kembali langkah 1 sampai 4 untuk tiga sudut pusat berbeda.6. Gunakan busur derajat untuk mengukur besar sudut pusat yang kalian buat.7. Catatlah hasil percobaan kalian pada tabel berikut.Ukuran Ukuran ukuran sudut pusat sudut sudut ukuran sudut keliling pusat kelilingDari data yang kalian catat, simpulkan hubungan sudut keliling dengan sudutpusat.Kurikulum 2013 MATEMATIKA 75Ayo Kita MenalarPerhatikan gambar keenam pada kegiatan EAyo Kita Amati.1. Pada gambar tersebut, sebutkan sudut Fkeliling dan sudut pusat yang terbentuk. N O2. Kedua sudut keliling serta sudut pusat menghadap busur yang sama, yaitu ....3. Menurut kalian bagaimanakah hubungan M antara kedua sudut keliling tersebut? Jelaskan. Gambar 7.4 Dua sudut keliling menghadap busur sama4. Seandainya kalian membuat sebarang sudut keliling baru yang menghadapbusur MN. Bagaimanakah hubungan antara sudut keliling baru tersebutdengan sudut keliling MEN dan MFN?5. Seandainya kalian disuruh membuat semua sudut keliling yang menghadap busur MN. Berapa banyak sudut keliling yang bisa kalian buat?6. Bagaimanakah hubungan antarsudut keliling tersebut? Jelaskan.7. Bagaimanakah hubungan antara setiap sudut keliling tersebut dengan sudut pusat yang menghadap busur yang sama? Jelaskan.8. Seandainya kalian diberi suatu kertas yang berbentuk lingkaran. Bagaimanakah cara kalian membuat sudut keliling yang besarnya tepat 90o dengan cara melipat-lipat kertas tersebut? Jelaskan.Segiempat Tali Busur D C ASegiempat tali busur adalah segiempat yangkeempat titik sudutnya berimpit dengan suatu Blingkaran. Gambar 7.5 Segiempat taliPerhatikan segiempat tali busur ABCD berikut. busur ABCDDengan kegiatan menalar berikut, diharapkankalian mampu menemukan hubungan antaradua sudut yang saling berhadapan.1. Segiempat tali busur ABCD tersusun atas dua pasang sudut keliling yang saling berhadapan. Tuliskan kedua pasang sudut keliling tersebut.76 Kelas VIII SMP/MTs Semester II2. Amati busur yang dihadapi oleh masing-masing sudut keliling yang saling berhadapan. Bagaimanakah kedua busur tersebut?3. Kaitkan dengan hubungan sudut keliling dan sudut pusat yang telah kalian temukan. Lalu simpulkan hubungan antara dua sudut yang saling berhadapan pada segiempat tali busur tersebut. Ayo Kita BerbagiPresentasikan jawaban pada kegiatan menalar kalian pada teman-teman dikelas. Bandingkan dengan jawaban teman kalian yang lain.?! Ayo Kita Berlatih 7.2 A. Pilihan Ganda 1. Diketahui pada lingkaran O, terdapat sudut pusat AOB dan sudut keliling ACB. Jika besar sudut AOB adalah 30o, maka besar sudut ACB adalah .... A. 15O C. 45O B. 30O D. 60o 2. Diketahui segitiga ABC, dengan titik-titik sudutnya berada pada lingkaran O. Jika sisi AB melalui pusat lingkaran O, maka besar sudut BCA adalah .... A. 30O C. 90O B. 45O D. 120o B. Esai 1. Suatu sudut keliling dan sudut pusat menghadap busur yang sama. Jika sudut pusat berukuran 130o, maka besar sudut keliling tersebut adalah ....Kurikulum 2013 MATEMATIKA 772. Diketahui sudut pusat POQ dan sudut keliling PAQ sama-sama menghadap busur PQ. Besar sudut PAQ adalah 80o. Tentukan besar sudut POQ.3. Perhatikan gambar di samping. N Diketahui m∠MAN adalah 120o. Tentukan O besar m∠MON. A M4. Perhatikan segiempat PQRS di samping. S Diketahui m∠PQR = 125°, m∠QRS = 78°. Tentukan:a. m∠SPQ Pb. m∠RSP R Q5. Perhatikan lingkaran O di samping. A Diketahui m∠BAD = x + 20, m∠BCD = 3xTentukan: Oa. m∠BOD minor Db. m∠BOD mayor BC6. Suatu lingkaran dibagi menjadi tiga sudut pusat dengan perbandingan 3 : 5 : 10. Tentukan ukuran masing-masing sudut pusat tersebut.7. Sudut pusat 1, 2, dan 3 mempunyai perbandingan 1 2 : 3 : 4. Tentukan ukuran masing-masing sudut 32 pusat tersebut.78 Kelas VIII SMP/MTs Semester IIKegiatan 7.3 Menentukan Panjang Busur dan Luas JuringPada kegiatan sebelumnya kalian sudah mendapatkan informasi tentang ciri-ciri sudut pusat, panjang busur, dan juring lingkaran. Panjang busur sebandingdengan sudut pusat yang menghadapnya. Begitupun luas juring sebandingdengan sudut pusat yang bersesuaian dengan juring tersebut. Perhatikanbagian yang berwarna merah pada gambar berikut.AyoKita Amati A A Oα Oα( B BSudut pusat AOB atau ∠AOB Busur AB atau AB A A Oα Oα B BSudut pusat AOB atau ∠AOB Luas Juring AOBDari ilustrasi di atas kita bisa amati panjang busur AB bersesuaian dengansudut pusat α, begitupun luas juring AOB bersesuaian dengan sudut pusat α.Ukuran sudut pusat lingkaran adalah antara 0° hingga 360°.Kurikulum 2013 MATEMATIKA 79+? Ayo Kita MenanyaSetelah kita mengamati ilustrasi pada Kegiatan Ayo Kita Amati, mungkinmuncul beberapa pertanyaan sebagai berikut.1. Bagaimana hubungan antara sudut pusat dengan panjang busur lingkaran?2. Bagaimana hubungan antara sudut pusat dengan luas juring lingkaran?Jika ada pertanyaan lain yang muncul di benak kalian, silakan disampaikankepada guru di kelas. =+ Ayo Kita Menggali InformasiPada kegiatan ini, akan kita cari tahu hubungan antarsudut pusat denganpanjang busur, serta sudut pusat dengan luas juring.Masih ingatkah kalian dengan rumus keliling dan luas lingkaran yang sudahkalian peroleh ketika SD dulu.Rumus keliling lingkaran yaitu …Rumus luas lingkaran yaitu …Mungkin, dulu kalian bertanya “Mengapa rumusnya seperti itu?” atau “Darimanakah asal mula rumus itu?”. Dalam kedua rumus tersebut, terdapat suatukonstanta yang tentu, yaitu π (pi). Tahukah kalian dari manakah asal mulabilangan pi. Pada kegiatan ini kita akan mengetahui asal usul bilangan π, sertarumus keliling dan luas lingkaran.Sudah Tahukah Kalian Sejarah π (pi) Bilangan π adalah salah satu bilangan yang ditemukan sejak jaman dahulu. Bilangan itu menunjukkan perbandingan dari keliling terhadap diameter lingkaran. Beberapa orang jaman dulu menggunakan bilangan 3 sebagai bilangan π.80 Kelas VIII SMP/MTs Semester IIBilangan itu jauh dari keakuratan, namun bilangan itu mudah untuk digunakan dalam perhitungan. Orang Babilonia menggunakan bilangan yang hampir akurat: 3 + 1. Kemudian 8 orang Mesir kuno, yang diperkirakan berusia 1650 Sebelum Masehi, menggunakan nilai π yaitu 4 × 8 × 8. Kemudian sekitar 250 Sebelum 99 Masehi, seorang matematikawan Yunaniterkenal bernama Archimedes menggunakan poligon sebagai bantuanuntuk menemukan nilai π yaitu antara 223 dan 22. 71 7 Pada abad ke-50, seorang matematikawan Cina bernama Zu Chungzhi bilangan π yang lebih akurat daripada temuan Archimedes. Nilai ini tersebut adalah 335, dan enam 113 satuan desimal π seperti yang sekarang digunakan. Pada tahun 1400, seorangmatematikawan Persia bernama Al Kashi menemukan nilai π hingga 16digit desimal. Dia menggunakan strategi Archimedes, namun diamelipatgandakan sisinya 23 kali.William Jones, seorang matematikawan Inggris, memperkenalkan simbolmodern untuk “pi” pada tahun 1.700. Simbol “π” dipilih karena π diYunani, pelafalan huruf π menyerupai huruf “pi” singkatan perimeter(keliling lingkaran). Sejalan dengan berkembangnya teknologi, penemuannilai π telah lebih dari 1 triliun digit di belakang koma.Nilai konstanta π yang sekarang kita kenal adalah rasio antara kelilinglingkaran dengan diameternya. Jika dinyatakan dengan simbolK = π. Dengan kata lain = ... ×… . Karena d = 2r, maka hubungandtersebut dapat juga dinyatakan K = ___________ Sumber: camphalfblood.wikia.comKurikulum 2013 MATEMATIKA 817.1Ayo Kita Mengerjakan ProjekMenemukan nilai π1. Kumpulkan 10 benda yang berbentuk lingkaran.2. Ukurlah keliling (K) dan diameter (d) sepuluh benda tersebut menggunakan pita pengukur. Catatlah hasil dari setiap pengukuran tersebut pada tabel di bawah.3. Hitunglah nilai dari K hingga angka seperseratusan terdekat untuk d masing-masing benda. Catatlah hasil perhitungan tersebut pada kolol keempat.4. Buatlah dugaan tentang nilai K yang kalian peroleh. d Benda Nama benda Keliling Diameter K ke- (K) (d) d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1082 Kelas VIII SMP/MTs Semester IIPertanyaan KritisBerikan tanggapan “Ya” apabila setuju dengan pernyataan berikut, dantanggapan “Tidak” apabila tidak setuju dengan pernyataan berikut dengancara melingkari. Serta berikan alasan argumentatif terhadap tanggapanmu.No Pernyataan Ya/Tidak1 Semakin besar diameter suatu benda berbentuk lingkaran, semakin panjang pula kelilingnya.2 Apabila K adalah keliling lingkaran dan d adalah diameter lingkaran. Semakin besar suatu bendaberbentuk lingkaran, maka semakin besar pula nilai K . d 7.2Ayo Kita Mengerjakan ProjekDengan memotong lingkaran menjadi potongan juring yang sama, kitadapat menyusunnya menjadi bentuk yang menyerupai jajargenjang sepertipada gambar di bawah ini. Perhatikan bahwa panjang sisi bagian bawahdan atas persegi panjang tersebut adalah setengah dari keliling lingkaran. πrr 2πr rTinggi bentuk yang menyerupai jajargenjang tersebut sama dengan jari-jarilingkaran. Ingat bahwa luas jajargenjang adalah hasil kali dari alas dengantingginya. Sehingga didapat rumus luas lingkaran L = (πr)(r) = πr2Projek kalianTemukan rumus luas lingkaran dengan pendekatan bangun datar lain.Kurikulum 2013 MATEMATIKA 83Pada kegiatan sebelumnya kalian diajak untuk menemukan pendekatan nilaikonstanta π dan mengecek rumus luas dan keliling lingkaran. Kegiatan tersebutuntuk memahamkan lagi tentang keliling dan luas lingkaran yang sudah kaliandapatkan ketika masih di SD.Pada kegiatan ini kita akan mencari tahu hubungan antara luas lingkaran,sudut pusat, dan luas juring lingkaran, serta keliling lingkaran, sudut pusat,dan panjang busur lingkaran.AyoKita AmatiMenurut kalian berapakah keliling lingkaran di samping. Tentujika jari-jari lingkaran tersebut diketahui, dengan mudah kitabisa menentukan keliling lingkaran tersebut. Namun bagaimanakalau yang ditanyakan hanya panjang suatu busurnya saja?Pada kegiatan kita ini, kita akan menentukan rumus untukmenentukan panjang busur suatu lingkaran. Untuk menentukan rumus panjangbusur, mari kita amati hubungan antara sudut pusat, keliling, dan panjangbusur lingkaran.Garis yang berwarna merah adalah gambar busur lingkaran yang bersesuaiandengan sudut pusat yang bersesuaian dengan busur. Lengkapi sel yang masihkosong pada Tabel 7.3 berikut.Tabel 7.3 Hubungan antara sudut pusat dengan busur lingkaranGambar busur Rasio sudut Rasio panjang pusat α busur terhadap keliling lingkaran terhadap 360° panjang busur α keliling lingkaran 360°270° 270° = 3 3 360° 4 484 Kelas VIII SMP/MTs Semester IIGambar busur Rasio sudut Rasio panjang 180° pusat α busur terhadap keliling lingkaran terhadap 360° panjang busur α keliling lingkaran 360° 180° 1 1 360° = 2 2120° 120° = 1 1 360° 3 390° 90° = 1 1 360° 4 4 60° 60° 1 1Kurikulum 2013 360° = 6 6 MATEMATIKA 85Ayo Kita AmatiSetelah mengamati hubungan antara busur dengan sudut pusat, sekarang marikita amati hubungan antara juring dengan sudut pusat yang bersesuaian.Jika jari-jari dan sudut pusat ketiga gambar di bawah ini diketahui, dapatkahkalian menentukan luas ketiga daerah yang diwarnai merah?A B C α βUntuk menentukan luas lingkaran A tentunya mudah jika kita memahamirumus luas lingkaran. Namun bagaimana dengan luas juring pada lingkaran Bdan lingkaran C?Mari kita temukan rumus untuk menentukan luas juring tersebut.Berikut ini daerah yang berwarna merah adalah gambar juring lingkaran yangbersesuaian dengan sudut pusatnya masing-masing. Lengkapi sel yang masihkosong pada Tabel 7.4 berikut.Tabel 7.4 Hubungan antara sudut pusat dengan juring lingkaranGambar busur Rasio sudut Rasio luas juring pusat α terhadap luas lingkaran terhadap 360° luas juring luas lingkaran α 360° 270° 270° = 3 3 360° 4 486 Kelas VIII SMP/MTs Semester IIGambar busur Rasio sudut Rasio luas juring 180° pusat α terhadap luas lingkaran terhadap 360° luas juring α luas lingkaran 360° 180° = 1 1 360° 2 2120° 120° = 1 1 360° 3 390° 90° 1 1 360° = 4 4 60° 60° = 1 1Kurikulum 2013 360° 6 6 MATEMATIKA 87? Ayo Kita MenanyaDari pengamatan kalian terhadap Tabel 7.3 dan 7.4, mungkin muncul beberapapertanyaan sebagai berikut.1. Bagaimana hubungan antara sudut pusat dengan panjang busur?2. Bagaimana hubungan antara sudut pusat dengan luas juring?Andaikan kalian menemui hal lain yang perlu untuk dipertanyakan silakandisampaikan.=+ Ayo Kita+ Menggali InformasiUkuran sudut pusat satu lingkaran penuh adalah antara 0° sampai 360°.Kalau kalian perhatikan secara cermat, secara kasat mata kalian dapat melihatbahwa semakin besar sudut pusat, semakin besar pula luas juring dan panjangbusurnya, begitu juga sebaliknya. Dengan kata lain, luas juring dan panjangbusur sebanding dengan besarnya sudut pusat yang bersesuaian. Bagaimanahubungan spesifiknya?Mari kita menggali informasi dari hasil pengamatan yang telah dilakukan. Darikegiatan mengamati gambar-gambar tentang busur dan juring kita diperolehringkasan informasi seperti berikut. Lengkapi sel yang masih kosong padaTabel 7.5 berikut.Tabel 7.5 Hubungan antara sudut pusat dengan panjang busur dan luas juringRasio sudut pusat α Rasio panjang busur Rasio luas juring terhadap 360° terhadap keliling terhadap luas lingkaran lingkaran α 360° panjang busur luas juring keliling lingkaran luas lingkaran 270° ... ... 360°88 Kelas VIII SMP/MTs Semester IIRasio sudut pusat α Rasio panjang busur Rasio luas juring terhadap 360° terhadap keliling terhadap luas lingkaran lingkaran α panjang busur luas juring 360° keliling lingkaran luas lingkaran 180° ... ... 360° ... ... 90° 360° ... ... 50° ... ... 360° ... ... 30° 360° α 360° InformasiPada lingkaran yang sama atau kongruen, dua busur dikatakan kongruenjika dan hanya jika sudut pusat yang berkorespondensinya sama.Ukuran busur yang terbentuk dari dua busur yang berdekatan (salah satutitik ujung dari kedua busur saling berimpit) ujungnya adalah jumlah dari kedua busur tersebut. Ayo Kita r A Menalar α B O1. Amati dan bandingkan kolom 1 dan 2 pada Tabel 7.5. Bagaimana rasionya? Buatlah simpulan tentang rumus menentukan panjang busur AB yang diketahui jari-jarinya r dan sudut pusatnya α.Kurikulum 2013 MATEMATIKA 892. Amati dan bandingkan kolom 1 dan 3 pada r A tabel di atas. Bagaimanakah rasionya? α B O Buatlah simpulan tentang rumus luas juring AOB yang diketahui jari-jarinya r dan sudut pusatnya α.3. Manakah yang lebih luas? a. Juring lingkaran A dengan sudut pusat α dan jari-jari r, atau 1 b. Juring lingkaran B dengan sudut pusat 2α dan jari jari 2r.4. Lingkaran dengan ukuran sudut pusat 12α dan jari-jari r memiliki luas juring sama dengan lingkaran dengan jari-jari r dan sudut pusat α. Tentukan juring lain dengan ukuran jari-jari dan sudut pusat berbeda dengan contoh, sedemikian sehingga panjangnya sama dengan juring lingkaran dengan jari-jari r dan sudut pusat α. Tuliskan minimal 3 juring. Ayo Kita BerbagiPresentasikan hasil penalaranmu kepada teman-teman kalian. Presentasikanrumus umum untuk menentukan panjang busur serta rumus umum untukmenentukan luas juring.90 Kelas VIII SMP/MTs Semester II?! Ayo Kita Berlatih 7.3A. Pilihan Ganda1. Suatu kue berbentuk lingkaran padat dengan jari-jari 14 cm. Kue tersebut dibagi menjadi 6 bagian berbentuk juring yang sama bentuk. Ukuran sudut pusat masing masing potongan adalah .... A. 30O C. 50O B. 45O D. 60o2. Diketahui suatu juring lingkaran dengan ukuran sudut pusat 180o. Jika luas juring tersebut adalah 157 cm2, maka diameter lingkaran tersebut adalah ... cm. (π = 3,14) A. 10 C. 100 B. 20 D. 2003. Luas juring lingkaran dengan jari-jari 21 cm dan sudut pusat 30o adalah ... cm2. (π = 22) 7 A. 1,155 C. 115,5 B. 11,55 D. 1.1554. Diketahui empat lingkaran berbeda dengan pusat A, B, C, dan D. Luas keempat lingkaran tersebut jika diurutkan dari yang terkecil ke yang terbesar adalah lingkaran A, lingkaran B, lingkaran C, kemudian lingkaran D. Keliling lingkaran yang terbesar kedua adalah .... A. lingkaran A C. lingkaran C B. lingkaran B D. lingkaran D Kurikulum 2013 MATEMATIKA 91 |
Berikut ini diagram mengenai usia anak sekolah SD dari desa sukamakmur
Pos Terkait
Copyright © 2024 ketajaman Inc.
