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Neunzehnter S a B. le h-r'f a k. Die Summe der Winkel jedes Sugeldreiecks ist kleiner als sechs, und großer, als zwei rechte Winkel. Denn, erstlich, ist jeder Winkel eines Kugeldreiecks kleiner als zwei rechte. (Man fehe die unten folgende Anmerkung.) Alfo. ist die Summe der drei Winkel kleiner, als sechs rechte. Zweitens ist das Maß jedes Winkels eines Kugelbreiecks gleich dem halben Umfange, weniger der zugehörigen Seite des Polardreiecks (10r S.). Also hat die Summe der drei Winkel zum Maße drei halbe Umfånge, weniger der Summe der Seiten des Polardreiecks. Diese lekte aber ist kleiner , als ein ganzer Umfang (4r S.); also ist der Rest, wenn man diese Summe von drei halben Umfången abzieht, größer, als ein halber Umfang, welcher das Maß von zwei rechten Winkeln ist; folglich ift, zweitens, die Summe der drei Winkel eines Kugeldreiecks großer, als zwei rechte. I. Zusaß. Die Summe der Winkel ist nicht in allen Ru: gelbreiecken gleich groß, wie in geradlinigen Dreiecken; sie wechfelt von zwei bis zu sechs rechten Winkeln, kann aber beide Grenzen nicht erreichen. Zwei gegebene Winkel bestimmen also den dritten nicht. II. Zusat. Ein Kugeldreieck kann zwei und drei rechte, zwei und drei stumpfe Winkel haben. Fig. 235. Wenn das Dreieck ABC zweir echt winklig (bi – rectangle) ist, das heißt, wenn es zwei rechte Winkel B und C hat; so ist der Scheitel A der Pol der Grundlinie BC (6r S.), und die Seiten AB und AC find Quadranten. Wenn auch der dritte Winkel A ein rechter ift, so ist das Dreieck ABC dreirech twinklig (tri – rectangle). Alle seine Winkel sind dann rechte, und die Seiten Quadranten. Das dreirechtwinklige Dreied ift achtmal in der Kugelfläche enthalten. Dieses zeigt sich in der 236ten Figur, wenn daselbst der Bogen MN einen Quadranten bedeutet. Anmerkung. Bei allem Obigen wird vorausgesellt, daß die Seiten der Kugelbreiede, nach der rechsten Erklärung, stets kleiner find, als halbe Umfånge; hieraus folgt, daß die Winkel stets kleiner sind, als zwei rechte ; denn, wenn die Seiten AB und AC (Fig. 224.) kleiner find, als halbe Umfånge; so müssen fich diese Bogen, verlängert, in D schneiden. Aber die beiden Winkel ABC und CBD) zusammen betragen zwei rechte; also ist der Winkel ABC allein kleiner, als zwei rechte. Page 3
welcher beliebig außerhalb des Dreiecks gezogen ist. Nach dem vorigen Lehrsake find die beiden Dreiecke ADE und AGH, zus sammengenommen, dem Zweiecke gleich, dessen Winkel A ist, und welches 2A zum Maße hat (20r S.). Also ist ADE+AGH = 2A. Aus demselben Grunde ist BGF+BID = 2B und CIH + CFE=2C. Aber die Summe dieser sechs Dreiecke übers trifft die Halbkugel um das doppelte Dreieck ABC. Die Halbkugel wird nun durch die Zahl 4 ausgedrückt. Also ist das dop pelte Dreieck ABC=2A+2B+2C—4, und folglich ABC=A+B+C-2; mithin hat jedes Kugeldreieck zum Maße die Summe seiner Winkel, weniger zwei rechte. I. 3usak. So viele rechte Winkel in diesem Maße enthalten sind: so viel dreirechtwinklige Dreiecke, oder Uchttheile der Kugelfläche, welche die Einheiten der Fläche waren, enthält das gegebene Dreieck (20r S.). 3. B.: wenn jeder Winkel eines rechten ist, so sind die drei Winkel zusammen gleich 4 rechten, und das gegebene Dreieck wird durch 4-2 oder 2 ausgedrückt; also ist es dann zwei dreirechtwinkligen Dreiecken, oder einem Viertheile der Kugelfläche, gleich. II. Zusak. Das Kugeldreied. ABC ist einem Zweiece A + B+C gleich, dessen Winkel -1 ist. Die Kugelpyramide, 2 deren Grundfläche ABC ist, gleicht, an körperlichen Inhalt, eix A+B+C nem Kugelschnitte, dessen Winkel 1 ist. 2 Anmerkung. So wie das Kugeldreieck ABC mit dem dreirechtwinkligen Dreiecke 'verglichen wurde: so kann auch die Kugelpyramide ; 'welche ABC zur Grundfläche "hat, mit der dreiz rechtwinkligen Pyramide verglichen werden; welches dieselbe Proportion giebt. Auch der Körperwinkel an der Spitze der Pyramide, låßt fich eben so mit dem Körperwinkel an der Spige der dreirechtwinkligen Pyramide vergleichen. Denn diese Vergleichung beruht auf das Ineinanderfallen der Theile. Fallen nun die Grundflächen der Pyramiden in einander, so ist klar, daß auch die Pyramiden selbst, und folglich auch die Körperwinkel an der Spiße, in einander fallen müssen. Daraus folgt. Nachstehendes: Page 4
fang, eben wie DCA; also, da CA'CA, To ist auch CD'CD. Uber, in dem Dreiecke CID' ist CI+ID>CD'; also ist ID>CD - CI, oder ID'>ID, Man halbire, in dem gleichschenkligen Dreiece CIB, den Win: kel I am Scheitel,, durch den Bogen EIF, welcher auf BC, in des: Ten Mitte, senkrecht stehen wird. Nimmt man nun zwischen I und E einen Punct L an, so ist die Entfernung BL, welche LC gleich ist, kleiner, als BI; denn, wie in dem 9ten Saße des 1sten Buchs, kann bewiesen werden, daß BL + LC<BI + IC; also daß, wenn man auf beiden Seiten die Hälfte nimmt, BL<BL. Uber, in dem Dreiecke D‘LC ist DʻL>D'C— CL, und folglich, um so mehr, D'L>DC - CI, oder D'L>DI, oder D'L>BI; alfo D'L>BL. Sucht man also, in dem Bogen EIF, einen Punct, in gleicher Entfernung von den drei Puncten B, C, D, so kann derselbe nur in der Verlängerung von El, nach Fzu, liegen. I sei der gesuchte Punct, so, daß D'I' =BI' =CI', so hat man die gleichen Winkel I'BC = I'CB, I'BD = IDB, I'CD'= I'D'C, weil die Dreiecke I'CB, I'CIX und I'BD' gleichschenklig sind. Aber die Winkel D'BC und CBA' betragen zusammen zwei rechte, eben wie D'CB + BCA', also ist D'BI' + IBC + CBA = 2, BCI – I'CD' + BCA' = 2. Nimmt man diese beiden Summen zusammen, und erwägt, daß IBC =BCI' und D'BI' — I'CD'=BDI — I'D'C=CÒB=CAB"; lo erhält man 2 IBC + CA'B + CBA + BCA = 4; also ist CA'B + CBA' + BCA – 2 (welches das Maß des Inhalts des Dreiecks A'BC ist) = ? 2 I'BC, so, daß der Inhalt von A'BC — 2 -2 Wink. I'BC ift. Eben so ist, für das Dreieck ABC, der Inhalt von ABC=2-2 Wink. ABC. Bewiesenermaßen ist aber der Winkel l'BC größer, als der Winkel IBC; also ist der Inhalt von A'BC kleiner, als der Inhalt von ABC. Fig. 273. Der nämliche Beweis und die nämliche Folgerung findet Statt, wenn man, indem man den Bogen CA=CĂ nimmt. den Winkel BCA <BCA macht; also ist das Dreieck ABC, unter allen, mit den zwei nämlichen gegebenen und einer dritten willfúrlichen Seite, das großeste. Fig. 241. I. Anmerkung. Das Dreieck ABC, das größte unter aben mit zwei gegebenen Seiten CA und CB, kann in einen Halbkreis beschrieben werden, dessen Durchmesser die Sehne der drit: ten Seite AB ist. Denn, da 0 in der Mitte von AB liegt, To find OC und OB gleich ; folglich gehet der Umfang des kleinen Kreises, der aus dem Puncte 0, als Pol, mit dem Abstande OB beschrieben wird, durch die drei Puncte A, B und c. Ferner ift die Linie BA ein Durchmesser dieses kleinen Kreises; denn der Mittelpunct, welcher zugleich in der Ebene bes kleinen Kreises und in der Ebene des Bos gens vom größten Kreise BOA liegen muß (10 S. 4r Zusak), muß nothwendig in den Durchschnitt dieser beiden Ebenen fallen, welcher die gerade Linie BA ist; also ift BA ein Durchmesser. Page 5
daß OT = 08 =AO. Hierauf ziehe man SA, SB, TA etc.; fo entsteht ein Körper SABCDT, welcher aus zwei viereckigen Pyramiden SABCD, TABCD zusammengefekt ist, die in ihrer gemeinschaft: lichen Grundfläche ABCD, zusammenstoßen; und dieser Körper ist daß verlangte regelmäßige Octaeder. Denn das Dreieck AOS ist in O rechtwinklig, eben wie das Dreieck AOD; die Seiten A0, os, OD sind gleich; also find die Dreiecke gleich, und folglich ist AS = AD, Eben so wird bewiesen, daß alle die andern rechtwinkligen Dreiecke AOT, BOS, COT etc. dem Dreiece AOD gleich find; folglich find alle Seiten, AB, AS, AT etc, einander gleich; und folglich ist der Rórper SABCDT unter acht Dreiecken begriffen, die fåmmtlich dem gleichseitigen Dreiecke ABM gleich find. Ich behaupte ferner, daß die Körperwinkel des Polyeders einander gleich sind, z. B. S=B. Denn, offenbar sind die Dreiecke SAC und DAC gleich; folglich ist der Winkel ASC ein rechter ; also ist die Figur SATC ein, dem Quadrate ABCD gleiches, Quadrat. Vergleicht man aber die Pyramide BASCT mit der Pyramide SABCD, To tann die Grundfläche ASTC der ersten auf die Grundfläche ABCD der zweiten gelegt werden. Da alsdann der Punct O ein gemeinschaftlicher Mit telpunct ist, so wird die Höhe OB der ersten in die Höhe os der zweiten, und die beiden Pyramiden werden zusammenfallen; folglich ist der Körperwinkel s gleich dem Körperwinkel B, und mithin der Korper SABCDT ein regelmaßiges Octaeder. Anmerkung. Wenn drei gleiche, gerade Linien AC, BD, ST auf einander senkrecht stehen, und einander in der Mitte schneiden; so sind die Endpuncte dieser geraden Linien die Scheitel eines regelmäßigen Dctaeders.
Construction des Dodecaeders. Fig. 246. ABCDE sei das gegebene regelmäßige Fünfeck ; ABP und CBP follen zwei ebene Winkel sein, die dem Winkel ABC gleich find. Mit diesen ebenen Winkeln construire man den Körpers winkel B, und bestimme, nach dem 24sten Sage des 5ten Buchs, die wechselfeitige Neigung zweier feiner Ebenen. Diese Neigung werde durch K bezeichnet. Man construire, eben po, in den Puncten C, D, E, A, Körperwinkel, die dem in B gleich find, und eben fo liegen. Die Ebenen CBP und BCG' werden in einander fallen, weil fie beide gegen die Ebene ABCD die Neigung K haben. Man kann also, in der Ebene PBCC, das, dem Fünfede ABCDE gleiche, Fünfect BCGFP beschreiben. Thut man ein Gleiches in jeder der Ebenen CDI, DEL etc., fo entstehet eine ausspringende Oberfläche PFGH etc., welche aus sechs regelmäßigen Fünfecken zusammengesegt ift, die einander gleich sind, und deren jedes gegen das anliegende unter Page 6
ABE sind auf den Halbmessern, in ihren Endpuncten, senkrecht), und die Kugel ist in das Polyeder eingeschrieben, oder das Polyeder um die Kugel beschrieben. Man ziehe OA und OB; so entfernen sich, weil CA ist, die beiden schrägen Linien OA und OB gleich weit vom Perpen: dikel, und sind gleich. Ganz so verhält es sich mit zwei beliebigen anden Linien, aus dem Mittelpuncte o nach den Endpuncten einer beliebigen Kante ; also sind alle diese Linien einander gleich. Beschreibt man also mit dem Halbmesser OA, aus o, eine Kugelfläche; so geht dieselbe durch die Scheitel aller Körperwinkel des Polyebers; folglich ist diese Kugel um das Polyeder, oder das Polyeder in die Kugel beschrieben. Die Auflösung der Aufgabe selbst hat nun teine Schwierigkeit weiter, und ist folgende: Fig. 249. Wenn die Seite einer Seitenfläche des Polyeders gegeben ist, so beschreibe man diese Seitenfläche; CD fei ihre Apo: theme. Nun fuche man, nach der vorigen Aufgabe, die Neigung zweier an einander liegenden Flächen des Polyeders, und mache den Winkel CDE dieser Neigung gleich. Ferner mache man DE gleich CD, und ziehe CO und EO auf CD und ED senkrecht; diese beiden Perpendikel werden sich in o schneiden, und CO wird der Halbmefe set der in das Polyeder beschriebenen Kugel sein. In der Verlängerung von DC mache man CA gleich dem Halbs messer des um eine Seitenfláche des Polyeders beschriebenen Kreis ses ; so ist OA der Halbmesser der um das Polyeder beschries benen Kuget. Denn die rechtwinkligen Dreiede CDO und CAO, der 249ften Figur, find den rechtwinkligen Dreiecken CDO und CAO der 248sten Figur gleich. Sind also CD und CA die Halbmesser der, in und um eine Seitenflache des Polyebers beschriebenen , Kreise; To find oC und da die Halbmesser der, in und um das Polyeder beschriebenen, Kugeln *). Anmerkung. Man kann aus diesen Sågen mehrere Folger rungen ziehen. Erstens. Sedes regelmäßige polneder kann in fo viele tegels mäßige Pyramiden getheilt werden, als das Polyeder Seitenflachen hat. Die gemeinschaftliche Spige der Pyramiden ist der Mittels punct des Polyeders, welcher zugleich der Mittelpunct der in- und umschriebenen Kugeln ist. Page 7
Jeder Schnitt des Kegels. HKFI, senkrecht auf die Are, ift ein Kreis; jeder Schnitt SDE, in welchem die Ure liegt, ist ein gleichschenkliges, dem doppelten, beschreibenden Dreiecke SAB gleiches Dreieck. III. Wenn man von dem Kegel SCDB, mittels eines mit der Grundfläche parallelen Schnitts, den Kegel SFKH abschneibet: so heißt der übrig bleibende Körper abgekürzter Kegel. Man kann sich vorstellen, der abgekürzte Kegel entstehe, wenn sich ein Trapez ABHG, dessen Winkel A und G rechte sind, um die Seite AG dreht. Die unbewegliche Linie AG heißt dann Are oder $ó he des abgekürzten Kegels. Die Kreise BDC und HFK sind seine Grund flá chen; BH ist seine Seite. IV. Zwei Cylinder oder Kegel sind å hnlich, wenn sich ihre Uren wie die Durchmesser ihrer Grundflächen verhalten. Fig. 252. V. Wenn man in den Kreis ACD, welcher einem Cylinder zur Grundfläche dient, ein Vielec ABCDE bes schreibt, und auf der Grundfläche ABCDE ein senkrechtes Prisma, von der Höhe des Cylinders, errichtet, so heißt dieses Prisma: in den Cylinder eingeschrieben; oder der Cylinder: um das Prisma beschrieben. Es ist klar, daß die Kanten AF, BG, CH etc. des Prisma, weil sie auf der Ebene der Grundfläche senkrecht sind, in der converen Oberfläche des Cylinders liegen; folglich berühren fich der Cylinder und das Prisma, långs den Kanten. Fig. 253. VI. Eben so: wenn ABCD ein um die Grundflache des Cylinders beschriebenes Vieleck ift, und man beschreibt über der Grundfläche ABCD ein senkrechtes Prisma, von der Höhe des Cylinders; so heißt das Prisma: um den Cylina der-, oder der Cylinder: in das Prisma beschrieben. M, N etc. seien die Berührungspuncte der Seiten AB, BC etc., und in den Puncten M, N etc. seien auf der Ebene der Grundfläche die Perpendikel MX, NY etc. errichtet, so ist klar, daß diese Perpendikel zugleich in der Oberfläche des Cylinders und des umschriebenen Prisma liegen werden; also find sie Bes rührungslinien. Page 8
dere Fläche, welche OABCD umgiebt, und denfelben Umfang ,' ABCD hat. Anmerkung. Durch dhnliche Schlüsse låßt fich beweifen, daß Fig. 256. Erftlich, wenn eine, von den beiden Umfången ABC und DEF begrenzte, Flache von einer andern umschlofsen wird, die die nämlichen Grenzen hat, die umschlossene Fläche die kleinere ist. Fig. 257. Zweitens, daß, wenn eine convere Fläche AB, von allen Seiten, von einer andern Fläche MN umgeben ift: die beiden Flächen mogen Puncte, Linien, ober Ebenen, oder auch gar keine Stelle gemein haben: erstere immer kleiner ist, als die umgebende. Denn, unter den legtern kann keine fein, welche die kleinste unter allen übrigen ist, weil man allemal eine, die convere Fläche berührende, Ebene CD ziehen könnte, welche kleiner wäre, als die Fläche CMD (1r Lehnsak); also würde die Fläche CND kleiner sein, als MN; welches gegen die Voraussegung ist, weil vielmehr MN unter allen die kleinste sein sollte; folglich ist die convere Fläche AB die kleinste unter allen, welche sie umschließen.
Er ster S a k. Lehrsak. Der körperliche Inhalt eines Cylinders ift gleich dem Producte feiner Grundflåche in feine Höhe. Fig. 258. Der Halbmesser der Grundfläche des gegebenen Cylinders sei CA, H seine Höhe. Man bezeichne durch: Krfl. CA die Fläche eines Kreifes, dessen Halbmeffer CA ist: so behaupte ich, daß der körperliche Inhalt des Cylinders = Krfl. CA XH ift. Denn, wenn Krfl. CA XH nicht das Maß des gegebenen Sylinders wåre; fo würde dieses Product das Maß eines großern, oder eines kleinern Cylinders sein. Angenommen, eines kleinern, s. B. eines Cylinders, dessen Höhe H, und von dessen Grundfläche CD der Halbmesser ift. Man beschreibe um den Kreis , dessen Halbmesser CD ist, ein regelmäßiges Bieleck GHIP, dessen Seiten den Umfang vom Page 9
Siebenter Sak..lehrsa 6. Die convere Oberflå che eines Kegels ist gleich dem Umfange seiner Grund flå ché, multiplicirt mit der Hälfte seines Schenkels.
Kegel, von dessen Grundflå che der Halb meffer dem unterschiede der Halbmesser der beiden Grundflächen des abgekürzten Kegels, und dessen Höhe der Hälfte der Höhe des abgekürzten Regels gleich ist. Ferner ist der abgekürzte Regel großer, als ein Cylinder, von dessen Grundfläche der Durchmesser der halben Summe der Durchmesser der beiden Grundflå: chen des abgekürzten Kegels, und dessen Höhe der Höhe des abgekürzten Regels gleich ist, und zwar um die Hälfte des vorhin beschriebenen, dem obigen Un: terschiede gleichen, Regels. Denn, der Halbmesser der obern Grundfläche des abgekürzten Kegels fei b, der Halbmesser der untern Grundfläche b+k, die Hohe H; so ist der Inhalt, nach dem sechsten Safe = a (b + (b + k)2 + b (b+k)]=jiH (3 b2+36k+34) = H (bo+bk + jk). Die Grundflächen des abgekürzten Kegels find a b? und * (b+k)'; also ist die Grundfläche des ersten, oben beschriebenen, Spa a b + a (b + k) linders = a (bo + bk + 1k?); also fein In 2 halt a H (b* + b k + *k?). Der Halbmesser des zweiten, oben b+b+k beschriebenen, Cylinders ist =b+ jk; also seine Grunds 2 fläche st (b + 4k) =* (b? + bk + 1k?); folglich sein Inhalt =xH (b + bk + k). Also ist der Inhalt des abgekürzten Kegels == H (b? + bk + *k'); des ersten Eylinders = A H (b2 + bk + {k”); des zweiten Cylinders = n H (b? + bk + 4 k); Grundflåche, und ih zur Höhe, fo ist sein Inhalt = 1* Hk; ; folglich ist der Inhalt eines solchen Kegels gleich dem Unterschiede zwischen dem abgekürzten Kegel und dem ersten Cylinder, und gleich dem doppelten Unterschiede zwischen dem abgekürzten Kegel und dem zweiten Cylinder. Anm. d. Ueberl. Page 10
Umfange vom Halbmesser AO; ferner SF, und DH mit AF parallel
Wegen der åhnlichen Dreiede SAO und SDC ist AO:DC =SA:SD, und, wegen der ähnlichen Dreiecke SAF und SDH, AF:DHESA:SD; also AF:DH=AO:DC, oder = Umf. AO: Umf. DC (48 B. 11r S.). Uber nach der Construction ist AF = Umf. A0; also ist DH = Umf. DC. Nun ist das Dreieck SAF, welches AF X SA zum Maße hat, gleich der Oberfläche des stegels SAB, welcher Umf. AO X SA zum Maße hat. Uus einem áhnlichen Grunde ist das Dreieck SDH gleich der Oberfläche des Kegels SDE; also ist die Oberfläche des abgekürzten Regels ADEB gleich der des Trapezes ADHF. AF + DG Die legtere hat zum Maße AD X 2 also ist die Oberfläche des abgekürzten Regels ADEB gleich dem Producte seiner Seite AD in die halbe Summe der Umfange feiner Grundflächen. Zusak. Man ziehe durch I, die Mitte von AD, IKL mit AB und IM mit AF parallel; so wird wie oben bewiesen, daß IM = Umf. IK. über das Trapez ADHF ist gleich AD XIM= AD x Umf. IK; also folgt auch: Daß die Oberflå che eines abgekürzten Kegels gleich ist dem Producte seiner Seite in den U mfang eines Schnitts mitten zwischen den Grunda flåchen. Unmerkung. Wenn eine Linie AD, die ganz an der nåmlichen Seite der Linie OC und in der nåmlichen Ebene liegt, eine Umdrehung um OC macht, so hat die von AD beschriebene Umf. AO + umf. DC Oberfläche zum Maße: AD X oder 2 AD x Umf. IK. Die Linien AO, DC, IK find Perpendikel, aus den Enopuncten und aus der Mitte der Linie AD, auf die 2re OC Denn, verlängert man AD und oc, bis fie sich in s schneiden; so ist klar, daß die von AD beschriebene Fläche die Page 11
Gegentheile aber ist die legte größer, als die erste, weil sie, fie von aten Seiten umgiebt; also kann, erstlich, das Maß irgend einer Kugelzone, mit einer Grundfläche, nicht kleiner sein, als das Product der Höhe" der Zone in den Umfang des größten Kreises. Ich behaupte zweitens, daß das Maß der Zone nicht gro: Ber sein kann, als das Product der Höhe der Zone in den Umfang des größten Kreises. Denn, gesekt, es sei von der vom Bogen AB um AC beschriebenen Zone die Rede, und es sei, wenn es möglich ist, Zone AB > AD x Umf. AC. Die ganze Kugerflache, welche aus den beiden Zonen AB unb BH besteht, hat zum Maße AH X Umf. AC (10r S.), oder AD X Umf. AC + DH x Umf. AC;" wåre also Zone ABY AD x Umf. AC, so müßte sein: Zone BH < DH XUm F. AC, welches dem vorhin Bewiesenen widerspricht. Also kann, zweis tens, das Maß einer Kugelzone, mit einer Grundfläche, nicht großer sein, als das Product der Höhe der Zone in den Umfang des größten Kreises. Mithin ' ist das “Maß jeder Kugelzonte mit einer Gründe fläche, gleich dem Producte der Höhe der Zone in den Umfang des größten Kreiseş. Fig. 220. Nun betrachte man eine beliebige Zone mit zwei Grundflächen, die durch Umdrehung des Bogens FH um den Durchmesser DE entsteht, und ziehe die Perpendikel FO. und HQ auf den Durchmesser. Die vom Bogen FH befchries bene Zone ist der Unterschied der beiden, von den Bogen DH und DF beschriebenen, Zonen; diese Zonen haben zum Maße DOX Umf. CD, und DO XUmf, CD; also ist die von FH bes schriebene Zone =(DQ -- DO) x Umf. CD; oder =OQ.X umf. CD. 30 Also hat jede Kugelzone, mit einer oder zwei Grund: flächen, Das Product der Höhe in den Umfang des größten Kreifes zum Maße. * Burak. Zwei Zonen, in einer und derselben Kugel, oder in gleichen Kugeln, verhalten sich, wie ihre Höhen; und jede bea liebige Zone verhålt fich zur Kugelfläche, 'wie die Höhe der Zone zum Durchmesser. Page 12
Ich behaupte, zweitens, daß dieses Probuct nicht das Maß eines kleinern Kugelausschnitts sein kann. Denn, CEF sei der Kreisausschnitt, welcher, burch seine Umdrehung, den gegebenen Kugelausschnitt beschreibt, und man seke: fx. CE”, EG sei, wenn es möglich ist, das Maß eines kleinern Kugelausschnitts, Ž. B. desjenigen, welcher aus dem Kugelausschnitte AGB entsteht. Die Construction bleibe die nämliche, wie vorhin; so hat der von dem Ausschnitte des Bielécs beschriebene Körper zum Maßen. CI. EG. Da nun CI kleiner ist, als CE, so ift der Körper kleiner, als fn. CE. EG, welches, nach der Vor: ausseßung, das Maß des von dem Kreisausschnitte ACB bes schriebenen Rugelausschnitts ift. , also würde der von dem Uus: schnitte des. Vieleds beschriebene Körper kleiner sein, als der, von ACB beschriebene, Kugelausschnitt. Er ist aber im Gegen weil er ihn umgiebt. Also ist es, zweitens, unmöglich, daß das Product der Zone eines Kugelausschnitts in ein Drittheil des Halbmessers das Maß eines kleinern Kugetausschnitts wäre. .:; Folglich hat jeder Kugelausschnitt: das Product Der ,,Zone, welche ihm zur Grundfläche dient, in ein Drittheil des Halbme fers, zum Maße. Ein Kreisausschnitt AČB kann bis zum Halbmesfer zuneh men; dann ist der durch seine Umdrehung beschriebene Kugelausschnitt die ganze Kugel. Also ist der körperliche Inhalt der Kugel gleich dem Producte der Kugelflåche in ein Drittheil des Halbmessers. Zusa Bu Da fich Kugelflächen wie die Quadrate der Halbmesser verhalten, so verbalten sich die Producte derselben in die Halbmeffer, wie die Würfel der Halbmesser. Also vers hålt sich der körperliche Inhalt zweier kugeln, wie die Würfel ihrer Halbmesser, oder, wie die W úrfel der Durchmelser, Anmerkung, . R sei der Halbmesser einer Kugel; so ift ihre Oberfläche 4 x RP und ihr körperlicher Inhalt 4#R'XfR oder **R'. Heißt der Durchmesser D, fo ift RD und Page 13
Die Eigenschaft: der Richtung nach sich zu náber n (pencher), ist etwas underes. Eine Linie nihert sich, ihrer Richtung nach, einer andern um so mehr, je weiter fie von dem Perpendikel auf die lektere abweicht. Euclides, und andere, nennen öfters Dreiecke gleich, die blos einerlei Flächeninhalt haben; Körper gleich, die blos einerlei körperlichen Inhalt haben. Es Thien uns passender, dergleichen Dreiecke und Körper gleichgroß (equivalents) zu nennen, und die Benennung gleich den Flächen und Körpern vorzubehalten, welche fich beim Aufeinanderlegen decken. *) Bei Körpern und Flächen muß man zweierlei Arten von Gleichheit unterscheiden. Zwei Körper,' zwei Körperwinkel, zwei Kugeldreiecke oder Kugelvielecke können in allen ihren Bestimmungs: stůcken gleich sein, ohne gleichwol bei dem Uufeinanderlegen sich zu decken. Diese Bemerkung wird in den Elementarbüchern gewöhnlich nicht beachtet. Dann aber sind mehrere Beweise, die auf dem Decken der Figuren beruhen, unrichtig. Zum Beispiel diejenigen, durch welche einige Schriftstelter die Gleichheit von Kugeldreiecken, in eben den Fäßlen und auf eben die Weise, wie bei den geradlinis gen Dreiecken, nachweisen zu können glauben. Ein auffallendes Beispiel hiervon findet man bei Robert Simfon, welcher, indem er den Beweis des 18ten Sakes im 11ten Buche des Euclid bes streitet, Felbst in den Irrthum perfáult, feinen Beweis auf ein Decken zu gründen, welches nicht Statt findet **). Es schien uns daher nöthig, der Gleichheit, welche nicht nothwendig mit dem Decken verbunden ist, einen befondern Namen zu geben. Air haben fie fymmetrische Gleichheit, und die Figuren, welche in solchem Falle find, symmetrische Figuren genannt. Die Benennungen, gleiche, symmetrische und gleich große Figuren haben also verschiedene Bedeutungen, und dürfen nicht mit einander verwechselt werden, Bei den Sägen von Bielecken, Scórpeetvinkeln und Polyedern haben wir ausdrücklich Figuren mit einspringenden Winkeln ausges schlossen; denn, eines Theils müssen wohl die Elemente , billigerweise
*) Es ist unstreitig vollkommen angemessen, für ineinanderfal. lend, oder congruent, daß deutsche Wort gleich zu gebrauchen, welches den Sinn bestens ausdrückt, und dageger völlig unangeneffen, gleich große Figuren gleich zu nennen. Die Gleichheit der Größe von Figuren ist nur eine Uebereinstimmung derselben in einer besondern Eigenschaft. Bes diente man sich, um diese zu bezeichnen, des Wortes gleich; so könnte man auch fast mit eben dem Rechte z. B. zwei Apigwinklige Dreiecke gleich nens nen ; denn auch diefe ftimmen in ciner befordern Eigenfchaft, fpiße Winkel zu haben, überein. Unm, d. ueberfi •:: ***) Man sehe das Werk von Simfon: Buclidis elemeptorum libri sex ato. Glasguae 1756. Anm. d. Verf. Page 14
zum Beispiele, in dem Raume BCM: fo würde fte den Theil BCM des Ebenen - Raumes nur in zwei gleiche, oder in zwei ungleiche Theile theilen können. Der Raum BCM hat seinen correspondirenden BCM', an der andern Seite von BC. Da nun aber, die Ebene, außer diesen beiden einander gleichen Theilen, noch zwei andere, in den gleichen Winkeln ACM und ACM', hat; so folgt, daß der Winkelraum BCM nicht die Hälfte des ganzen Ebenen-Raumes ist. Also könnte die Linie XY, welche, nach der Voraussebung, den Raum BCM in zwei Theile theilt, den ganzen Raum nur in zwei ungleiche Theile theilen; was der Natur der geraden Linie widerspricht *) Durch diesen sehr einfachen Saß wird nicht allein das Postulat, welches unsern Beweis an der Strenge hinderte, gerechtfertigt; fons dern man kann auch durch denselben das Euclidische Postulat unmit: telbar beweisen. Dieses Postulat läßt sich nämlich bekanntlich leicht auf den Fall reduciren, wo eine gerade Linie AC (Fig. 276) auf AB senkrecht steht, während die andere BD mit AB einen Winkel ABD macht, der kleiner ist, als ein rechter; in welchem Falle man denn beweisen muß, daß BD, verlängert, die AC nothwendig schneidet. Man verlängere AC nach C und mache ABD'=ABD. Schnitte nun BD die AC nicht, so mußte CCganz in dem Winkel DBD enthalten sein, der kleiner ist, als zwei rechte; was unmöglich ist. Wir überlassen den Geometern, zu entscheiden, ob dieser Bez weis nicht verdiene, in die Elemente aufgenommen zu werden, vors zugsweise vor jedem andern, um den Euclidischen Gang herzus stellen, der dann, nachdem das Postulat weggeschafft worden, ganz streng ist **). Wir wollen jekt weiter zeigen, daß man mit Erfolg von der Analysis Gebrauch machen kann, um den 19ten und andere Haupts fåße der Geometrie zu beweisen. Wir wollen solches mit aller nothwendigen Ausführlichkeit thun, und mit dem Saße von der Summe der drei Minkel eines Dreiecks anfangen. Unmittelbar durch das bloße Aufeinanderlegen, und ohne irgend einen Hůlfsjak, låßt sich beweisen, daß zwei Dreiede gleich sind, wenn zwei Winkel und die dazwischen liegende
*) Diese Stelle scheint etwas dunkel zu sein. Unm. d. ueberf. **) Wenn man unbegrenzte Ebenen-Räume bei dem Beweise des 11ten Euclidischen Arioms zu Hülfe nch will, so kann man, wie es scheint, auch noch leichter zum Ziele gelangen. Die oben erwähnte Anmerkang giebt, auf S. 31., ein Beispiet davon. Un m. d. Uebers. Page 15
AFG und AML haben zwei einzeln gleiche Winkel, nämlich: den Winz kel A gemeinschaftlich, und einen rechten Winkel. Also find diese Dreiede gleichwinklig ; folglich hat man die Proportion AF: AL=AG : AM, vermittels welcher der zwanzigste Sag bewiesen wird. Der Sab vom Quadrate der Hypothenuse ist, wie bekannt, eine Folge des Sages von den gleichwinkligen Dreiecken. Es ließen sich also drei Hauptlage der Geometrie, nämlich die Säße von den drei Winkeln eines Dreiecks, von gleichwinkligen Dreiecken, und vom Quadrate der Hypothenuse, einfach und unmittelbar durch die Bes trachtung von Functionen beweisen. Even so kann man, sehr kurz, die Säße von ähnlichen Figuren und ähnlichen Kórpern beweisen. Es sei ABCD ein beliebiges Bieleck. Man nehme die Seite AB zur Grundlinie an, und beschreibe, über derselben, so viel Dreiecke ABC, ABD u. f. w. als Winkel C, D, E etc. außerhalb der Grundlinie liegen. Die Grundlinie AB sei gleich p. Die beiden Winkel, im Dreiecke ABC, an der Seite AB, sollen A und B, die beiden Winkel im Dreiecke ABD, an der nåmlichen Seite AB, follen A und B' heiBen u. T. 'W. Die Figur ABCDE ist vollsiändig bestimmt, wenn man die Seite P, nebst den Winkeln A, B; A', B';A", B'' u. s. w., kennt. Die Zahl der gegebenen Stücke ift 2n-3, wenn die Zaht der Seiten des Vielecs n ist. Nun wird eine beliebige Seite, oder selbst, eine wie man will gezogene Linie x, eine Function der geges benen Bestimmungsstücke des Vielecks sein; und da eine Zahl p ist, so kann man regen: W(A, B, A', B...); oder P *=p4(A, B, A', B ..), to, daß die Function w kein'p enthält. Beschreibt man, mit denselben Winkeln A, B; A', B'..., und einer andern Seite p', ein zweites Vieleck; so hat man für die Linie x', die mit x corresponbirt, oder ähnlich liegt, den Ausdruđe x'=p' (A, B, A, B' ...); also ist x : x' .); also ist xixapp. Figu: rent, welche wie diese construirt find, kann man ihnlich nennen; also find, in dynlichen Figuren, ähnlich liegende Seiten proportionat. Folglich verhalten sich, in den beiden Figuren, nicht allein ähnlich liegende Seiten, sondeřn auch ähnlich liegende Diagonaten, oder beliebige ähnlich liegende Linien, wie andere beliebige, dhnlich liegende: Linien. Der Inhalt eines ersten Vielecks heiße s. Derselbe ist mit S dem Suadrat p gleichartig; also ist eine Zahl, welche nur von p den Winkeln A, B; A', B' abhängt, fo, Baß S p? (A, B; A', B' ) ift. Aus demselben Grunde ist, wenn si die Oberfläche des zweiten Vielecks bedeutet, S'=p2o (A, B, A, B..) also ift S:Sep?:p". Folga Page 16
Die Betrachtung der Functionen, welche hier zu einer so einfachen Beweis - Art der Hauptsätze der Geometrie diente, ist auch schon mit gutem Erfolge bei den Bereisen der Haupts Lehrsáße der Mechanik angewendet worden. Man sebe den zweis ten Band der Turiner Memoiren.
(A, B, 9) fein, und es läßt fich fehwerlich ein Grund
ten, wenn man wil. Die Einheit der Linien ist irgend eine willkürliche Linie. Der Unterschied ist blos, daß die Einheit des Winkels gewissermaßen absoluter ist, als die der Linie. Zahlen aber sind beide. Also verschwindet auch ziemlich, in Bezug auf die Rechnung, die Ungleichartigkeit, auf wela cher Ulles beruht. Uber gefekt: selbst der Schluß, daß die Seite, als Linie nicht von Winkeln aưein abhängen könne, deshalb, weil sie eine linie und kein Wins fel, oder keine Zahl ist, würde zugegeben; so scheint such noch immer nicht zu folgen, daß in der Gleichung C=9 (A, B, p) die Sinie p unter dem Zeichen g nicht vorkommen dürfe. Man nehme 3. B. irgend eine une P veränderliche Linie a an, so ist eine eben so absolute Saht, wie die Zahlen A und B, welche die Winkel ausdrücken sollen. Dann aber könnte P vielleicht C=9 angeben, warum es nicht fo sein sollte. Ich meines Theils habe mich daher von der Kraft dieses Beweises des eitften Euclidischen Urioms niemats überzeugen können. Uuch die Beweise der andern Säße scheinen nicht strenger zu sein, Bei dem Saße von der Zehnlichkeit der Dreiecke wird z. B. gesagt: da die zweite Seite m eine Function pon den beiden Winkeln A, B und der Seite p fei; so sei auch eine Function von diesen drei Stüden, It р mta diefes der Fall, fo kann auch z. B. (wo a elne włdkårliche unvero pto anderliche finte bedeutet), eine Function von A, B und p sein; also kann auch mta =(A, B, P), oder weil P, als Linie, unter dem Functionszeichen nicht for vorkommen können, mta=(+a) 4 (A, B) fein. Eben fo nta = (P + a) 4 (B, A), m + (p+ a) 4 (À, B), und in' ta (p' + 0) 2 (B, A); also folgt mtamta=nta:n' + a, welches ein ganz anderer, und zwar unrichtiger Saß ist, der jedoch auf denfelben Schlüffen beruht. Ungefähr eben so ist es mit den übrigen Säßen. Wenn man dieses nigen Formen im voraus annimmt, die zu den Sägen passen, fo findet man freilich die Säge; aber der Beweis, daß man gerade die vorausges segten Formen annehmen müsse, und keine andern, fehlt. Er ist aber nothwendig, weil man hier, wenn man andere Formen annimmt, andere Säße findet. Uuch bei dem analytischen Beweise, daß pq der Inhalt eines Rechteds ist, dessen Seitea p und g sind, scheint Etwas zu fehleu. Denn, selbst Page 17
statt (2+1).(2+1) und 9 (2+2) statt Tegen. 9 (2+1) 9 (2 + 1) Substituirt man wirklich, so kommt *2= z+ 9(2+1) Segt man in dieser Gleichung nach und nach z +1, 2+2.. statt z, so erhålt man . ♡ (2 + 1) = z+1+ 4 (2+2) y (2 + 2) i z+2+(z + 3) also tåßt sich der Werth von už durch den Ketten-Bruch Y Z
2+1+ z +2+.. ausdrüfen. Umgekehrt folgt, daß dieser Ketten - Bruch, bis ins : 9(2+1) Unendliche, 4z zur Summe hat, welche = war. goz Diese Summe, in gewöhnliche Reihen entwickelt, ist a 1+ +1 z+1 2+1,2+2 a 1+-+* z + 1 Nun sei 2=ì, so ist der Ketten · Bruch: 2a 4 a 1+ 4a 3+ 5+... Wo die Zähler, den ersten ausgenommen, alle 4a sind, die Nenner aber die Reihe der ungeraden Zahlen 1, 3, 5, 7.... forts laufen. Der Werth des Retten - Bruchs läßt fich also durch 116a i 64a2 1 + + + 2.3 2.3.4.5 2.3 7 2 a. 4 a 16a? Page 18
a' + — b also ift BD Dieser Ausbrud giebt AB - BD, 2a a? + c b22 4 aoc — (a? +c?—b); oder AD2 = c 2 a 4 ao ✓ [4 a'c— (a? + c? — b)2 ] Der Inhalt des 2 a Dreiecks fei S, so ist S= {BC X AD; also ift S = V[4 a* c - (a’ +. ba)2] À V (2 a? b2 + 2 ao c2 + 2 ba c? a4 64 cf). Dieser Zusdruck kann noch auf eine andere, für die Berechnung mit Logarithmen bequemere, Gestalt gebracht werden. Man bemerke nåmlich, daß die Große 4 a ca’ + c — b)2 das Product_ zweier Factoren 2ac + a'+c-b2 und 2ac-(a'+c - bo) ist. Ferner ist der erste Factor (a + c)—b=(a+c+b)(a +c C-b), der zweite b-(a— c)=(bta-c)(b-ate);' also ist S='v [(a+b+c)(a + b - c)(a - b+c)(btc-a)]. atb toc Macht man =p, welches a+b+c=2p,'a+b-C= 2 2p-2c, a-b+c=2p-2b und b+c-a=2p-2a giebt; so ist auch S=V [p(p-a)(p-b) (p—c)], woraus man sieht, daß man, um den Inhalt eines Dreiecks zu finden, dessen drei Seiten gegeben sind, die halbe Summe der drei Seiten nehmen, von dieser halben Summe, der Reihe nach, die Seiten abziehen, die drei Reste in einander und in die halbe Summe multipliciren, und aus dem Producte die Quadratwurzel ziehen muß. Diese Quadratwurzel ist der Inhalt des Dreiecks. Nun sei z der Halbmesser des umschriebenen, und u der i Salbmesser des eingeschriebenen Kreises, 'To ift, zu Folge des 32ften 2S S Sages im 3ten Buche, z= und u Suba S a+b+c р stituirt man hierin den obigen Werth von s, for erhått man 1 abc -a) (p—b) (pv (p(p-a)(p—b) (p—c)) P
3 weite 2 ufgabe. Aus den gegebenen vier Seiten eines eingeschrie: beren Viered! Den Halbmeffer des Kreises, den Sn: halt des Viereds und seine Winkel zu finden. Fig. 136. Die gegebenen Seiten sollen AB=a, BC=b, CD=C und DA=d sein, die unbekannten Diagonalen aber Page 19
Aus drei gegebenen Kanten eines Parallelepipe: dums und den Winkein, welche sie einfchließen, den körperlichen Inhalt des Parallelepipedums zu finden. Fig. 278. Die Kanten sollen SA=f, SB=g, Sc=h und die eingeschlossenen Winkel ASB=y, ASC=B, BSC=a fein. Zieht man, aus dem Puncte C, auf die Ebene ASB das Perpendikel Co; fo giebt das rechtwinklige Dreied CSO, CO=CS sin CSO =h sin CSO. Nun ist der Flächen: Inhalt des Parallelogramms ASBP = fg sin' y. Nennt man also s den körperlichen Inhalt des Parallelepipedums ST, so ist S=fgh. sin a . sin CSO. Es bleibt nun noch sin CSO zu suchen.. Man beschreibe zu dem Ende, aus S, mit dem Halbmesser 1, eine Kugelfläche, welche die geraden Linien SA, SB, SC, so in D, E, F, G schneidet, so entsteht ein Dreieck DEF, in welchem der Bos gen FG auf ED fenkrecht ist, weil die Ebene SCO auf ASB senkrecht steht. Nun giebt das Dreieck DEF, in welchem die drei Seiten DE=", cos B- cos a cosy DF=ß und EF=a bekannt sind, cos E und (1 cos a? cos B2- cosy2 + 2 cos a cos B cosy) sin E r sin a siny Ferner giebt das rechtwinklige Dreieck EFG: sin GF, oder sin CSO =sin E. sin EF sin a sin E; also S=fgh sin a sin y sin E oder S=fgh (1 - cosa' - cos B? - cosy? +2 cos a cosß cosy). In diesem Ausdruđe ist die Große unter dem Wurzelzeichen das Product der beiden Factoren sin a sin y + cos B cos a cos y und sin a sin y-cosB + cos a cosy. Der erste Factor ist gleich cos - cos (a + y) = 2 sina + B+y. sin. 2 2 atß- B+y-a =cos (ap) - cos B=2 sin sin Also ift 2 2 der gesuchte körperliche Inhalt a+b+y S=2fghy B+y—a aty-ß sin .sin sin sin 2 2 2 2 Page 20
die Erklärung noch allgemeiner, ohne daß sich etwas in dem Beweise des zweiten Sages, von den wechselseitigen Beziehungen der Polye: der auf einander, ånderte. Man kann sich auch einen guten Begriff von der Natur symmetrischer Polyeder machen, wenn man sich den einen der beiden Körper als das Bild des andern in einem ebenen Spiegel vorstellt. Der Spiegel vertritt dann die Stelle der vor: hin erwähnten Ebene.
a ch te Un me r k u n g. Ueber den funfzehnten Saß im siebenten Buche. Uus diesem Sake, welchen zuerst Euler, in den Petersburger Memoiren vom Jahre 1758, bewiesen hat, lassen sich mehrere merks würdige Folgerungen ziehen. Erstlich. a sei die Zahl der Dreiecke, b die Zahl der Vier: ecke, c die Zahl der Fünfede in der Oberfläche eines Polyeders; so ist die ganze Zahl der Seiten - Ebenen desselben a +b+c+d... und die ganze Zahl ihrer Seiten = 3a + 4b+50 + 60.... Diese legte Zahl ist die doppelte Zahl der Kanten, weil immer eine Kante zweien Seitenflächen zugleich angehört; also ist H=a+b+c+d....; 2A=30+4b +5c+6d.... und, weil nach dem gedachten Lehrsage S+H=A+2 ist, 25=4+a+2+3+4d.... Hieraus folgt zuerst, daß die Zahl der Seiten - Ebenen von einer ungeraden Zahl von Seiten, a tote...., immer gerade ist. Man Teke, der Kürze wegen, b+2+3d...=w; so ist A=H+w; S=2+in+ 1; also ist, in jedem Polyeder, A> H und s>2+1H, wobei das Zeichen > auch die Gleichheit mit bedeutet, weil auch w=0 sein kann. Die Zahl aller ebenen Winkel des Polyeders ist 2A, die Zahl der Kåperwinkel. S, so, daß die mittlere Zahl der ebenen Winkel, 2A um einen Körperwinkel, ist. S Diese Zahl kann nicht kleiner als 3 sein, weil mindestens drei ebene Winkel nöthig sind, um einen Körperwinkel zu bilden. Also muß 2A>3A sein. Das Zeichen > bedeutet wieder die Gleichbeit mit. Sekt man statt A und S ihre Werthe in H und w, so ist 3H+">6+ H+w, oder 31>12+w. Sekt man hierin die Werthe von A und w in a, b. To erhålt man 3a + 2b +c> 12+ e + 2 + 2+ 38.....; Page 21
Sobald nämlich die Grunbfläche mehr als drei Seiten hat, kann man, während die Seiten bteiben, die winkel verwechseln, und das durch der Grundfläche unzählige, verschiedene Gestalten geben. Man kann auch die Lage der Längenkanten des Prisma, in Beziehung auf die Grundfläche, verändern, oder beide Veränderungen mit ein: ander verbinden: immer entsteht ein anderes Prisma, mit den nåm: Lichen Kanten; woraus folgt, daß die Kanten allein ftir Bestim mung eines Körpers nicht hinreichen. Die zur Bestimmung eines Polyeders nöthigen Stücke find diejenigen, welche Nichts unbestimmt lassen, und welche nur eine Auflösung geben. So wird Ž. B. die Grundfläche, unter den ver: schiedenen möglichen Bestimmungsarten, dadurch gegeben, daß man die Seite AB (Fig. 281), nebst den anliegenden Winkeln BAC und ABC, für den Punct C, den Winkeln BAD und ABD für den Punct D, u. s. w. kennt. Nun fei Mein Punct außer: halb der Ebene der Grundfläche, dessen Lage bestiment werder foll; so wird die Bestimmung dadurch erfolgen, daß man, wenn man sich die Pyramide MABC, oder bloß die Ebene MAB, vor: : stellt; die Winket MAB und ABM,' und die Neigung der Ebene MAB gegen die Grundfläche ABC, Worschreibt. Ist die Lage jedes Scheitels des Polyeders, außerhalb der Ebene der Grundfläche, durch brei solche Bestimmungsstücke gegeben"; To ift klar, daß das Polyeder, unbedingt und ohne Wahl, in dem Maße Feststeht, daß zivei, mit den nämlichen Stütfen construirte, Polpeder nothwendig in einander fallen müssen. Sie würden inzwischen nur symmetrisch sein, wenn man sie an verschiedene Seiten der Grundfläche legte. Micht immer sind drei Stücke zur Bestimmung eines Scheitels des Polyebers nothwendig i denn, wenn der Punct M in einer Ebene liegen soll, bie: sdyon bestimmt ift, und deren Durchschnitt mit der Grundfläche FG Tein mag; so ist es hinreichend, wenn man, nachdem FG willkürlich angenommen worden, die Winkel MFG und MGF kennt; also ist ein Bestimmungsstůd weniger no: thig. Soll der Punct M in zwei Thon bestimınten Ebenen zugleich liegen, das heißt, in ihrem Durchschnitte MK, welcher die Ebene ABC in K Tyneiden mag; To kennt man don die Seite AK, den Winkel AKM, und die Neigung der Ebene AKM gegen die Grundflache. Zum neuen Bestimmungsstücke ist also der Winket MAK hinreichend. So reducirt sich die Zahl der, zur Bestimmung eines Polneders unumgänglich nöthigen, Stücke allemal auf A. Die Seite AB, und eine Zahl A-- 1 von Winkeln, bestim: men ein Polneber; eine andere willkürliche Seite, und die nämlichen Winkel, bestimmen ein ähnliches Polneder. Daraus folgt, daß die Zahl der, får die lentic feit zweier gleichartigen Poloeder nothwendigen, Bedingungen gleich ist der BAI'der Stanten, weniger Eins. Page 22
1 cos (C--x) cot.98; also cos (C-x) oder cos C + (1+cosb) (1— cosa) sin € tang x = .. Sekt man in diese Gleis sin a sin b chung die in a, b, c ausgedrüdten Werthe von cos. C und sin: C, und, der Kürze wegen, M=r(1.- cos a? cos-ba. cos c2 + 2 cosa cos b cos c); 1+cosb so erhält man, tang x= , welche For M mel, den Winkel ACF giebt. Da die Dreiecke ACI, ABI und BCI gleichschenklig find, so ist ACI = (C+A - B); ebenso BCI =(B+C-A), BAI = {(A+B-C). Hieraus folgen nach: stehende merkwürdige Ausbrücke : 1+cos b tang 1 (A + C-B) = M 1. $cos a “C08 b tang I (B+C - A) M 1+cos c cos a dos b tang 1 (A+B-C) - ;.. M zu welchen noch der von cot S kommt, welcher sich auf folgende. Gestalt bringen fåßt: 1 cos a cos b tang 1 (A+B+C) M Der oben gefundene Werth. von tang-x giebt 1 t tang x?, oder 1 211 tcos b)(1-сos c) (1-cosa) __ 1600sb?sin.csinta cos x2 M2 . M2 1 4,005b, sincsinža. Nun folgt, aus der Gleialso M 1-cos bi ung cos x= cot 9 = tang Lb cot , auch sin b tang Ib 4sina sin b sinc ; also ist tangga oder M 2 sin, a 'sini b sin c tang 9 V (sin(a+b+c)sin (a töb-c)sin (a-bute)sini (b-tóc-a)]
D'ritte. A u f g a b e. In der Kugelfl å che dier Linie zu finden, in wele cher die Scheitel, aller Dreiedevon gleiche Grundlinie und gleichem Inhalte, liegen. Page 23
perwinkel gleichy, so ist die Gleichheit der Korper unbezweifelt; denn fie können alsdann entweder in einander gelegt werden, oder sind wenigstens zu einander symmetrisch. Man sieht also, daß die Ste und 10te Erklärung in dem Falle dreifacher Winkel, welcher allein beim Euclid vorkommt, genau und zuläßlich sind. Der Vorwurf der Ungenauigkeit, welchen man dem Euclid, oder seinen Commen: tatoren, machen zu können schien, ist also nicht so bedeutend, und beschränkt sich vielmehr nur auf übergangene Bedingungen und Er: liuterungen. Nun ist ferner zu untersuchen, ob die zehnte Erklärung des Euclid, welche bei dreiseitigen Körperwinkeln genau ist, allgemein Statt finde.' Robert Simson versichert das Gegentheil, und be: hauptet, man kønne ungleiche Körper mit gleich vielen und den nämlichen Ebenen umschließen. Er bezieht sich, bei seiner Behauptung, auf ein Beispiel, welches sich folgendergestalt allgemein ausdrůden läßt. Man lege an ein Polyeder eine Pyramide, To, daß man eine Settenfläche des Polyeders zur Grundfläche der Pyramide nimmt. Darauf nehme man denselben pyramidalischen Raum, statt ihn hins zuzulegen, von dem gegebenen Körper hinweg, so, daß in dem Pos Iyeder eine, der Pyramide gleiche, Hólung entsteht: so erhålt man zwei Kórper, die ganz von den nåmlichen Seitenflächen umschlossen, die aber gleichwol von einander verschieden sind. Es ist kein Zweifel, daß jene beiden Körper ungleich finds aber man muß bemerken, daß der eine einspringende Winkel hat, und es ist mehr als wahrscheinlich, daß Euclides die irregularen Körper, welche Hólungen, oder einspringende Körperwinkel, haben, ausgeschlossen und sich auf convere Polyeder beschränkt habe. Giebt man diese Einschränkung zu, ohne welche übrigens in der That, andere Såke des Euclides nicht richtig sein würden; so beweifet Ros bert Simson's Beispiel gegen die Erklärung oder den Lehrsag des Euclides Nichts. Wie dem aber auch sei, so folgt doch aus Allem, daß die 9te und 10te Erklärung des Euclid nicht, so wie sie sind, beibehalten werden können. Robert Simson låßt die Erklärung gleicher Körper, weg (welche auch in der That unter die Lehrfalle gehört) und erklärt å bnliche Körper für diejenigen, welche von einer gleichen Zahl ähnlicher Ebenen umschlossen sind, und deren Körperwinkel die námlichen sind. Diese Erklärung ist völlig richtig, aber sie hat das Ueble, daß sie mehr Bedingungen enthålta als nöthig sind. Ließe man dagegen die Bedingung der gleichen Körperwinkel weg, so würde man auf die Euclidische Erklärung zurückommen, welche in fofern mangelhaft ist, daß fie den Lehrsag von der Gleichheit der Page 24
Nun fee man, daß fich der Winkel C verändere, die drei an: dern B, D, E aber dieselben bleiben. Zieht man die Diagonalen AC und Fc, so ift klar, daß fich diese Diagonalen nicht verändern werden; auch die Winkel ACB und FCD nicht; man hat also wie der ein Kugeldreieck ACF, dessen Seiten AC und CF unveränderlich sind, während sich, in demselben, der Winkel ACF um eben so viel, als der Winkel C in dem Vielecke verändert, woraus wiederum folgt, daß die Seite AF großer wird, wenn der Winkel C zunimmt, und kleiner, wenn der Winkel C abnimmt. Offenbar lassen sich dieselben Schlüsse auf die Veränderungen der Winkel D und E anwenden, und passen eben so wohl auf Kugelvielecke von mehr als drei Seiten. Also ist in allen Fällen das Resultat der Behauptung des Sabes gewiß, in sofern nur das Vielec, nach und vor der Veränderung, conver ist. Diese Bedins gung ist nothwendig. Denn, wenn z. B. der Winkel E so weit abnåhme, daß der Punct F in die Diagonale AE fiele: so wäre AF ein Minimum; und wenn man nun fortführe, den Winkel E, über diesen Punct hinaus, zu verkleinern; so würde offenbar die Seite AF zu - statt abnehmen. Im lekten Falle aber würde AFE zu einem einspringenden Winkel werden, und das Bieleck würde auf: bören, conver zu sein. Z ufak. Wenn Alles bleibt, wie vorhin, und mehrere , der lebten Seite AF gegenüberliegende, Winkel zunehmen, keiner von ihnen aber abnimmt, so nimmt die Seite AF, durch die vereinte Wirkung der Veränderungen, nothwendig zu. Das Gegentheil erfolgt, wenn mehrere, der Seite AF gegenüberliegende, Winkel abnehmen, und keiner von ihnen zunimmt. Denn, wenn, durch die vereinte Wirkung der Zu- oder Abnahme, die Winkel A, B, C etc. des Vielecks in AR, B', C etc. ůbergingen; so könnte man allmålig aus dem gegebenen Vielecke erst ein folches machen, welches nur einen veränderten Winkel A hat; aus diesem wieder ein anderes, welches nur zwei verminderte Winkel A und B' enthält; und so weiter. Für jeden Uebergang aber ift der Sas anwendbar, und giebt immer das nämliche Resultat.
Es sei ein converes Kugelvieleck, mit mehr als drei unverå nderlichen Seiten, gegeben. Veråndert man die winkel auf irgend eine Weise, ohne daß jedoch das Vieled aufhört conver zu sein, und rest das Beichen + zu dem Scheitel jedes Winkels, welcher junimmt, und das Zeichen - zu dem Scheitel jedes Winkels, welcher abnimmt, kein Zeichen aber zu den Winkeln, die sich nicht åndern: To behaupte ich, daß, wenn man rund um das Vieleck geht, wenigstens vier Zeichen wechsel, von einem Scheitel bis zum andern, Statt finden werden. Page 25
Ist also s die Zahl der Körperwinkel, so ist N> 48, wobei das Zeichen > die Gleichheit mit bedeutet. Nun bemerke man, daß allemal zwei auf einander folgende Kanten eines Körperwinkels zu einer Seiten - Ebene des Polyeders, und nur zu einer gehổren. Also ist die ganze Zahl der Zeichen: wechsel, für die auf einander folgenden Kanten eines Körperwinkets, der ganzen Zahl der Zeichenwechsel, für die auf einander folgenden Seiten jeder Seiten-Ebene, gleich; denn es findet kein ZeichenwechTel in dem einen Systeme Statt, ohne einen ähnlichen Wechsel in dem andern. In jeder dreieckigen Seitenfläche kann aber die Zahl der Zeichenwechsel nicht größer als zwei sein; denn, läßt man die Reihe +-+ oder die Reihe + -- in sich selbst fortlaufen; so erhält man immer nur zwei Zeichenwechsel. Für jede viereckige Seitenfläche ift offenbar die Zahl der Zeichenwechsel höchftens vier. Ueberhaupt ist die große Zahl der Zeichenwechsel, tund um eine Seitenflache, wenn die Zahl ihrer Seiten gerade, z. B. 2n ist, ebenfalls gleich 2n; nämlich dann, wenn die Seiten abwechselnd Die Zeichen + und haben. Ist aber die Zahl der Seiten einer Seitenfläche ungerade, H. B. = 2n + 1; so ist die größte Zahl der Zeichentwechsel mur 2n, weil, wenn man den Seiten abwechselnd die Zeichen + und giebt, die erste und legte nothwendig einerlei Zeichen haben, welches einen Zeichenwechsel weniger ausmacht, als Seiten. Nun sei a die Zahl der. Dreiecke, b die Zahl der Vierecke, c die Zahl der Fünfecke u. f. w., welche sich in der Oberfläche des gegebenen Polyeders befinden; fo folgt aus dem eben Berviefenen, daß die ganze Zahl der Zeichenwechsel, rund um die Seitenflachen, nicht großer als 2 a bei den dreiseitigen, 4b bei den viedfeitigen, 4c bei den fünfseitigen, 6d bei den sechsseitigen u. f. w. Seitenflächen Fein kann. Also ift N< 2a +46 +40+68+68+8f78ģ... A fei die Zahl der Kanten des Polyeders, und Ä die Bahl seiner Seitenflachen, so ist 2A=3a+45 +56 +60 +7+8+9g... H = a + b +c+ d + e + fit g.'.'. Nun ist nach dem Eulerifchen Lehrsake $+HA+2; alfo *ft 48=844A-41, und, wenn man die obigen Werche von A und H sübstituirt, 48=8+2a + 4b +6c+80*10C... Page 26
werden wie folgt bezeichnet: MP = sin AM, oder sin ACM; AT. = tang AM, oder tang ACM; CT = sec AM, oder sec ACM. 6. Wenn AD ein Quadrant ist, und man zieht aus M und D die Linien MQ und DS auf den Halbmesser CD fent's recht, so, daß die eine von dem Halbmesser CD, die andere von dem verlängerten Halbmesser CM begrenzt wird: so sind die Lis nien MQ, DS, CS Sinus, Tangente und Secante des Bogens MD, also des Complements von AM, Man nennt sie, der Kürze wegen, Cosinus, Cotangente und Cosecante des Bogens AM, und bezeichnet sie wie folgt: MQ = cos AM, oder cos ACM, DS = cot AM, oder cot ACM; CS = cosec AM, oder cosec ACM. Im Allgemeinen ist, wenn A irgend eia nen Winkel bedeutet, cos A=sin (-A), cotA=tang (-A), cosec A = sec (Q - A). Das Dreieck MQC ist, der Construction nach, dem Dreiecke CPM gleich; also ist CP=MQ: folglich sind in dem rechtwink: ligen Dreiecke CMP, dessen Hypothenuse der Halbmesser ist, die beiden Seiten MP und CP Sinus und Cosinus des Bogens AM. Dié Dreiecke CAT und CDS find den gleichen Dreiecken CPM, COM, und folglich einander åhnlich. Hieraus folgen die weiter unten vorzutragenden Verhältnisse zwischen den eben er: klårten Linjen. Ehe aber die Verhältnisse der Linien abgehandelt werden können, muß ihr Verhalten gezeigt werden, wenn der Bogen, auf welchen sie fich beziehen, von o bis 20 wächst. 7. Man sebe, das eine Ende des Bogens bleibe in A fest, das andere, mit M bezeichnete, Ende aber durchlaufe nach und nach den halben Umfang von A bis B, in der Richtung ADB. Fåüt M in A, oder ist der Bogen AM=0, so fallen die Puncte T, M, P alle drei in A, woraus folgt, daß Sinus'und Tangente eines Bogens o auch o, daß der Cosinus aber, und die Secante, dem Halbmesser gleich sind. Bezeichnet man also den Halbmesser des Kreises durch r*), so ist sin o=0, tang o=0, cos 0=r, sec o=r.
*). Legendre fekt den Buchstaben R. Ich habe den bequemern kleinen Buchstaben gewählt, auch schon der mehreren Uebereinstims |
Warum kann ein Dreieck nicht zwei stumpfe Winkel haben
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