Rumus Deret Aritmatika – Pengertian, Barisan, Sifat & Contoh Soal – Untuk kali ini kami akan bagi materi mengenai Aritmatika yang dalam hal meliputi seperti rumus, pengertian, sifat dan contoh soal, kalau begitu simak saja uraian dibawah ini. Show
Barisan AritmatikaDalam pembahasan sebelumnya, telah diketahui bahwa barisan bilangan dinyatakan dalam bentuk U1, U2, U3, U4, . . ., Un. Barisan bilangan ini disebut sebagai barisan bilangan aritmatika, jika selisih dua suku yang berurutan selalu tetap. Selisih tersebut dinamakan beda dan dilambangkan dengan “b“. Jika dalam barisan aritmatika tersebut suku pertama dinyatakan dengan a, maka bentuk umum barisan aritmatika adalah: a, a + b, a + 2b, a + 3b, . . . , a+(n–1) b
Contoh 5.7Terdiri atas: b = U2 – U1 = U3 – U2 = U4 – U3 b = 4 – 1 = 7 – 4 = 10 – 7 = 3 Karena barisan bilangan tersebut mempunyai beda yang tetap yaitu 3, maka barisan itu merupakan barisan aritmatika. b = U2 – U1 = U3 – U2 = U4 – U3 U2 – U1 = 5 – 2 = 3 U3 – U2 = 7 – 5 = 2 U4 – U3 = 9 – 7 = 2 Karena barisan bilangan tersebut mempunyai beda yang tidak tetap, maka barisan tersebut bukan barisan aritmatika. Jadi, barisan aritmatika adalah suatu barisan bilangan yang suku beriktnya diperoleh dengan menambah atau mengurangi dengan suatu bilangan yang tetap kepada suku sebelumnya. Bilangan yang tetap itu disebut selisih atau beda. Apabila bedanya positif, maka barisan itu naik. Apabila bedanya negative, maka barisan itu turun. Menentukan Rumus Suku ke-n BarisanJika suku pertama U1, kita misalkan a, beda kita misalkan b, dan suku ke-n kita misalkan Un maka barisan aritmatika ditulis sebagai berikut: Rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika adalah Un = a + (n – 1) b Sifat-sifat suku ke-n Un = a + (n – 1) b = a + bn – b = bn + (a – b). Jadi, suku ke-n suatu barisan aritmatika adalah fungsi linier dari n, dengan n bilangan asli.
Deret AritmatikaDari pengertian barisan bilangan pada pembahasan sebelumnya, jika semua suku-suku pada barisan aritmatika dijumlahkan akan terbentuk suatu deret aritmatika atau deret hitung. Sehingga bentuk umum deret aritmatika adalah: Deret aritmatika yang mempunyai beda lebih dari nol atau positif, maka deretnya disebut deret aritmatika naik. Sedangkan deret aritmatika yang mempunyai beda kurang dari nol atau negatif, maka deretnya disebut deret aritmatika turun. Contoh 5.8Terdiri atas:
U2 – U1 = 5 – 2 = 3 → U4 – U3 = 11 – 8 = 3 U3 – U2 = 8 – 5 = 3 → U5 – U4 = 14 – 11 = 3 Karena bedanya selalu tetap yaitu 3, maka 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + . . . adalah deret aritmatika atau deret hitung.
U2 – U1 = 6 – 2 = 4 → U4 – U3 = 14 – 10 = 4 U3 – U2 = 10 – 6 = 4 → U5 – U4 = 18 – 14 = 4 Karena bedanya selalu tetap yaitu 4, maka 2 + 6 + 10 + 14 + 18 + . . . adalah deret aritmatika atau deret hitung.
a. Rumus Suku ke-n Deret AritmatikaApabila a menyatakan suku pertama, n menyatakan banyak suku, dan b adalah beda suatu barisan aritmatika, maka: U1 = a U2 = a + b U3 = a + 2b . . . Un = a + (n – 1)b Jadi, suku ke-n barisan aritmatika (Un) dirumuskan sebagai: b. Jumlah n Suku Pertama Deret AritmatikaUntuk memudahkan perhitungan, berikut ini akan dicari rumus menentukan jumlah n suku pertama deret aritmatika. U1 = a U2 = a + b U3 = a + 2b . . . Un = a + (n – 1)b —————————————————————-+ Sn = a + a + a + . . . + b + 2b + 3b + . . . + (n–1) b Sn = na + b + 2b + 3b + . . . + (n–1) b = na + {(1 + 2 + 3 + . . . + (n–1)}b Jadi, rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah: c. Suku Tengah Deret AritmatikaDalam deret aritmatika jika n ganjil, maka suku tengah (Ut) deret aritmatika tersebut terletak di tengah-tengah antara U1 dan Un dan dirumuskan sebagai:
d. Sisipan pada Deret AritmatikaMisalkan U1 + U2 + U3 + U4 + . . . + Un adalah deret aritmatika dengan suku pertama U1 = a, beda = b, dan banyaknya suku = n.Apabila di antara dua suku deret aritmatika tersebut disisipkan k buah bilangan (suku baru) sehingga membuat deret aritmatika baru, maka: Deret semula: Deret baru: Dari deret semula dan deret baru diperoleh hubungan:
Sifat-Sifat Deret AritmatikaMasih ingatkah kita dengan rumus suku ke-n dan jumlah n suku pertama pada deret aritmatika? Nah, dari rumus suku ke-n dan jumlah n suku pertama pada deret aritmatika tersebut kita akan menemukan sifat-sifat deret aritmatika. Bentuk umum dari suatu deret aritmatika adalah: Berikut ini akan diuraikan beberapa sifat lain pada deret aritmatika. Misalkan diketahui deret aritmatika 2 + 6 + 10 + 14 + 18 + . . . , a = 2, b = 4 Dari uraian di atas maka: Dalam pembahasan sebelumnya telah kita ketahui bahwa: Jika banyak suku barisan aritmatika ganjil dan suku tengahnya adalah Ut maka: Hubungan antara Sn dan Un
Contoh Soal Deret Aritmatika Beserta JawabannyaBerikut ini terdapat beberapa contoh soal deret aritmatika beserta jawabannya, terdiri atas: 1. Suku ke4 dan suku ke9 suatu barisan aritmatika berturutturut adalah 110 dan 150. Suku ke30 barisan tersebut adalah … Pembahasan Dari beberapa suku yang diketahui diperoleh persamaan yaitu : (1) U4 = a + 3b = 110 (2) U9 = a + 8b = 150 Dengan dua persamaan di atas, kita dapat menentukan nilai suku pertama (a) dan beda (b) barisan aritmatika tersebut. Nilai a dan b dapat ditentukan dengan metode eliminasi ataupun metode substitusi. Dengan metode substitusi, diperoleh : a + 3b = 110 → a = 110 3b → substitusi ke persamaan (2). a + 8b = 150 ⇒ 110 3b + 8b = 150 ⇒ 110 + 5b = 150 ⇒ 5b = 40 ⇒ b = 8 Karena b = 8, maka a = 110 3(8) = 110 24 = 86. Jadi, suku ke30 barisan aritmatika tersebut adalah : U30 = a + 29b ⇒ U30 = 86 + 29(8) ⇒ U30 = 86 + 232 ⇒ U30 = 318 (Opsi B) 2. Dari suatu barisan aritmatika diketahui suku ke5 adalah 22 dan suku ke12 adalah 57. Suku ke15 barisan ini adalah … Pembahasan Dari soal diperoleh dua persamaan sebagai berikut : (1) U5 = a + 4b = 22 (2) U12 = a + 11b = 57 Dengan menggunakan metode substitusi, diperoleh nilai suku pertama dan beda sebagai berikut : a + 4b = 22 → a = 22 4b → substitusi ke persamaan (2). a + 11b = 57 ⇒ 22 4b +11b = 57 ⇒ 22 + 7b = 57 ⇒ 7b = 35 ⇒ b = 5 Karena b = 5, maka a = 22 4(5) = 22 20 = 2. Jadi, suku ke15 barisan aritmatika tersebut adalah : U15 = a + 14b ⇒ U15 = 2 + 14(5) ⇒ U15 = 2 + 70 ⇒ U15 = 72 (Opsi C)
3. Suku keempat dan suku ketujuh suatu barisan aritmatika berturutturut adalah 17 dan 29. Suku barisan ke25 adalah … Pembahasan Dari soal diperoleh dua persamaan sebagai berikut : (1) U4 = a + 3b = 17 (2) U7 = a + 6b = 29 Dengan menggunakan metode substitusi, diperoleh nilai suku pertama dan beda sebagai berikut : a + 3b = 17 → a = 17 3b → substitusi ke persamaan (2). a + 6b = 29 ⇒ 17 3b + 6b = 29 ⇒ 17 + 3b = 29 ⇒ 3b = 12 ⇒ b = 4 Karena b = 4, maka a = 17 3(4) = 17 12 = 5. Jadi, suku ke25 barisan aritmatika tersebut adalah : U25 = a + 24b ⇒ U25 = 5 + 24(4) ⇒ U25 = 5 + 96 ⇒ U25 = 101 (Opsi B) 4. Suku kedua barisan aritmatika adalah 5 dan suku kelima adalah 14. Suku ke20 barisan aritmatika tersebut adalah … Pembahasan Dari soal diperoleh dua persamaan sebagai berikut : (1) U2 = a + b = 5 (2) U5 = a + 4b = 14 Dengan menggunakan metode substitusi, diperoleh nilai suku pertama dan beda sebagai berikut : a + b = 5 → a = 5 b → substitusi ke persamaan (2). a + 4b = 14 ⇒ 5 b + 4b = 14 ⇒ 5 + 3b = 14 ⇒ 3b = 9 ⇒ b = 3 Karena b = 3, maka a = 5 3 = 2. Jadi, suku ke20 barisan aritmatika tersebut adalah : U20 = a + 19b ⇒ U20 = 2 + 19(3) ⇒ U20 = 2 + 57 ⇒ U20 = 59 (Opsi A)
5. Dari suatu barisan aritmatika diketahui suku keempat adalah 7 dan jumlah suku keenam dan kedelapan adalah 23. Besar suku kedua puluh adalah … Pembahasan Dari soal diperoleh dua persamaan sebagai berikut : (1) U4 = a + 3b = 7 (2) U6 + U8 = (a + 5b) + (a + 7b) = 2a + 12b = 23 Dengan menggunakan metode substitusi, diperoleh nilai suku pertama dan beda sebagai berikut : a + 3b = 7 → a = 7 3b → substitusi ke persamaan (2). 2a + 12b = 23 ⇒ 2(7 3b) + 12b = 23 ⇒ 14 6b + 12b = 23 ⇒ 6b = 9 ⇒ b = 9/6 = 3/2 Karena b = 3/2, maka a = 7 3(3/2) = (14 9)/2 = 5/2. Jadi, suku ke20 barisan aritmatika tersebut adalah : U20 = a + 19b ⇒ U20 = 5/2 + 19(3/2) ⇒ U20 = 5/2 + 57/2 ⇒ U20 = 62/2 = 31 (Opsi C) Demikianlah pembahasan mengenai Rumus Deret Aritmatika – Pengertian, Barisan, Sifat & Contoh Soal semoga dengan adanya ulasan tersebut dapat menambah wawasan dan pengetahuan anda semua, terima kasih banyak atas kunjungannya. |