If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website. Show Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados. A raiz quadrada é uma operação básica e importante da Matemática. Se trata da operação inversa da potenciação. Assim, calcular a raiz quadrada de um número n é descobrir qual número elevado ao quadrado resulta em n. Por exemplo, a raiz quadrada de 9 é igual a 3, pois, 3² é 9. Uma raiz quadrada pode ser exata, gerando um número chamado de quadrado perfeito, ou pode ser não exata. Leia também: Expressões numéricas — o conjunto de operações fundamentais a serem calculadas Resumo sobre raiz quadrada
Videoaula sobre raiz quadradaA radiciação é uma das operações básicas da Matemática, sendo a operação inversa da potência. Existem vários tipos de raiz, como a raiz cúbica e a raiz quarta, mas a mais utilizada é a raiz quadrada. Quando calculamos, por exemplo, a raiz quadrada de um número a, o resultado dessa operação será o número que, ao elevarmos ao quadrado, resultará em a. Os outros casos de radiciação seguem o mesmo raciocínio. A raiz cúbica de um número x é o número cujo cubo é igual a x. Dizemos, por exemplo, que a raiz cúbica de 27 é 3, pois 3³ = 27. De forma semelhante, dizemos que a raiz quadrada de 81 é 9, pois 9² = 81. O que é raiz quadrada?A raiz quadrada é um caso particular da radiciação, sendo o mais comum deles. Conhecemos como raiz quadrada a radiciação com índice igual a 2. A raiz quadrada é a operação inversa da potência com o expoente 2, pois quando calculamos a raiz quadrada de um número a, estamos procurando qual número ao quadrado é igual a a. Quando o radical não apresenta número no índice, calcula-se a raiz quadrada do radicando. Exemplos: √4 = 2, pois 2² = 4 √9 = 3, pois 3² = 9 √16 = 4, pois 4² = 16 √25 = 5, pois 5² = 25 Como calcular a raiz quadrada?Para calcular a raiz quadrada de um número, geralmente recorremos à tabuada. Entretanto, quando o número é maior que 100, é possível utilizar o processo de fatoração para calcular a raiz quadrada exata. Ao realizar uma fatoração, agrupamos os fatores de dois em dois, já que é a raiz quadrada exata que estamos buscando. Já quando estamos calculando uma raiz quadrada não exata, utilizamos aproximações. Saiba também: Propriedades dos radicais — simplificam e resolvem raízes de qualquer índice A raiz quadrada exata ocorre quando o resultado da operação é um número racional. Os exemplos supracitados são casos de raiz quadrada exata. Por exemplo, a √16 é exata porque o seu resultado é 4, que é um número racional. Quando há no radicando um número com raiz quadrada desconhecida, utilizamos fatoração para calcular uma raiz exata. Exemplo: Calcule o valor da √324. Resolução: Para encontrar a √324, inicialmente fatoraremos esse número: Dessa forma, calcula-se: √0 = 0 √1 = 1 √4 = 2 √9 = 3 √16 = 4 √25 = 5 √36 = 6 √49 = 7 √64 = 8 √81 = 9 √100 = 10 Os números que possuem raiz quadrada exata são conhecidos como quadrados perfeitos. Em muitos casos, o número pode não possuir uma raiz quadrada exata, ou seja, a solução da raiz quadrada é um número irracional. Para calcular uma raiz quadrada não exata, utilizamos aproximações, ou seja, números que quando elevamos ao quadrado chegam bem próximo do resultado desejado. Exemplo: Calcule o valor da √60. Resolução: Sabemos que essa raiz não é exata, então, primeiramente, identificaremos qual é o número anterior a 60 que possui raiz exata, que é 49, e também o número posterior a 60 que possui raiz exata, que é 64. √49 < √60 < √64 Calculando as raízes de 49 e 64: 7 < √60 < 8 Note que 60 está próximo de 64, então a √60 estará próxima de 8. Calcularemos, assim, o quadrado dos números próximos a 8. 7,9² = 62,41 7,8² = 60,84 7,7² = 59,29 Descobrimos que a √60 está entre 7,7 e 7,8. Portanto, dizemos que a √60 = 7,7 por falta ou que a √60 = 7,8 por excesso. Exercícios resolvidos sobre raiz quadradaQuestão 1 (Ethos concursos) A raiz quadrada de um número é uma importante operação matemática, assim como a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão. Somente alguns números possuem raiz quadrada, aqueles considerados quadrados perfeitos. Sendo assim, calcule a raiz quadrada de 625 e assinale a alternativa CORRETA. A) 35 B) 24 C) 25 D) 17 E) 49 Resolução: Alternativa C Inicialmente, realizaremos a fatoração do número: Dessa forma, temos: √625 = √54 √625 = 5² √625 = 25 Questão 2 Sobre a raiz quadrada, julgue as afirmativas a seguir: I → É possível calcular a raiz quadrada de número negativo. II → Os números 0, 1, 4, 9 e 16 são todos quadrados perfeitos menores que 20. III → A raiz quadrada de 6 é igual a 3. As afirmativas são, respectivamente: A) V, V e V. B) F, F e F. C) F, F e V. D) F, V e F. E) V, F e V. Resolução: Alternativa D I → Falsa A potência de dois possui resultado somente positivo, logo, não é possível calcular a raiz quadrada de um número negativo. II → Verdadeira Os números listados são os únicos que possuem raiz exata menores que 30. III → Falsa 3² = 9, logo, a raiz quadrada de 9 é 3, e não a de 6.
Pessoal, tudo bem?Estou com uma dúvida que está me quebrando.Olhem só´, é fato que:  A questão é: porque Por exemplo: Mas Porque não posso usar a propriedade aqui e fazer Ou mesmo, porque não usar outra propriedade, De forma que Valeu gurizada. liam gallagher Novo Usuário
O grande problema disso tudo é a mania que os professores têm de "cortar" a raiz com o quadrado da potência.Isso "vicia" o aluno de tal forma que ele não consegue enxergar as propriedades corretamente. Reparando que tanto para 5, como para -5, sua raiz quadrada, elevada ao quadrado, tem o mesmo resultado, 5; por isso
Olá thadeu e liam,Suponho que ambos estejam a trabalhar no domínio IR do números reais.Então, porque é que estão falando de raízes quadradas de números negativos?Sabemos que não é possível determinar a raiz quadrada de números negativos no domínio IR. Por exemplo, não é possível calcular Adeus e até breve! Lucio Carvalho Colaborador Voluntário
Olá amigos. Na realidade eu sempre pensei que Mas não é. Estou lendo um livro (Elementary Algebra de Barnett Rich) e ele fala que Portanto, Lucio, eu não fiz a restrição de apenas trabalhar nos IR. =] liam gallagher Novo Usuário
liam O que o Lúcio afirmou, muito corretamente, é que a propriedade (Va)*(Va) = V(a²) SOMENTE vale para a POSITIVO. Isto, porque se a for negativo Va NÃO existe no IR Se a for negativo vale a seguinte propriedade ----> (Va)*(Va) = (Va)² = [a^(1/2)]² = a Elcioschin Colaborador Voluntário
Ahh finalmente entendi!Obrigado amigos.Mas, ainda restou uma questão sobre isso. Porque eu não posso usar as propriedades: para fazer com que
Lúcio, você disse que Agora, no conjunto dos números complexos onde a unidade imaginária
Lembrando sempre que Um abraço! thadeu Usuário Parceiro
Mas thadeu, tu falou que Obrigado liam gallagher Novo Usuário
Exatamente a falta de uso da propriedade correta, Agora pense você, eu parti de dois valores iguais, Cuidado com o problema da falta de uso da propriedade
Mas thadeu, se a propriedade Não deveriam ser iguais, se a propriedade vale? liam gallagher Novo Usuário
Liam, a propriedade é: Se essa operação Outra propriedade falsa seria Para finalizar,
ThadeuDesculpe-me por discordar de algumas de suas afirmações constantes nas mensagens anteriores.Como o assunto ficou muito confuso, com exemplos e contra-exemplos, vou tentar resumir: A ÚNICA propriedade que VALE, para qualquer valor de a (a > 0, a = 0, a < 0) é: (Va)*(Va) = [Va]² = [a^(1/2)]² = a^[2*(1/2)] = a¹ = a ----> Assim vamos mostrar dois exemplos:[V(+1)]*[V(+1)] = +1[V(-1)]*[V(-1)] = - 1Assim NÃO VALE a propriedade ----> (Va)*(Va) = V(a²) para NENHUM valor da a. Veja porque: Se a = -1 ----> [V(-1)]*[V(-1)] = V[(-1)²] = V(1) = + - 1 ----> O que é um absurdo para a solução a = +1Se a = +1 ----> [V(+1)]*[V(+1)] = V[(+1)²] = V(1) = + - 1 ----> O que é um absurdo para a solução a = -1Espero ter esclarecido o assunto. Elcioschin Colaborador Voluntário
É Elcio, acho que você está confundindo tudo; a propriedade é válida para qualquer número real.Agora, o que você quiz dizer com esses valores de a, só mostrou que você se confundiu.Lembra da propriedade que aprendemos na 5ª série; "numa potência de base positiva, ou negativa, com expoente par, resultado positivo".Então, quando você quiz mostrar: Vou te dizer que "nunca", Outro erro grande Espero ter esclarecido. thadeu Usuário Parceiro
ThadeuEm momento algum eu quis polemizar: apenas disse que discordava de algumas de suas afirmações e continuo discordando:Qualquer aluno do Ensino Médio que estudou Números Complexos, sabe que, POR DEFINIÇÃO:a) i = V(-1) ----> i é a unidade imagináriab) i² = -1 Estas propriedades podem ser vistas em qualquer livro ou apostila de matemática ou mesmo na Internet. Sugiro que você pesquise para se certificar.Isto significa que [V(-1)]*[V(-1)] = i*i = i² = -1Vou repetir agora o que você escreveu na sua mensagem: Vou te dizer que "nunca", [V(-a)]*[V(-a)] = -a ou, como você escreveu, jamais [V(-1)]*[V(-1)] = - 1 Você há de concordar, caso TENHA PESQUISADO, conforme minha sugestão, que o absurdo desta sua afirmação contraria TOTALMENTE o que eu mostrei acima e que consta em qualquer manual sobre números complexos do mundo inteiro.Quem sabe alguém do mais do forum com conhecimento sobre o assunto possa dar a sua opinião a respeito. Elcioschin Colaborador Voluntário
Olá, boa tarde a todos!Concordo com a solução apresentada pelo Lúcio Carvalho e pelo Elcioschin e que por sinal muito bem esclarecida.Veja:Quando se tem o produto de duas raízes, por exemplo: Espero ter ajudado! Cleyson007 Colaborador Voluntário
ThadeuGostaria de saber se você pesquisou e sua conclusão a respeito deste assunto.Caso ainda tenha alguma dúvida, favor fazer contato. O objetivo é que o assunto fique bem claro, para que usuários do forum não fiquem com conceito errado a respeito. Elcioschin Colaborador Voluntário
Procurei em vários autores, Scipione Di Pierro Netto, Antônio Nicolau Youssef, Gelson Iezzi entre outra apostilas. Tá, agora me diga que a propriedade Um deles é sofisma, qual seria??? thadeu Usuário Parceiro
Thadeu1) Vou primeiro comentar o item a: Agora veja você, foi passado nesse debate que:[V(-5)]² diferente de V[(-5)²] Essa é uma propriedade que ensinamos no curso fundamental. Tanto eu quanto o Lúcio afirmamos categoricamente que a desigualdade acima era abolutamente verdadeira, e, em princípio você não tinha concordado. Logo em seguida eu provei que era verdadeira, baseada na teoria dos números complexos. Parece que agora você se convenceu, o que é muito bom.Só não concordo com a sua última frase acima: como você pode ver, V(-5) é um número imaginário [V(5)*i] e no Ensino Fundamental não se ensina propriedades sobre Números Complexos.2) Qunto ao item b:Concordo com tudo o que foi escrito neste item:[V(+2)]² = [(+2)^(1/2)]² = (+2)^[(2*(1/2)] = (+2)^1 = +2 ---> O acréscimo do sinal + foi de minha iniciativa[V(-2)]² = [(-2)^(1/2)]² = (-2)^[2*(1/2)] = (-2)^1 = -2Note que isto foi exatamente o que eu sempre postulei nas minhas mensagens anteriores: [V(a)]² = a qualquer que seja o valor de a. Esta é a ÚNICA propriedade geral válida. A expressão (x^b)^c = (x^c)^b é ABSOLUTAMENTE verdadeira e ainda é igual a x^(b*c) Não entendí a sua frase: "Logo. o que foi falado está correto nos dois casos, nesse que o colega escreveu e nesse aqui:"O que o seu colega escreveu está ABSOLUTAMENTE certo. Vou apenas complementar em vermelho:[(-2)^(1/2)]² = [(-2)²]^(1/2) = (-2)^[2*(1/2)] = (-2)¹ = - 2 O que o seu colega escreveu corrobora tudo que eu afimei anteriormenteAssim, não entendo onde está o sofisma por você citado. Se puder explicar melhor eu gostaria muito. Editado pela última vez por Elcioschin em Qui Nov 19, 2009 12:22, em um total de 1 vez. Elcioschin Colaborador Voluntário
Elcio, o número Veja bem, Repare que o problema não está em um número ser imaginário ou real, está na propriedade O sofisma está na maneira de usar a propriedade Lembrando que eu estou debatendo sobre
ThadeuConcordo com quase tudo o que você afirmou, menos uma única linha: Repare que o problema não está em um número ser imaginário ou real, está na propriedade [V(-5)]² = V[(-5)²] = V(25). O que você escreveu está errado:[V(-5)]² NÃO É IGUAL A V[(-5)²] e muito menos é igual a V(25) Se esta dupla igualdade fosse verdadeira teríamos:a) No 1º membro à esquerda temos: [V(-5)]² = [V(5)*V(-1)]² = [V(5)*i]² = [V(5)]²*(i)² = [5^(1/2)]²*i² = 5¹*(-1) = - 5 Isto bate com a fórmula geral [V(a)]² = a para QUALQUER valor de a (neste caso a = -5) b) No último membro à direita temos: V(25) = 5 (ou mais corretamente = + 5 ou = -5, já que tanto +5 como -5 elevado ao quadrado resulta 25) Neste caso teríamos um absurdo, comparando os lados esquerdo e direito da dupla desiguadade:I) -5 = 5ouII) - 5 = + 5 ou -5 = -5Então mais uma vez insisto: a ÚNICA propriedade que vale é:Para qualquer número a (positivo, negativo, ou nulo) ----> [V(a)]² = a Assim NÃO vale a propriedade [V(a)]² = V[(a)²] Elcioschin Colaborador Voluntário
Elcio, se você está dizendo que a propriedade é válida para qualquer a (positivo, negativo ou nulo), não estou entendendo porque para a = -5 (negativo), ela não vale...Vou colocar mais uma vez a prova de um "absurdo" que está mostrando exatamente o que eu quero dizer sobre sofisma: Exatamente no motivo de nosso debate, se for
ThadeuAcho que estamos girando em círculos:Como eu afirmo e afirmarei sempre a ÚNICA propriedade válida, para qualquer valor de a:[V(a)]² = aPara a = +5 -----> [V(+5)]² = +5Para a = 0 ------> [V(0)]² = 0Para a = -5 ----> [V(-5)]² = -5Viu como apropriedade vale para QUALQUER valor de a ? Quanto ao teu exemplo de sofisma o erro NÃO está na PENÚLTIMA linha!!! O erro está na 3ª linha. Elcioschin Colaborador Voluntário
Então quer dizer que Vejo que se você não se convenceu agora, teremos que rever todas essas propriedades, pois elas são falsas... thadeu Usuário Parceiro
Caro thadeu, não precisa ir tão longe pra resolver essa questão. Atenha-se a poucas coisas. Veja isso aqui: 1) Você afirmou que o que o Lucio Carvalho escreveu está errado, mas na verdade está certo. O Lucio disse que Para confirmar, veja que E veja também que E como o Lucio disse, 2) Você tentou mostrar que o que o Lucio escreveu estava errado usando uma sequência de 6 linhas (o tal "sofisma") que começa em Segunda linha: até aqui tudo bem, pois, realmente, Terceira linha: aqui aconteceu o erro. Vamos reescrever essa terceira linha substituindo O primeiro membro vira Mas é sabido, dos números complexos, que Thadeu, tente ler e entender bem tudo o que eu escrevi, e atenha-se somente ao que está aqui, sem ficar procurando em fontes externas. Eu escrevi tudo o que é necessário pra entender, então gaste o tempo que for preciso raciocinando em cima do que está aí. Acredito que você vá compreender por conta própria. Valeu!!! Rodriguinho Novo Usuário
É Rodrigo, então é mentira que Se você achar que é verdade, então porque Na sua confirmação você simplesmente "pulou" de
Não, não é mentira que E eu afirmei que Você está achando que as propriedades Lembra da famosa condição de existência? Todas essas propriedades têm uma condição de existência, que quase sempre é ignorada. Até as propriedades mais simples têm condições de existência, mas a gente às vezes nem repara. Por exemplo, as duas propriedades a seguir têm condições de existência: Elas parecem sempre corretas, mas veja que a primeira só vale se Agora, pra finalizar, eu afirmo pra você que a propriedade Sejam Certo? Ora, essa igualdade só vai ser verdadeira se De fato, no caso de A verdade é que O que quer dizer que Agora você concorda com o que disseram o Lúcio Carvalho e o Elcioschin?
Em se tratando de FUNÇÕES, a conversa muda de figura, só que o problema está dentro da ARITMÉTICA, não tem Não se esqueça de que isso é ARITMÉTICA, não existe nenhuma incógnita nesse caso. thadeu Usuário Parceiro
Eu disse sim, Thadeu. Nas primeiras linhas do meu post anterior. Pode ler lá. Eu me baseei no fato de que a raiz de Parece que você está se baseando somente na propriedade E esse é justamente o caso de E agora? Convencido de que
Ótimo, você disse que não era mentira que E como ficaria
Não, não estaria errado que
Só pra deixar mais claro ainda: essa propriedade não pode ser aplicada quando Suponha que Assim, Além disso, E também Veja então que, supondo Como eu disse no post anterior. Agora está convencido? Rodriguinho Novo UsuárioVoltar para Álgebra Elementar
Usuários navegando neste fórum: Nenhum usuário registrado e 5 visitantes Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3! Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 12:41 pessoal eu achei como resultado 180 toneladas,entretanto sei que a questão está erra pela lógica e a resposta correta segundo o gabarito é 1.800 toneladas. me explique onde eu estou pecando na questão. resolva explicando. 78 – ( CEFET – 1993 ) Os desabamentos, em sua maioria, são causados por grande acúmulo de lixo nas encostas dos morros. Se 10 pessoas retiram 135 toneladas de lixo em 9 dias, quantas toneladas serão retiradas por 40 pessoas em 30 dias ? Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3! Autor: Douglasm - Qui Jul 01, 2010 13:16 Observe o raciocínio: 10 pessoas - 9 dias - 135 toneladas 1 pessoa - 9 dias - 13,5 toneladas 1 pessoa - 1 dia - 1,5 toneladas 40 pessoas - 1 dia - 60 toneladas 40 pessoas - 30 dias - 1800 toneladas Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3! Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 13:18 pessoal já achei a resposta. o meu erro foi bobo rsrsrrs errei em uma continha de multiplicação, é mole rsrsrsr mas felizmente consegui. Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3! Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 13:21 valeu meu camarada. Page 2
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Usuários navegando neste fórum: Nenhum usuário registrado e 1 visitante Assunto: Conjunto dos números racionais. Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 10:38 Olá ! Tenho essa dúvida e não consigo montar o problema para resolução: Qual é o racional não nulo cujo o quadrado é igual à sua terça parte ? Grata. Assunto: Conjunto dos números racionais. Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 12:27
Assunto: Conjunto dos números racionais. Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 12:55 também pensei que fosse assim, mas a resposta é Assunto: Conjunto dos números racionais. Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 13:01
Como
Assunto: Conjunto dos números racionais. Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 16:17 eu só consegui fazer a igualdade, não consegui desenvolver o restante, não pensei em fatoração, mas agora entendi o que vc fez. Obrigada. Page 3
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Usuários navegando neste fórum: Nenhum usuário registrado e 1 visitante Assunto: [calculo] derivada Autor: beel - Seg Out 24, 2011 16:59 Para derivar a função (16-2x)(21-x).x como é melhor fazer? derivar primeiro sei la, ((16-2x)(21-x))' achar o resultado (y) e depois achar (y.x)' ? Assunto: [calculo] derivada Autor: MarceloFantini - Seg Out 24, 2011 17:15 Você poderia fazer a distributiva e derivar como um polinômio comum. Assunto: [calculo] derivada Autor: wellersonobelix - Dom Mai 31, 2015 17:26 Funciona da mesma forma que derivada de x.y.z, ou seja, x'.y.z+x.y'.z+x.y.z' substitui cada expressão pelas variáveis e x',y' e z' é derivada de cada um Assunto: [calculo] derivada Autor: wellersonobelix - Dom Mai 31, 2015 17:31 derivada de (16-2x)=-2 derivada de (21-x)=-1 derivada de x=1 derivada de (16-2x)(21-x)x=-2.(21-x)x+(-1).(16-2x)x +1.(16-2x)(21-x) Page 4
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O que acontece quando se eleva ao quadrado a raiz quadrada de um número
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