Quadriláteros são polígonos que possuem quatro lados. Sendo assim, os quadriláteros herdam todas as características e propriedades dos polígonos, como o fato de possuírem apenas duas diagonais ou de a soma dos seus ângulos internos ser sempre igual a 360°. Elementos de um quadrilátero
Um quadrilátero é convexo quando está completamente em um dos semiplanos formados pela reta que resulta do prolongamento de um de seus lados. Classificação de quadriláteros Os quadriláteros podem ser classificados de acordo com a posição relativa entre seus lados. Aqueles que possuem lados opostos paralelos são chamados de paralelogramos. Os quadriláteros que possuem um par de lados opostos paralelos e outro não são chamados de trapézios. A terceira classe dos quadriláteros contém aqueles que não possuem paralelismo algum entre seus lados. Paralelogramos Os paralelogramos possuem uma característica a mais que os quadriláteros, que é o fato de possuírem lados opostos paralelos. Isso acarreta uma série de propriedades pertencentes somente a eles.
Existe uma classificação para os paralelogramos em retângulos, losangos, quadrados ou nenhum deles. Retângulo Os retângulos são paralelogramos cujos ângulos internos são retos (daí o nome retângulo). Eles possuem todas as características dos paralelogramos e uma propriedade específica, a saber: “As diagonais de um retângulo são congruentes.”
Losango Os losangos são paralelogramos que possuem todos os lados congruentes, isto é, são paralelogramos equiláteros. Sua propriedade específica é a seguinte: “As diagonais de um losango são perpendiculares.”
Quadrado Os quadrados são losangos e retângulos simultaneamente e, por isso, possuem todos os ângulos retos e todos os lados congruentes. Sua propriedade específica é a seguinte: “As diagonais do quadrado são perpendiculares e congruentes.” Trapézios Diferentemente dos paralelogramos, os trapézios possuem apenas um par de lados paralelos. Esses lados são chamados de bases. Os trapézios que possuem os outros dois lados que não são bases congruentes são chamados de isósceles.
As propriedades específicas do trapézio isósceles são: “Os ângulos da base e as diagonais são congruentes”. Os trapézios possuem as mesmas características e propriedades dos quadriláteros, uma vez que não são paralelogramos. Quadriláteros são polígonos que possuem quatro lados. Os polígonos, por sua vez, são figuras limitadas por segmentos de reta. Sendo assim, todos os lados de um polígono e, por consequência, de um quadrilátero são retos. Elementos de um quadrilátero Lados: São os segmentos de reta que contornam o quadrilátero;
Propriedades gerais dos quadriláteros
Quadriláteros convexos ou não convexos Convexo é o nome dado a um polígono que possui a seguinte característica: a reta que contém um de seus lados não corta o polígono, qualquer que seja o lado escolhido para observar essa reta. Em outras palavras, um polígono convexo não possui vértices voltados para dentro, formando uma espécie de boca. Observe a imagem com um exemplo de quadrilátero não convexo, em que a reta que contém um lado corta o polígono: Trapézios Trapézios são quadriláteros que possuem um par de lados opostos e paralelos. Todas as características e propriedades dos quadriláteros e dos polígonos valem para os trapézios. Além dessas, também é possível que os trapézios possuam uma característica específica, o que lhes garante também uma propriedade específica. Um trapézio é chamado de isósceles quando os seus dois lados não paralelos (e opostos) são congruentes. Nesse caso, a propriedade específica é: em trapézios isósceles, os ângulos da base são congruentes. Paralelogramos Os paralelogramos são os quadriláteros que possuem dois pares de lados paralelos. Além de todas as propriedades e características dos polígonos, também possuem as seguintes propriedades específicas:
Os paralelogramos são comumente divididos em quatro grupos: paralelogramos quaisquer, retângulos, losangos e quadrados. O primeiro grupo é composto por paralelogramos que não pertencem aos outros três. Retângulos São paralelogramos que possuem todos os ângulos retos. Sendo assim, todos os seus ângulos são iguais a 90°. A propriedade específica dos retângulos é a seguinte: “As diagonais de um retângulo são congruentes.” Losangos São paralelogramos que possuem todos os quatro lados congruentes. Observe que os losangos não precisam ter ângulos congruentes, com exceção dos ângulos opostos, é claro. A propriedade específica dos losangos é a seguinte: “As diagonais de um losango são perpendiculares.” Quadrados Os quadrados são losangos e retângulos ao mesmo tempo, ou seja, são paralelogramos que possuem todos os lados congruentes e todos os ângulos retos. Sendo assim, podemos afirmar que todo quadrado também é retângulo e losango, mas nem todo losango ou retângulo é quadrado. A propriedade específica dos quadrados é a junção entre as propriedades do losango e do retângulo. Observe: “As diagonais de um quadrado são perpendiculares e congruentes.” Por Luiz Paulo Moreira Graduado em Matemática Quadriláteros são figuras geométricas planas, poligonais e formadas por quatro lados. Em outras palavras, essa definição implica as seguintes características:
→ Outros: Não possuem lados paralelos; O paralelismo entre os lados de um quadrilátero é perceptível quando se observa seus lados opostos. Lados que possuem ponto em comum não podem ser paralelos justamente por possuírem ponto em comum.
Paralelogramos Para ser paralelogramo, é necessário que o polígono seja um quadrilátero e que seus lados opostos sejam paralelos. Essa definição implica uma série de resultados, chamados aqui de propriedades. Elas são válidas para todo paralelogramo e serão discutidas a seguir: 1 – ângulos opostos são congruentes; 2 – ângulos não opostos são suplementares; 3 – Lados opostos são congruentes; 4 – As diagonais do paralelogramo encontram-se no seu ponto médio.
OBS.: Devemos ressaltar que, se um quadrilátero possui lados opostos paralelos e congruentes, então ele é um paralelogramo. A seguir discutiremos propriedades de alguns paralelogramos específicos. Retângulos Os retângulos são quadriláteros cujos ângulos medem 90°. Um resultado direto disso é que seus lados opostos são paralelos. Para ver isso, basta considerar qualquer um de seus lados como uma reta transversal e observar que ela corta outros dois lados formando o mesmo ângulo: 90°. Todo retângulo, portanto, é também um paralelogramo. Entretanto, nem todo paralelogramo é um retângulo. Assim, para o retângulo, valem as quatro propriedades dos paralelogramos citadas acima, além da seguinte: Todo retângulo possui diagonais congruentes. O resultado mais direto dessa propriedade é o seguinte: Se um paralelogramo possui diagonais congruentes, então ele é um retângulo. Losangos Os losangos são paralelogramos que possuem os quatro lados congruentes. Desse modo, todo losango é um paralelogramo, mas nem todo paralelogramo é um losango. Esse quadrilátero possui as mesmas propriedades dos paralelogramos, além da seguinte: As diagonais de um losango formam um ângulo reto. Assim, se um paralelogramo possui diagonais perpendiculares, então ele é um losango. Quadrado Um quadrado é um paralelogramo que possui os quatro lados iguais e, além disso, possui ângulos retos. Dessa maneira, um quadrado é, ao mesmo tempo, um losango e um retângulo. Entretanto, nem todo losango é quadrado e nem todo retângulo é quadrado. A propriedade específica do quadrado é a seguinte: As diagonais de um quadrado formam ângulos retos e são congruentes. Assim, se um paralelogramo possui diagonais que formam um ângulo reto e que são congruentes, então esse paralelogramo é um quadrado. Observe que o critério acima é exatamente uma junção dos discutidos para o losango e para o retângulo. Trapézios São os quadriláteros que possuem apenas um par de lados opostos paralelos. Existem três classes de trapézios: os trapézios quaisquer, os trapézios retângulos e os trapézios isósceles. A primeira classe diz respeito àqueles que não são retângulos nem isósceles. Já os trapézios retângulos: Trapézios retângulos São trapézios que possuem dois ângulos internos com medida de 90°. Trapézios isósceles São os trapézios em que os lados que não são paralelos possuem a mesma medida (são congruentes). É possível notar que um trapézio isósceles pode resultar do corte feito em um triângulo isósceles, desde que esse corte descreva uma reta paralela à base desse triângulo. Quando isso é feito, o resultado é outro triângulo isósceles semelhante ao primeiro e um trapézio isósceles. As propriedades específicas para o trapézio isósceles são as seguintes: 1 – Os ângulos da base maior do trapézio isósceles são iguais; 2 – As diagonais do trapézio isósceles são congruentes. Quadriláteros convexos Existem quadriláteros convexos e não convexos. O primeiro grupo é formado por todos aqueles em que a reta que contém qualquer um de seus lados não intercepta o outro lado. Se existe pelo menos um lado que não possui essa característica, então, ele é chamado de não convexo ou côncavo. Por Luiz Paulo Moreira Graduado em Matemática |
Quadrilátero que tem os quatro ângulos e os quatros lados congruentes
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