Wie berechne ich den umfang eines dreiecks

In einem rechtwinkligen Dreieck sidn die Seiten $a=5cm$ und $b=8cm$ gegeben. Der rechte Winkel befindet sich am Punkt $C$.

$ c^2 = a^2 + b^2 $

$ c^2 = 5^2 + 8^2 = 25 + 64 = 89 $ | $ \sqrt{} $

$ c \approx 9,4cm $

$ sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse } c} = \frac{a}{c} = \frac{5}{9,4} $

$ sin(\alpha) = 0,53 \to \alpha = 32^{\circ} $

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In einem rechtwinkligen Dreieck sidn die Seiten $a=5cm$ und $b=8cm$ gegeben. Der rechte Winkel befindet sich am Punkt $C$.

$ c^2 = a^2 + b^2 $

$ c^2 = 5^2 + 8^2 = 25 + 64 = 89 $ | $ \sqrt{} $

$ c \approx 9,4cm $

$ sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse } c} = \frac{a}{c} = \frac{5}{9,4} $

$ sin(\alpha) = 0,53 \to \alpha = 32^{\circ} $

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In einem rechtwinkligen Dreieck sidn die Seiten $a=5cm$ und $b=8cm$ gegeben. Der rechte Winkel befindet sich am Punkt $C$.

$ c^2 = a^2 + b^2 $

$ c^2 = 5^2 + 8^2 = 25 + 64 = 89 $ | $ \sqrt{} $

$ c \approx 9,4cm $

$ sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse } c} = \frac{a}{c} = \frac{5}{9,4} $

$ sin(\alpha) = 0,53 \to \alpha = 32^{\circ} $

Stell dir vor, du bist mit deinen Freund*innen in Berlin und ihr wollt euch verschiedene Sehenswürdigkeiten anschauen.

Auf dem Stadtplan sucht ihr euch für den heutigen Tag den Dom, das Pergamonmuseum und den Fernsehturm aus. Euer Hostel ist direkt in der Nähe des Fernsehturms.

Nun möchtet ihr wissen, wie weit es ist, vom Fernsehturm über den Dom zum Pergamonmuseum und wieder zurück zum Fernsehturm zu laufen.

Dies ist eine typische Fragestellung, bei der es um den Umfang des Dreiecks geht.

Bevor es an die Berechnung geht, werden kurz wichtige inhaltliche Aspekte wiederholt.

Wiederholung: Dreieck Definition

Man kann ein Dreieck folgendermaßen definieren:

Ein Dreieck ist eine geometrische Figur, die aus drei Punkten (die nicht auf einer Linie liegen) und ihren Verbindungsstrecken besteht.

Wiederholung: Umfang Definition

Von allen geometrischen Figuren kann man den Umfang bestimmen. Doch was ist das genau?

Der Umfang einer Figur ist die Länge ihrer Randlinie.

Von der Idee her kannst du also eine Schnur entlang aller Randlinien der Figur legen. Wenn du die Schnur abschneidest und ihre Länge misst, entspricht sie dem Umfang der Figur.

Hier siehst du beispielsweise einen Kreis um den Punkt M und seine Randlinie l in abgewickelter Form. Die Länge der Strecke l entspricht dabei dem Umfang des Kreises.

Umfang Dreieck: Berechnung

Wie beim Kreis musst du eine Möglichkeit finden, die Länge der Randlinie des Dreiecks zu berechnen. Die Vorgehensweise ist eigentlich relativ klar.

Sieh dir dazu noch einmal das Dreieck von oben an. Wie lässt sich die Länge der Randlinie bestimmen?

Dazu musst du einfach die Längen der drei Seiten addieren. Von der Vorstellung her drehst du die Dreiecksseiten passend und legst sie hintereinander, sodass eine neue Strecke entsteht.

Der Umfang eines Dreiecks mit den Seitenlängen a, b und c ergibt sich durch:

Lösung

Die Umfangsformel für das Dreieck lautet:

Der Umfang eines gleichseitigen Dreiecks ergibt sich durch:

Der Umfang des gleichschenkligen Dreiecks ergibt sich durch:

Lösung

Mit der Formel berechnet man leicht:

Die Berechnung des Umfangs funktioniert wie beim allgemeinen Dreieck. Oft fehlen bei der Umfangsberechnung des rechtwinkligen Dreiecks Seitenangaben. Diese können dann mithilfe von Sinus und Kosinus berechnet werden.

Wie das geht, kannst du auch nochmal im Artikel "Sinus, Kosinus und Tangens am rechtwinkligen Dreieck" nachlesen.

Berechne den Umfang des rechtwinkligen Dreiecks:

Lösung

Zur Berechnung des Umfangs fehlt die Seitenlänge a.

Wegen der Rechtwinkligkeit des Dreiecks gilt:

Lösung

Für diese Fragestellung musst du dir ein Hilfsdreieck in deinen Stadtplan einzeichnen. Der Umfang dieses Dreiecks entspricht der gesamten Strecke. Um die Gesamtstrecke zu ermitteln, musst du also die drei Seitenlängen des Dreiecks addieren:

Mit dem angegebenen Maßstab gilt:

Der Umfang des Dreiecks/die Wegstrecke beträgt damit:

Natürlich erhält man auf diese Weise nur eine sehr grobe Schätzung. In der Regel sind die Wege durch die vorgegebene Straßenführung weiter als der direkte Weg per Luftlinie.

Der Weg für dich und deine Freund*innen vom Fernsehturm über die beiden Sehenswürdigkeiten zurück zum Fernsehturm beträgt vermutlich circa 2 km.

Umfang Dreieck - Das Wichtigste

• Der Umfang einer Figur ist die Länge ihrer Randlinie.
• Der Umfang des Dreiecks ist die Summe der drei Seitenlängen.
• Allgemeine Formel:.
• Für spezielle Dreiecke vereinfacht sich die Formel zur Berechnung des Umfangs:
  • .
  • .
• Für die Berechnung des Umfangs von rechtwinkligen Dreiecken benötigt man häufig Sinus oder Kosinus, um eine fehlende Seitenlänge zu berechnen.

Man kann den Umfang bei fehlender Seitenlänge nur berechnen, wenn das Dreieck rechtwinklig ist und ein spitzer Innenwinkel gegeben ist. Mit Sinus und Kosinus kann dann die fehlende Seitenlänge berechnet werden, die benötigt wird, um auch den Umfang zu ermitteln.

Den Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks berechnet man genau wie den Umfang jedes gewöhnlichen Dreiecks mit den Seitenlängen a, b und c mithilfe der Formel U=a+b+c. Ist eine Seitenlänge des Dreiecks nicht gegeben, muss diese mit Sinus, Kosinus und einem gegebenen spitzen Innenwinkel berechnet werden.

Den Umfang von einem gleichseitigen Dreieck mit Seitenlänge a berechnet man mit der Formel U=a+a+a=3•a. Dies funktioniert, weil die drei Seiten des gleichseitigen Dreiecks alle gleich lang sind.

Frage

Deine kleine Schwester fragt, was es mit dem Umfang einer Figur auf sich hat und wie man ihn ermitteln kann. Kannst du es ihr erklären?

Antwort

• Im Allgemeinen ist der Umfang einer Figur die Länge ihrer 
  Randlinie. Man muss also die Längen der Strecken addieren, die die Figur nach außen hin begrenzen.
• Beim Kreis ist der Umfang beispielsweise die Länge der 
  Kreislinie, beim Dreieck die Summe der drei Seitenlängen.