Show Nilai n sama dengan 1 menunjukkan suku pertama deret aritmatika. Nilai n bisa ditentukan melalui rumus umum suku ke-n deret aritmatika jika nilai suku ke-n, beda, dan juga suku pertama diketahui. Un = a + (n-1) b Un: suku ke n (n = 1, 2, 3, … )a: suku pertama (U1)n: bilangan real (n – 1, 2, 3, … ) b: beda deret aritmatika Untuk lebih memahami tentang nilai n, berikut contoh soal menentukan nilai n pada deret aritmatika beserta pembahasannya! Baca juga: Rumus Jumlah Suku ke-n Barisan Aritmatika Contoh soalSuku ke-6 suatu barisan aritmatika adalah 24.000 dan suku ke-10 adalah 18.000. Supaya suku ke-n sama dengan 0, maka nilai n adalah … Jawaban: U6 = 24.000U10 = 18.000 Un = 0 Dilansir dari Math is Fun, deret aritmatika adalah barisan angka dengan beda antara satu suku dan suku berikutnya adalah sama. Sehingga, untuk menjawab soal tersebut terlebih dahulu kita harus mencari beda deret tersebut menggunakan rumus umum suku ke-n. Mencari beda deret aritmatikaU6 = a + (6-1) b = a + 5b = 24.000 … persamaan (1) Baca juga: Menentukan Rumus Suku ke-n Barisan Aritmatika Eliminasi kedua persamaan tersebut untuk menghilangkan nilai a dan mendapatkan nilai b: a + 5b = 24.000 -4b = 6.000-b = 6.000/4 b = -1.500 Sehingga, didapatkan bahwa beda deret aritmatika tersebut adalah -1500. Setelah mendapatkan nilai beda, kita harus mencari nilai suku pertama deret aritmatika tersebut. Mencari suku pertama (a) deret aritmatikaNilai a dapat dicari dengan mensubstitusikan nilai beda (b) ke dalam persamaan (1) atau (2): a + 5b = 24.000a + 5 (-1.500) = 24.000a - 7.500 = 24.000a = 24.000 + 7.500 a = 31.500 Didapatkan bahwa nilai suku pertama (a) deret aritmatika tersebut adalah 31.500. Setelah didapatkan nilai a dan b, barulah kita dapat menentukan nilai n deret aritmatika yang bernilai nol. Un = a + (n-1) b0 = 31.500 + (n-1)(-1.500)0 = 31.500 -1.500n + 1.5000 = 33.000 – 1.500n1.500n = 33.000n = 33.000/1.500 n = 22 Sehingga, suku ke-n sama dengan 0 memiliki n senilai 22. Untuk membuktikannya, kita dapat mencari nilai U22 menggunakan rumus nilai suku ke-n: Un = a + (n-1) bU22 = 31.500 + (22-1)(-1.500)U22 = 31.500 + 21(-1.500)U22 = 31.500 – 31.500 U22 = 0 Terbukti, bahwa suku ke 22 memiliki nilai nol sama dengan 0. Dapatkan update berita pilihan dan breaking news setiap hari dari Kompas.com. Mari bergabung di Grup Telegram "Kompas.com News Update", caranya klik link https://t.me/kompascomupdate, kemudian join. Anda harus install aplikasi Telegram terlebih dulu di ponsel. Okeee guuyyss.. ada kabar baik bagi kalian yang bosan dengan materi matriks yang saya berikan. Kabr baiknya yaituuu,, saya akan ganti topik baruu.. ( YEEAAYY). Materi barunya adalaaaaahhhhh…. BARISAN DAN DERET ARITMATIKA. Ingat!! “Aritmatika” bukan “Geometri”. Tapi, baytewee, gimana dengan materi tentang matriks yang saya berikan?? Pahaam kaann?? Harus paham doongg. Matriks kan gampang. Sama halnya dengan matriks, barisan dan deret aritmatika pun mudah sekali dipelajari. Kalian hanya tinggal menghafal rumus, dan itupun rumus yang sangat mudah. Pasti bagi kebanyakan dari kalian sudah mengetahui sedikit mengenai barisan dan deret, sekedar info bagi kalian bahwa materi ini dibahas lagi di kelas 11 SMA. Nah, yang akan saya bahas kali ini adalah materi barisan dan deret aritmatika kelas 11 SMA. Penasaraaann?? Kalau tidak yasudiin. (aku ravovo).. oke, tanpa basa-basi yang nggak jelas lagi, cuuussss belajaaarr maatthhhh… . Let’s learn about it together!! Rumus-rumus umum dalam barisan dan deret aritmatika : Keterangan : U1 = a = suku pertama Un = Suku ke-n Sn = Jumlah suku ke-n b = beda For Example :
JAWAB → U4 = a + ( 4 – 1 ) 8 110 = a + 3 . 8 110 = a + 24 110 – 24 = a a = 86 →U30 = 86 + ( 29 ) 8 = 86 + 232 U30 = 318 →U5 = a + 4 . 5 22 = a + 20 22 – 20 = a 2 = a →U15 = a + ( n – 1) b = 2 + ( 15 – 1) 5 = 2 + 14 . 5 = 2 + 70 U15 = 72 →U6 + U8 = 23 a+ 5b+ a+ 7b = 23 →a + 3b = 7 a + 3. (3/2) = 7 a = 7 – 9/2 a = 5/2 →U20 = a + ( n – 1 ) b = 5/2 + (19) 3/2 = 5/2 + 57/2 = 62/2 U20 = 31 Itu dia materi mengenai barisan dan deret aritmatika. Tumggu materi-materi math yang lainnya yaahh.. ~ SEMOGA BERMANFAAT ~ GOOD LUCK Baca juga :
Blog Koma - Barisan dan Deret Aritmetika membahas khusus tentang kumpulan suatu bilangan yang memiliki pola tersendiri. Disini akan dibedakan tentang barisan dan deret. Adapun materi yang akan kita pelajari pada barisan dan deret aritmetika adalah barisan, sisipan, suku tengah, dan jumlah $ n \, $ suku pertama suatu deret aritmetika. Selain barisan dan deret aritmetika, juga akan dibahas tentang barisan dan deret geometri, silahkan dibaca pada artikel "Barisan dan Deret Geometri". Untuk lebih jelasnya, mari kita simak penjelasan masing-masing berikut ini.
Barisan Aritmetika
Pengertian barisan Barisan merupakan kumpulan suatu bilangan (atau bentuk aljabar) yang disusun sehingga membentuk suku-suku yang dipisahkan dengan tanda koma dan memiliki pola tertentu. Bentuknya disusun sebagai berikut : $ u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, u_5, \, u_6, \, u_7, .... $ Keterangan : $ u_1 \, $ artinya suku ke-1 (suku pertama) $ u_2 \, $ artinya suku ke-2 (suku kedua) dan seterusnya.... Contoh : Berikut beberapa contoh barisan! 1). Barisan bilangan ganjil : 1, 3, 5, 7, .... Keterangan : suku ke-1 (suku pertama) adalah 1 ($u_1 = 1$), suku ke-2 (suku kedua) adalah 3 ($u_2=3$), suku ke-3 (suku ketiga) adalah 5 ($u_3=5$), dan seterusnya .... 2). Barisan bilangan genap : 2, 4, 6, 8, .... 3). Barisan sebarang : 1, 5, 3, -2, 5, 7, ...
Pengertian barisan aritmetika Barisan Aritmetika merupakan suatu barisan yang memiliki selisih yang sama antara dua suku-suku yang berdekatan. Nilai selisih yang sama itu dinamakan bedanya yang disimbulkan dengan huruf $ \, b \, $ . Misal barisannya : $ u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, u_5, \, u_6, \, u_7, .... $ Cara menghitung bedanya ($b$) adalah $ b = u_2 - u_1 = u_3 - u_2 = u_4 - u_3 = .....= u_n - u_{n-1} \, $ Adapun rumus suku ke-$n\, $ nya adalah $ \, u_n = a + (n-1)b $ dengan $ a $ = suku pertamanya ($u_1$), $ b $ = bedanya, dan $ u_n $ = suku ke-$n$ Dari rumus suku ke-$n\, $ nya, dapat disusun barisan aritmetikanya, $ u_n = a + (n-1)b $ $ u_1 = a + (1-1)b = a $ $ u_2 = a + (2-1)b = a + b $ $ u_3 = a + (3-1)b = a + 2b $ $ u_4 = a + (4-1)b = a + 3b $ $ u_5 = a + (5-1)b = a + 4b $ dan seterusnya ..... sehingga barisan aritmetikanya : $ a, \, a+b, \, a+2b, \, a+3b, \, .... $ Contoh : 1). Dari barisan berikut ini, manakah yang merupakan barisan aritmetika? a). 1, 3, 5, 7, ..... b). 2, 5, 8, 11, 14, .... c). 1, 2, 5, 7, 8, .... d). 3, 5, 6, 2, 12, .... e). 4, 2, 0, -2, -4, .... Penyelesaian : Disebut barisan aritmetika jika selisih dua suku yang berdekatan sama. Mari kita cek setiap barisan yang ada. a). $ \underbrace{1, \, 3}_{+2} \underbrace{, \, 5 }_{+2} \underbrace{, \, 7 }_{+2} , .... $ Karena selisihnya selalu sama antara dua suku yang berdekatan, maka barisan ini termasuk barisan aritmetika dengan bedanya 2. Cara mencari bedanya : $ b = 3-1 = 2 \, $ atau $ b = 5 - 3 = 2 \, $ atau $ b = 7 - 5 = 2 \, $ dan seterusnya. b). $ \underbrace{2, \, 5}_{+3} \underbrace{, \, 8 }_{+3} \underbrace{, \, 11 }_{+3} \underbrace{, \, 14 }_{+3} , .... $ Selisihnya sama, sehingga termasuk barisan aritmetika dengan bedanya 3. c). $ \underbrace{1, \, 2}_{+1} \underbrace{, \, 5 }_{+3} \underbrace{, \, 7 }_{+2} \underbrace{, \, 8 }_{+1} , .... $ Selisihnya tidak sama, sehingga bukan termasuk barisan aritmetika. d). $ \underbrace{3, \, 5}_{+2} \underbrace{, \, 6 }_{+1} \underbrace{, \, 2 }_{-4} \underbrace{, \, 12 }_{+10} , .... $ Selisihnya tidak sama, sehingga bukan termasuk barisan aritmetika. e). $ \underbrace{4, \, 2}_{-2} \underbrace{, \, 0 }_{-2} \underbrace{, \, -2 }_{-2} \underbrace{, \, -4 }_{-2} , .... $ Selisihnya sama, sehingga termasuk barisan aritmetika dengan bedanya -2. Cara mencari bedanya : $ b = u_2 - u_1 = 2 -4 = -2 \, $ atau $ b = u_3 - u_2 = 0 - 2 = -2 \, $ dan seterusnya. 2). Tentukan suku ke-101 dari barisan aritmetika -1, 3, 7, 11, 15, ....? Penyelesaian : *). dari barisannya diperoleh $ a = -1 \, $ dan $ b = 7-3 = 4 $ *). Menentukan suku ke-101 dengan $ u_n = a + (n-1)b $ $ u_{101} = a + (101-1)b = -1 + 100 \times 4 = -1 + 400 = 399 $ Jadi, suku ke-101 nya adalah 399 ($u_{101} = 399$). 3). Diketahui suku ke-2 dan suku ke-4 suatu barisan aritmetika berturut-turut 6 dan 14. Tentukan nilai suku ke-11 nya! Penyelesaian : diketahui $ u_2 = 6 \, $ dan $ u_4 = 14 $ Untuk menentukan nilai suku pada suatu barisan, kita memerlukan nilai $ a \, $ dan bedanya ($b$) dengan menjabarkan suku-suku yang diketahui. *). Rumus suku ke-$n\, \, : \, \, u_n = a+ (n-1)b $ $ u_4 = a+(4-1)b = a + 3b \rightarrow a + 3b = 14 \, $ .... pers(i) $ u_2 = a+(2-1)b = a + b \rightarrow a + b = 6 \, $ .... pers(ii) *). Menentukan nilai $ a \, $ dan $ b \, $ dengan eliminasi pers(i) dan pers(ii) $ \begin{array}{cc} a + 3b = 14 & \\ a + b = 6 & - \\ \hline 2b = 8 & \\ b = 4 & \end{array} $ Pers(ii) : $ a + b = 6 \rightarrow a + 4 = 6 \rightarrow a = 2 $ *). Menentukan suku ke-11 $ u_{11} = a+(11-1)b = 2 + 10 \times 4 = 2 + 40 = 42 $ Jadi, suku ke-11 nya adalah 42. 4). Tentukan banyak bilangan antara 1 sampai 500 yang habis dibagi oleh 3 ! Penyelsaian : *). Kita daftar dulu barisan bilangan yang habis dibagi 3 antara 1 sampai 500 barisannya : 3, 6, 9, 12, ... , 498 diperoleh $ a = 3 \, $ dan $ b = 6 -3 = 3 $ *). Untuk menentukan banyak suku, kita gunakan suku terakhirnya. Suku terakhir = 498 artinya $ u_n = 498 $ $ \begin{align} u_n & = 498 \\ a + (n-1)b & = 498 \\ 3 + (n-1)3 & = 498 \\ 3 + 3n - 3 & = 498 \\ 3n & = 498 \\ n & = \frac{498}{3} = 166 \end{align} $ artinya suku terakhir adalah suku ke-166, ini menandakan bahwa banyaknya suku ada 166 suku. 5). Jika suku-suku $ 2k +2 , \, k+7 , \, $ dan $ \, 3k+6 \, $ merupakan tiga suku pertama berurutan barisan aritmetika, tentukan besarnya suku ke-11? Penyelesaian : Diketahui : $ u_1 = 2k +1, \, u_2 = k+7, \, $ dan $ \, u_3 = 3k+6 $ *) Tiga suku berurutan barisan aritmetika, selisihnya sama : $ \begin{align} u_2 - u_1 & = u_3 - u_2 \\ (k+7) - (2k+2) & = (3k+6)- (k+7) \\ -k + 5 & = 2k - 1 \\ 5 + 1 & = 2k + k \\ 6 & = 3k \\ k & = \frac{6}{3} = 2 \end{align} $ diperoleh nilai $ k = 2 $ *). Menentukan besarnya suku pertama ($a$) dan bedanya ($b$) dengan $ k = 2 $ $ a = u_1 = 2k+2 = 2.2 + 2 = 6 $ $ u_2 = k + 7 = 2 + 7 = 9 $ $ b = u_2 - u_1 = 9 - 6 = 3 $ *). Menentukan nilai suku ke-11 $\begin{align} u_n & = a + (n-1)b \\ u_{11} & = 6 + (11-1)3 \\ & = 6 + 30 \\ & = 36 \end{align} $ Jadi, nilai suku ke-11 nya adalah 36.Suku Tengah barisan aritmetika
Menentukan suku tengah ($u_t$) Barisan aritmetika mempunyai suku tengah dengan syarat banyak suku harus ganjil. Suku tengah disimbolkan $ u_t \, $ yang dapat dicari nilainya dari barisan yang banyak sukunya berhingga. Rumus suku tengah : $ u_t = \frac{u_1 + u_n}{2} $ Keterangan : $ u_1 \, $ = suku pertama barisan yang dicari suku tengahnya, $ u_n \, $ = suku terakhir barisan yang dicari suku tengahnya. Contoh : Tentukan nilai suku tengah dari setiap barisan aritmetika berikut ! a). 1, 3, 5, 7, 9 b). 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 c). 3, 5, 7, 9, ... , 2015 Penyelesaian : Untuk banyak sukunya sedikit seperti soal bagian a dan b bisa langsung ditentukan suku tengahnya. Akan tetapi untuk soal bagian c kita tidak bisa langsung menentukan suku tengahnya sehingga harus menggunakan rumusnya. a). Suku tengahnya adalah 5, caranya : $ u_t = \frac{u_1 + u_n}{2} = \frac{1 + 9}{2} = 5 $ b). Suku tengahnya adalah 8, caranya : $ u_t = \frac{u_1 + u_n}{2} = \frac{2 + 14}{2} = 8 $ c). Suku tengahnya : $ u_t = \frac{u_1 + u_n}{2} = \frac{3 + 2015}{2} = 1009 $Sisipan pada barisan aritmetika
Menentukan barisan baru setelah disisipkan $ k \, $ suku Misalkan awalnya ada barisan : $ u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, .... $ Setiap dua suku pada barisan diatas disisipkan bilangan sebanyak $ k \, $ suku, maka akan terbentuk barisan baru yang tetap dalam bentuk barisan aritmetika. Di sini yang sangat berperan penting adalah terbentuknya beda baru setelah disisipkan. Beda barunya : $ b^* = \frac{b}{k+1} $ Keterangan : $ b \, $ = beda awal dari barisan sebelum disisipkan $ b^* \, $ = beda baru setelah barsian disisipkan (beda barisan baru) $ k \, $ = banyak suku yang disisipkan. Contoh : Diketahui barisan 1, 9, 17, 25, .... . Setiap antara dua suku disisipkan 3 bilangan. Tentukan barisan baru yang terbentuk? Penyelesaian : Untuk menyisipkan 3 bilangan, kita tidak boleh menyisipkan sebarang bilangan, karena barisan baru yang terbentuk harus tetap berbentuk barisan aritmetika. Agar dijamin tetap terbentuk barisan aritmetika, maka kita harus menggunakan rumus untuk mencari beda barunya. *). Dari barisan 1, 9, 17, 25, .... diperoleh beda awal $ b = 9 - 1 = 8 $ *). akan disisipkan 3 bilangan, artinya $ k = 3 $ Sehingga beda barunya : $ b^* = \frac{b}{k+1} = \frac{8}{3+1} = \frac{8}{4} = 2 $ Barisan barunya dengan beda baru 2 adalah : $ 1, \underbrace{ 3, 5, 7}_{\text{sisipan}} , 9 , \underbrace{ 11, 13, 15}_{\text{sisipan}} , 17 , \underbrace{ 19, 21, 23}_{\text{sisipan}} , 25, .... $ dimana barisan yang baru ini juga berbentuk barisan aritmetika.Deret aritmetika
Jumlah $ n \, $ suku pertama deret aritmetika Deret aritmetika merupakan jumlahan dari suku-suku pada barisan aritmetika. Jumlahan yang dimaksud adalah penjumlahan untuk beberapa suku berhingga ($ n \, $ suku pertama). Simbol yang digunakan adalah $ s_n \, $ yang artinya jumlah $ n \, $ suku pertama. Misalkan : $ s_1 = u_1 \, $ (jumlah 1 suku pertama) $ s_2 = u_1 + u_2 \, $ (jumlah 2 suku pertama) $ s_3 = u_1 + u_2 + u_3 \, $ (jumlah 3 suku pertama) $ s_4 = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 \, $ (jumlah 4 suku pertama) dan seterusnya. Bagaimana kalau yang dijumlahkan sukunya banyak sekali, maka kita akan menggunakan rumusnya langsung. Berikut rumus jumlah $ n \, $ suku pertama berdasarkan : *). Diketahui suku pertama ($u_1$) dan suku terakhirnya ($u_n$), $ s_n = \frac{n}{2}(u_1 + u_n) $ *). Diketahui suku pertama ($u_1 = a $) dan bedanya ($b$), $ s_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $ *). Diketahui banyak suku ($n \, $ suku) dan suku tengahnya ($u_t$), Rumus suku tengahnya : $ u_t = \frac{u_1 + u_n}{2} $ Rumus jumlahnya : $ s_n = \frac{n}{2}(u_1 + u_n) = n . \frac{u_1 + u_n}{2} = n . u_t $ Sehingga : $ s_n = n.u_t $ Ketiga rumus $ s_n \, $ di atas memberikan hasil yang sama. Jika sobat tidak ingin mengingat ketiganya, cukup ingat rumus kedua saja yaitu $ s_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $ Contoh : 1). Tentukan jumlah 11 suku pertama dari barisan 2, 4, 6, 8, ....? Penyelesaian : *). Dari barisan diperoleh $ a = 2 \, $ dan $ b = 4-2 = 2 $ Jumlah 11 suku pertamanya : $ \begin{align} s_n & = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) \\ s_{11} & = \frac{11}{2}(2.2 + (11-1)2) \\ & = \frac{11}{2}(4 + 20) \\ & = \frac{11}{2}(24) \\ & = 11 . 12 = 132 \end{align} $ 2). Diketahui suatu barisan aritmetika yang terdiri dari 11 suku dengan suku tengahnya adalah 34. Tentukan jumlah 11 suku pertama barisan tersebut.! Penyelesaian : Diketahui $ n = 11 \, $ dan $ u_t = 34 $ Sehingga jumlah 11 suku pertamanya adalah : $ s_n = n.u_t \rightarrow s_{11} = 11 . 34 = 374 $ 3). Tentukan jumlah semua bilangan antara 5 sampai 200 yang habis dibagi 4! Penyelesaian : *). Pertama kita daftar dulu bilangan-bilangan yang habis dibagi 4 antara 5 sampai 200. Bilangannya : 8, 12, 16 ... , 196 dengan $ a = 8 \, $ dan $ b = 8 - 4 = 4 $ *). Menentukan banyaknya suku dengan menggunakan suku terakhir ($u_n = 196$) $ \begin{align} u_n & = 196 \\ a + (n-1)b & = 196 \\ 8 + (n-1)4 & = 196 \\ 8 + 4n - 4 & = 196 \\ 4n & = 192 \\ n & = \frac{192}{4} = 48 \end{align} $ artinya ada 48 bilangan yang habis dibagi 4 antara 5 sampai 200 . Sehingga jumlah semua bilangan $ 8 + 12 + 16 + .... + 196 \, $ yang ada 48 suku $ \begin{align} s_n & = \frac{n}{2}(u_1 + u_n) \\ s_{48} & = \frac{48}{2}(8 + 196) \\ & = 24 \times 204 = 4896 \end{align} $ Jadi, jumlah semua bilangan yang habis dibagi 4 antara 5 sampi 200 adalah 4.896Barisan dan deret Aritmetika juga sering dikaitkan dengan persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat dalam penyelesaian suatu soal SBMPTN atau soal-soal masuk perguruan tinggi negeri. Silahkan juga baca materi mengenai persaman dan fungsi kuadrat. |
Barisan aritmatika suku ke-6 sama dengan dan suku ke 8 sama dengan 19 tentukan bedanya
Pos Terkait
Copyright © 2024 ketajaman Inc.
