Polinômios são expressões algébricas que consistem em variáveis, constantes e expoentes que são combinados usando operações matemáticas como adição, subtração e multiplicação. Com base no número de termos da expressão, os polinômios podem ser classificados como monomiais, binomiais, trinomiais e outros. Show
A seguir estão exemplos de variáveis, constantes e expoentes:
Uma função polinomial é geralmente representada por $latex P(x)$, onde x é a variável. Podemos realizar várias operações matemáticas com polinômios. Vamos ver um resumo de adição, subtração e multiplicação de polinômios. Adição de polinômiosPara adicionar polinômios, simplesmente temos que combinar termos semelhantes. Lembre-se de que termos semelhantes são termos que possuem as mesmas variáveis elevadas às mesmas potências. A adição de polinômios sempre resulta em um polinômio do mesmo grau. A subtração polinomial é semelhante à adição, com a diferença de que temos uma mudança de sinais. Portanto, subtraímos os termos semelhantes para obter a solução. A subtração polinomial também resulta em um polinômio do mesmo grau. Multiplicação de polinômiosPara multiplicar polinômios, temos que usar a propriedade distributiva para multiplicar todos os termos. A propriedade distributiva é:
 Quando multiplicamos para dois ou mais polinômios, sempre obtemos um polinômio com um grau maior, a menos que um dos polinômios seja uma constante. Exercícios de polinômios resolvidosOs exercícios a seguir detalham o processo usado para realizar operações matemáticas com polinômios. Tente resolver os exercícios sozinho antes de ver a resposta.
Encontre a soma dos polinômios: $latex (4{{x}^2}+5)+(3{{x}^2}+4)$.
Para adicionar os polinômios, temos que combinar termos semelhantes. Portanto, combinamos os termos com $latex {{x}^2}$ e os termos constantes separadamente: $latex (4{{x}^2}+5)+(3{{x}^2}+4)$ $latex =7{{x}^2}+9$
Encontre a diferença dos polinômios: $latex (2{{x}^3}+4{{x}^2}+4)-(3{{x}^3}+2{{x}^2}+2)$.
Nesse caso, temos que subtrair os termos semelhantes. Comparamos todos os termos que são semelhantes: $latex (2{{x}^3}+4{{x}^2}+4)-(3{{x}^3}+2{{x}^2}+2)$ $latex =2{{x}^3}-3{{x}^3}+4{{x}^2}-2{{x}^2}+4-2$ $latex =-{{x}^3}+2{{x}^2}+2$
Faça a soma dos polinômios: $latex (3{{x}^5}+8{{x}^4}-4{{x}^3}+2{{x}^2}-5x+2)$ $latex +(4{{x}^5}-4{{x}^4}-2{{x}^3}+5{{x}^2}+3x+10)$.
Neste caso, temos vários termos com diferentes variáveis e diferentes sinais. No entanto, temos que aplicar a mesma ideia. Identificamos termos semelhantes e os combinamos: $latex (3{{x}^5}+8{{x}^4}-4{{x}^3}+2{{x}^2}-5x+2)$ $latex +(4{{x}^5}-4{{x}^4}-2{{x}^3}+5{{x}^2}+3x+10)$ $latex =7{{x}^5}+4{{x}^4}-6{{x}^3}+7{{x}^2}-2x+12$
Execute a subtração polinomial: $latex (2{{x}^5}y+4{{x}^4}-3{{x}^3}+5{{x}^2}y-5x+2)$ $latex -(6{{x}^5}-4{{x}^4}+2{{x}^3}+2{{x}^2}+3x-5)$.
Este polinômio possui termos com as variáveis y, que não possuem termos semelhantes. Portanto, temos que combinar apenas os termos semelhantes e apenas copiar os termos que não possuem termos semelhantes: $$(2{{x}^5}y+4{{x}^4}-3{{x}^3}+5{{x}^2}y-5x+2) -(6{{x}^5}-4{{x}^4}+2{{x}^3}+2{{x}^2}+3x-5)$$ $$=2{{x}^5}y-6{{x}^5}+(4+4){{x}^4}+(-3-2){{x}^3} +5{{x}^2}y-2{{x}^2}+(-5-3)x+2+5$$ $$=2{{x}^5}y-6{{x}^5}+8{{x}^4}-5{{x}^3} +5{{x}^2}y-2{{x}^2}-8x+7$$
Faça a multiplicação de polinômios: $latex (4x+2)(3x-3)$.
Temos que usar a propriedade distributiva para distribuir e multiplicar todos os termos. Então, temos: $latex (4x+2)(3x-3)$ $latex =4x(3x-3)+2(2x-3)$ $latex =12{{x}^2}-12x+4x-6$ Agora, só temos que combinar termos semelhantes para simplificar: $latex =12{{x}^2}-12x+4x-6$ $latex =12{{x}^2}-8x-6$
Multiplique os polinômios: $latex (2{{x}^2}+5x)(4{{x}^2}-2x+3)$.
Novamente, usamos a propriedade distributiva para multiplicar todos os termos do polinômio. Em seguida, simplificamos o resultado combinando termos semelhantes: $latex (2{{x}^2}+5x)(4{{x}^2}-2x+3)$ $$=2{{x}^2}(4{{x}^2}-2x+3)+5x(4{{x}^2}-2x+3)$$ $$=8{{x}^4}-4{{x}^3}+6{{x}^2}+20{{x}^3}-10{{x}^2}+15x$$ $latex =8{{x}^4}+16{{x}^3}-4{{x}^2}+15x$
Obtenha o resultado da multiplicação dos polinômios: $latex (5x^2-3x+2)(2{{x}^2}+4x-5)$.
Semelhante aos exercícios anteriores, temos que usar a propriedade distributiva para multiplicar todos os termos. Em seguida, simplificamos o resultado combinando termos semelhantes: $latex (5x^2-3x+2)(2{{x}^2}+4x-5)$ $$=5x^2(2{{x}^2}+4x-5)-3x(2{{x}^2}+4x-5) +2(2{{x}^2}+4x-5)$$ $$=10{{x}^4}+20{{x}^3}-25{{x}^2}-6{{x}^3}-12{{x}^2} +15x+4{{x}^2}+8x-10$$ $latex =10{{x}^4}+14{{x}^3}-33{{x}^2}+23x-10$ Exercícios de polinômios para resolverColoque em prática seu conhecimento sobre polinômios e suas habilidades para resolver operações com polinômios com os exercícios a seguir. Se precisar de ajuda, você pode consultar os exercícios resolvidos acima. Veja tambémVocê quer aprender mais sobre tópicos algébricos? Olha para estas páginas:
Antes de definirmos os polinômios, precisamos compreender o conceito de monômio. Um monômio caracteriza-se pelo produto entre um número e uma incógnita (letra que representa um número de valor desconhecido). Como exemplo de monômios temos 3x, 2x4, x3 entre outras infinitas possibilidades A parte conhecida do monômio, ou seja, o número que precede a incógnita, é chamada de coeficiente. Já o restante do monômio é chamado de parte literal Por fim, podemos definir um polinômio como uma expressão algébrica formada através do somatório de diversos monômios. A expressão 4x3 – 2x2 + 3x é um exemplo de polinômio formado pelos monômios 4x3, – 2x2, 3x, também chamados de termos do polinômio. Monômios SemelhantesDentro de um polinômio, dois monômios são chamados de monômios semelhantes quando possuem sua parte literal igual, ou seja, compartilham da mesma incógnita. Veja: No polinômio 2x3 + 3x4 – 2x2 + x – 1 + 4x2 podemos dizer que -2x2 e 4x2 são monômios semelhantes uma vez que ambos possuem x2 como parte literal. Outro exemplo é -3x4 + 2x3 – x + 4x, no qual -x e 4x são monômios semelhantes. Definição do grau de um monômio e de um polinômioO grau de um monômio é definido pela soma dos expoentes que compõem sua parte literal.
No caso dos polinômios, para definirmos o grau de um polinômio, quando está na forma reduzida, é necessário reconhecer o monômio de maior grau pois será ele que definirá o grau do polinômio.
Agora, quando temos um polinômio não reduzido, significa que temos dois ou mais monômios semelhantes e precisamos reduzi-lo, ou seja, realizar a operação entre eles para que restem apenas um correspondente e a expressão esteja reduzida. Em 2x3 + 3x2 – x2 + x – x3, temos dois pares de monômios semelhantes. Realizando a primeira operação 2x3 – x3 temos x3, por outro lado temos que 3x2 – x2 = 2x2. Desse modo, reescrevendo o polinômio temos x3 + 2x2 + x. Outro exemplo é x4 + 2x4 + 5x2 + x – 7x + 1, também possuímos dois pares de monômios semelhantes e devemos, assim como no exemplo anterior, realizar as operações entre eles. x4 + 2x4 = 3x4 e x – 7x = -6x. Desse modo, reescrevendo o polinômio na sua forma reduzida temos 3x4 + 5x2 – 6x + 1. Raiz do polinômioTomando um polinômio qualquer cujo resultado seja 0, por exemplo 2x3 + 4x2 – 2x, a raiz desse polinômio assumirá um valor b caso, e somente se, esse polinômio obtiver valor zero quando b = x. Exemplo 1: Para descobrirmos a raiz de um polinômio devemos igualá-lo a 0. x3 – 1 = 0 x = + 1 ou – 1 Conclui-se que tanto 1 quanto -1 são raízes de P(x) = x3 – 1. Exemplo 2: Sabendo-se que –3 é raiz de P(x) = x³ + 4x² - ax + 1, calcule o valor de a. Como foi dito que -3 é raiz do polinômio, devemos inserir -3 no lugar de x e igualar o polinômio a zero a fim de obter o valor de a. (-3)3 + 4(-3)2 + -a(-3) + 1 = 0 -27 + 36 + 3a + 1 = 0 -26 + 36 = -3a 10 = -3a a = Exemplo 3: Qual deve ser o valor de k para que x=2 seja raiz de p(x)=x3+kx?6? Incluindo 2 no lugar de x e igualando o polinômio a 0 temos que: 0 = 23 + k(2) – 6 0 = 8 + 2k – 6 0 = 2 + 2k 2k = -2 k = -1 Adição de polinômiosPara realizar uma operação algébrica de soma de polinômios devemos realizar essa operação somando os coeficientes dos termos semelhantes, ou seja, aqueles que possuem a mesma parte literal. Exemplo 1: Somando os dois polinômios abaixo temos: p(x)=4x5 + 7x3 – 9x + 2 Exemplo 2: Considerando p(x) = 3x3 + 2x + 1 e q(x) = -2x3 + x – 4: p(x) + q(x) = 3x3 + 2x + 1 + (-2x3 + x – 4) Subtração de polinômiosAssim como na soma, devemos realizar a operação de subtração entre os termos semelhantes. Exemplo 1: Subtraindo os dois polinômios abaixo temos: p(x) = 3xy + 2x2 + 2x -1 q(x) = 2xy – 3x + 1 p(x) – q(x) = 3xy + 2x2 + 2x -1 –(2xy – 3x + 1) p(x) – q(x) = 3xy + 2x2 + 2x -1 – 2xy + 3x – 1 p(x) – q(x) = xy + 2x2 + 5x – 2 Exemplo 2: Qual o resultado da subtração dos dois polinômios abaixo? p(x)=2x2 + 4x p(x) – q(x) = 2x2 + 4x –(-2x2 + x – 6) p(x) – q(x) = 2x2 + 2x2 + 4x – x + 6 p(x) – q(x) = 4x2 + 3x + 6 Multiplicação de polinômiosJá na multiplicação, a operação algébrica é feita realizando a distributiva entre os termos dos polinômios que serão multiplicados. Na multiplicação de termos semelhantes devemos repetir a incógnita e somar os expoentes. p(x) = a + b – c q(x) = x + y + w (p * q) = (a + b – c) (x + y + w) Exemplo 1: Qual o polinômio obtido a partir da multiplicação entre os dois polinômios abaixo? p(x) = 3x2 - 5x + 8 (p * q) (x) = (3x2 - 5x + 8) . (-2x + 1) Perceba que o grau do polinômio resultante é 3. Exemplo 2: p(x) = (2x2 + 5x + 2) Divisão de polinômiosEntre as operações envolvendo polinômios a divisão é o processo algébrico mais complexo e que emprega um maior tempo para sua resolução. Não existe apenas um método que forneça o resultado de uma divisão entre polinômios, mas um dos mais comuns é o chamado método da chave, semelhante ao esquema de divisão dos números inteiros. Realizar a operação de divisão de um polinômio D(x), o dividendo, através método da chave por d(x), o divisor, é obter q(x), o polinômio resultante da divisão, e um resto r(x). Desse modo, temos que: D(x) = d(x) * q(x) + r(x) Passo-a-passo: Com dois polinômios f(x)=2x3? 4x2 + 3x ? 8 e g(x)= x2 + 2x ? 4 numa situação na qual f(x) será o dividendo e g(x) o divisor teremos: 2x3? 4x2 + 3x – 8 | x2 + 2x – 4 | 1. O primeiro passo é dividir o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor. 2x3? 4x2 + 3x – 8 | x2 + 2x – 4 | |2x O número obtido deve ser inserido no lugar do quociente. 2. Agora, multiplicaremos o valor inserido no quociente por cada termo presente no divisor, em seguida trocando o sinal de cada termo, ou seja, multiplicando todos os termos por -1. 2x3? 4x2 + 3x – 8 | x2 + 2x – 4 |2x 2x3 ? 4x2 + 3x – 8 | x2 + 2x – 4 3. Em seguida, devemos somar a relação obtida. 2x3 ? 4x2 + 3x – 8 | x2 + 2x – 4 -2x3 – 4x2 + 8x |2x 0x3- 8x2 + 11x – 8 4. Seguindo o padrão do item número 1, deveremos substituir o primeiro termo do polinômio encontrado pelo primeiro termo do divisor. 2x3 ? 4x2 + 3x – 8 | x2 + 2x – 4 -2x3 – 4x2 + 8x |2x – 8 - 8x2 + 11x – 8 5. Assim como no item 9, agora multiplicaremos o resultado obtido pelos temos do divisor trocando os sinais e, em seguida, somando-o com o polinômio acima. 2x3 ? 4x2 + 3x – 8 | x2 + 2x – 4 -2x3 – 4x2 + 8x |2x – 8 - 8x2 + 11x – 8 +8x2 + 16 – 32 2x3 ? 4x2 + 3x – 8 | x2 + 2x – 4 -2x3 – 4x2 + 8x |2x – 8 - 8x2 + 11x – 8 +8x2 + 16x – 32 0x2 + 27x – 40 Quando obtemos um resto cujo grau seja menor do que o grau do divisor consideramos a operação finalizada, uma vez que o grau do resto deve ser menor que o grau do polinômio divisor. Sendo assim, temos que q(x) = 2x – 8 e r(x) = 27x -40. Exercícios resolvidos sobre polinômioComo vimos anteriormente, o polinômio é caracterizado como uma expressão algébrica formado por monômios, termos formados por um número e uma incógnita. Uma vez que os conceitos de termos semelhantes, grau e raízes dos polinômios são conhecidos, aplicaremos tais conceitos aos seguintes exercícios abaixo. 1) Considerando que p(x) = 2x³ – kx² + 3x – 2k, para que valores de k temos p(2) = 4? Uma vez que o enunciado da questão nos cedeu os pontos (2, 4), no qual x = 2 e y = 4, podemos inseri-los na questão e assim descobrir o valor de k. Veja: p(2) = 2*(2)3 – k(2)2 + 3(2) -2k k = 3 2) Determine o valor de a e b no polinômio p(x) = x³ + ax² + (b – 18)x + 1, sabendo que 1 é raiz do polinômio e p(2) = 25. Se o enunciado informou que a raiz é 1, isso significa que podemos inserir o número 1 no lugar de x e com isso igualar o polinômio a zero, inserindo o ponto (1, 0) na equação. p(1) = x³ + ax² + (b – 18)x + 1 0 = 1³ + a1² + (b – 18)1 + 1 1 + a + b – 18 + 1 = 0 a + b + 2 – 18 = 0 a + b – 16 = 0 a + b = 16 Chegamos, por fim, a uma igualdade com duas incógnitas. Agora devemos aplicar o outro ponto cedido no enunciado na equação. Temos que p(2) = 25: p(2) = x³ + ax² + (b – 18)x + 1 4a + 2b = 52 Precisaremos, por fim, realizar um sistema entre as duas equações encontradas com o intuito de descobrir o valor das incógnitas. (I) a + b = 16 Podemos, a fim de eliminar b da equação, multiplicar a equação 1 por -2 e somar ambas equações. Veja: (I) -2a - 2b = -32 (II)4a + 2b = 52 _______________ (III) 2a = 20 a = 10 Substituindo a na equação I: a + b = 16 10 + b = 16 b = 6 Mais exercícios sobre polinômios com gabaritoApós abordarmos as noções de polinômios e discutirmos alguns exercícios mais simplificados que abordam noções de conceitos, abordaremos exercícios que exigem outras habilidades na sua resolução. 1) (Guarda Civil SP). O resto da divisão do polinômio x³ + 3x² – 5x + 1 por (x-2) é: a) 1 b) 2 c) 10 d) 11 e) 12 A divisão de polinômios não é considerada propriamente uma habilidade difícil, mas confunde muitas pessoas na hora de resolver questão como essas. Veja abaixo a resolução seguindo o método da chave. x³ + 3x² – 5x + 1 | x - 2 -x3 + 2 | x2 Seguindo o tutorial, primeiro dividimos o primeiro monômio do polinômio dividendo (x3) pelo primeiro monômio do polinômio divisor (x) e inserimos o resultado no quociente. Após isso, devemos multiplicar o monômio obtido por todos os termos do polinômio divisor, em seguida devemos trocar o sinal do resultado, ou seja, multiplicar por -1. x³ + 3x² – 5x + 1 | x - 2 -x3 + 2x2 | x2 + 5x + 5 -5x2 + 10x __________ 5x + 1 -5x + 10 ________ R(x) = 11 Para essa divisão tivemos que obter um resto de expoente 0 uma vez que o resto da divisão de um polinômio deve ter um grau menor do que o grau do polinômio divisor. Resposta letra d. 2) (Prefeitura de Terra de Areia RS – Objetiva 2016). Assinalar a nativa que apresenta o resultado do polinômio abaixo: 2x(5x + 7y) + 9x(2y) a) 10x + 14xy + 18yx b) 6x² + 21xy c) 10x² + 32xy d) 10x² + 9y e) 22x + 9y A questão acima é bastante simples, devemos apenas realizar a distributiva entre os fatores. 2x(5x + 7y) + 9x(2y) 10x2 + 14xy + 18xy 10x2 + 32xy Letra C 3) (FEI – SP) Sendo p(x) = ax4 + bx³ + c e q(x) = ax³ – bx – c, determine os coeficientes a, b e c, sabendo que p(0) = 0, p(1) = 0 e q(1) = 2. Nesse exemplo, temos que relacionar coeficientes de duas equações. Inserindo os pontos cedidos pelo enunciado na questão temos que: p(x) = ax4 + bx³ + c ; p(0) = 0 c = 0 p(x) = ax4 + bx³ + c ; p(1) = 0 Se c = 0, temos que a + b = 0. q(x) = ax³ – bx – c ; q(1) = 2 Sendo c = 0: a – b = 2 Comparando e somando as equações obtidas temos: a + b = 0 a – b = 2 2a = 2 a = 1 Se a = 1, b: a + b = 0 1 + b = 0 b = -1 Assim, a = 1 e b = -1. 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Exercícios polinômios 8 ano com gabarito
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