Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini. Fungsi ganjil dan fungsi genap dalam matematika adalah fungsi yang memenuhi hubungan simetris tertentu, terhadap invers aditifnya. Penting dalam banyak bidang analisis matematika, terutama teori deret pangkat dan deret Fourier. Fungsi-fungsi ini dinamai menurut parity pangkat dari fungsi pangkat yang memenuhi setiap kondisi tertentu:
Konsep ganjil atau genap hanya didefinisikan untuk fungsi-fungsi yang ranah (domain) dan rentang (range)nya keduanya memiliki suatu invers aditif. Ini meliputi grup-grup aditif, semua cincin (ring), semua field, dan semua ruang vektor. Jadi, misalnya, fungsi dengan nilai real dari variabel real dapat merupakan fungsi ganjil atau genap, sebagaimana juga fungsi bernilai kompleks dari suatu variabel vektor, dan seterusnya. Contohnya adalah fungsi nilai riil dari variabel nyata, untuk menggambarkan simetri grafiknya. Fungsi genapƒ(x) = x2 adalah contoh dari fungsi genap. Misalkan f ( x ) menjadi fungsi bernilai nyata dari variabel real. Maka f adalah 'even' jika persamaan berikut berlaku untuk semua x dan -x dalam domain f :[1] f ( x ) = f ( − x ) , {\displaystyle f(x)=f(-x),\,}atau f ( x ) − f ( − x ) = 0. {\displaystyle f(x)-f(-x)=0.\,}Secara geometris, permukaan grafik dari fungsi genap adalah simetris sehubungan dengan sumbu y , artinya grafik tetap tidak berubah setelah refleksi terhadap sumbu y . Contoh fungsi genap adalah |x|, x2, x4, cos( x ), dan cosh(x). Fungsi ganjilƒ(x) = x3 adalah contoh dari fungsi ganjil. Sekali lagi, misalkan f ( x ) menjadi fungsi bernilai nyata dari variabel riil. Maka f adalah 'ganjil' jika persamaan berikut berlaku untuk semua x dan -x dalam domain f :[2] − f ( x ) = f ( − x ) , {\displaystyle -f(x)=f(-x),\,}atau f ( x ) + f ( − x ) = 0. {\displaystyle f(x)+f(-x)=0.\,}Secara geometris, grafik fungsi ganjil memiliki simetri rotasi terhadap asal, artinya grafik tidak berubah setelah rotasi sebesar 180 derajat s tentang asalnya. Contoh fungsi ganjil adalah x, x3, sin(x), sinh(x), dan erf(x). ƒ(x) = x3 + 1 bukan merupakan fungsi ganjil maupun fungsi genap. Suatu fungsi menjadi ganjil atau genap tidak berarti diferensiabilitas, atau bahkan kontinuitas. Misalnya, Fungsi Dirichlet adalah genap, tetapi tidak ada yang kontinu. Properti yang melibatkan deret Fourier, deret Taylor, turunan, dan sebagainya hanya dapat digunakan jika dapat diasumsikan ada. Properti aljabarSifat keunikan
Properti yang melibatkan penjumlahan dan pengurangan
Sifat yang melibatkan perkalian dan pembagian
Sifat yang melibatkan komposisi
Sifat aljabar lainnya
Sifat kalkulusSifat kalkulus dasar
Sifat deret
Dalam pemrosesan sinyal, distorsi harmonik terjadi ketika sinyal gelombang sinus dikirim melalui sistem nonlinear tanpa memori, yaitu, sistem yang keluarannya pada waktu t {\displaystyle t} hanya bergantung pada masukan pada saat t {\displaystyle t} dan tidak bergantung pada masukan pada waktu sebelumnya. Sistem seperti itu dijelaskan oleh fungsi respons V out ( t ) = f ( V in ( t ) ) {\displaystyle V_{\text{out}}(t)=f(V_{\text{in}}(t))} . Jenis harmonik yang dihasilkan bergantung pada fungsi respons f {\displaystyle f} :[3]
Perhatikan bahwa ini tidak berlaku untuk bentuk gelombang yang lebih kompleks. Sebuah gelombang gigi gergaji berisi harmonik genap dan ganjil, misalnya Setelah penyearah gelombang penuh simetris genap, ini menjadi gelombang segitiga, yang selain offset DC, hanya berisi harmonik ganjil.
|