Equação da reta tangente a curva exercicios resolvidos

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 Observamos que para todo $x\geq 0$ a função $(x-b)^2 -2$ é contínua e que para todo $x<0$ também a função $a\sin x$ é contínua. Logo, temos que verificar a continuidade no ponto $x=0$, isto é, deve acontecer que

$\lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)= \lim_{x\rightarrow 0^+}f(x),$

ou seja,

$\lim_{x\rightarrow 0^-}a\sin x=\lim_{x\rightarrow 0^+} (x-b)^2 -2.$

A relação anterior implica que $0= b^2-2$, ou seja $b=\pm\sqrt{2}.$ \\

Afim de achar o valor de $a$, encontramos a derivada de $f(x)$. Observamos que, sendo $a\sin x$ e $(x-b)^2 -2$ funções diferenciáveis para todo $x\in \mathbb{R}$, a derivada de $f(x)$ é a seguinte:

$f'(x)= \begin{cases}      2(x-b), \quad x> 0 a\cos x,\quad x<0.

\end{cases}$

Como queremos que $f(x)$ seja diferenciável no ponto $x=0$ também, temos que impor

$\lim_{x\rightarrow 0^-}f'(x)= \lim_{x\rightarrow 0^+}f'(x),$

ou seja,

$\lim_{x\rightarrow 0^-}a\cos x= \lim_{x\rightarrow 0^+}2(x-b).$

A relação anterior implica que $a= -2b$, então as duplas de valores para os quais $f(x)$ é contínua e diferenciável para todo $x\in \mathbb{R}$, são $(a,b)= (2\sqrt{2}, -\sqrt{2})$ ou $(a,b)=(-2\sqrt{2}, \sqrt{2}).$

Usando a função derivada calculada no ponto anterior, temos que $f'(1)= 2(1-b),$ então, como a inclinação da reta tangente deve ser 2, obtemos $2(1-b)=2$ e logo $b= 1$. A equação de $t$ é $y= f(1)+ f'(1)(x-1)$, isto é $y= -2+1\cdot(x-1)=x-3.$

Usando a função derivada calculada no ponto anterior, temos que $f'(-\pi)= a\cos (-\pi)= -a,$ então, como a inclinação da reta normal $s$ é $-\frac{1}{2}$, deve ser $-a=2$, ou seja $a=-2$. A equação de $s$ é $y= f(-\pi)-\frac{1}{2}(x+\pi)$, isto é $y= -\frac{1}{2}x -\frac{1}{2}\pi.$

Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.

a)y=∜x                                (1,1)

b) $$y=x^{4}+2x^{2}-x$$           (1,2)

Solução:

Equação da Reta tangente à curva | Derivada

1. 1. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Exercícios Resolvidos: Reta tangente Contato: Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 26/05/2015 - Atualizado em 24/09/2017 O que eu preciso saber? Seja ƒ() uma função qualquer e (1, y1) um ponto de ƒ(), então a equação da reta tangente a ƒ() neste ponto será: t() = ƒ(1) + ƒ (1)( − 1) (1) Exemplo 1: Encontre a equação da reta tangente a função ƒ() = 22 + 3 no ponto (4, 35). Solução: ƒ () = 4 ƒ (4) = 4(4) = 16 Usando a formula (1) então a equação da reta tangente é: t = 35 + 16( − 4) t = 16 + 35 − 64 t = 16 − 29 Exemplo 2: Encontre a reta tangente à curva 2 + 4y + y2 = 13 no ponto (2, 1). Solução: A derivada implícita da curva em relação a  será: 2 + 4y + 4 dy d + 2y dy d = 0 2 + 4y + 2 dy d (2 + y) = 0 ⇒ dy d = −  + 2y 2 + y 1
2. 2. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Usando novamente a fórmula (1) a equação da reta tangente a curva no ponto (2, 1) é: t = 1 − (2) + 2(1) 2(2) + (1) · ( − 2) t = − 4 5  + 13 5 Exemplo 3: Ache a equação da tangente à parábola y = 2 se a tangente corta o eixo x no ponto 2. Solução: O gráfico a seguir ilustra o problema: 2 (1, y1) No gráfico acima supomos a localização do ponto de tangência e chamamos as coordenadas desse ponto de 1 e y1. Usando a fórmula (1) a equação da reta tangente é t() = ƒ(1) + ƒ (1)( − 1) Como a reta tangente passa pelo ponto (2, 0) então: t() = ƒ(1) + ƒ (1)( − 1) ⇒ 2 1 + 2(1)(2 − 1) = 0 ⇒ 2 1 + 41 − 22 1 = 0 ⇒ 41 − 2 1 = 0 A equação acima é uma equação do segundo grau com duas soluções. Uma para 1 = 0 e outra para 1 = 4. Pela figura fica evidente que a solução que foi suposta ocorre para 1 = 4. 2
3. 3. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Assim, a equação da reta tangente fica: t() = ƒ(4) + ƒ (4)( − 4) ⇒ t() = 16 + 8( − 4) ⇒ t() = 8 − 16. Já para 1 = 0 teríamos t() = 0. Exemplo 4: Mostre que a tangente à parábola y = 2, no ponto (0, y0) diferente do vértice, corta o eixo  no ponto  = 0 2 . Solução: Como não se sabe qual é exatamente o ponto de tangência vamos representar as suas coordenadas por (0, y0). Assim, a equação da reta tangente nesse ponto seria: t() = ƒ(0) + ƒ (0)( − 0) Como ƒ (0) = 20 e ƒ(0) = 2 0 então: t() = 2 0 + 20( − 0) Sabe-se que quando uma função qualquer corta o eixo  seu valor é zero, sendo assim: t() = 0 ⇒ 2 0 + 20( − 0) = 0 Finalmente, resolvendo a equação acima para  chegamos á:  = 1 2 0 Como se queria mostrar. 3
4. 4. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Exemplo 5: Ache a equação da reta tangente à curva ƒ() = 22 + 1 que é paralela à reta 8 + y − 2 = 0. Solução: Como a reta tangente é paralela a y = 2 − 8 então ƒ (0) = −8 que implica em 0 = −2. Assim, usando a fórmula (1). t() = ƒ(0) + ƒ (0)( − 0) ⇒ t() = (22 0 + 1) + 40( − 0) ⇒ t() = 2(−2)2 + 1 + 4(−2)( − (−2)) ⇒ t() = 2(4) + 1 − 8( + 2) ⇒ t() = −8 − 7 Que é a equação da reta. Exemplo 6: Ache a equação das duas retas tangente a curva y = 2 − 4 e que passa pelo ponto (3, 1). Solução: Usando a fórmula (1): t() = ƒ(0) + ƒ (0)( − 0) ⇒ t() = (2 0 − 4) + 20( − 0) Por hipótese t() passa por (3, 1) então: t(3) = 1 ⇒ (2 0 − 4) + 20(3 − 0) = 1 ⇒ 2 0 − 4 + 60 − 22 0 = 1 ⇒ 2 0 − 60 + 5 = 0 Resolvendo essa última equação para 0 chegamos a: 0 = 1 ou 0 = 5. Se 0 = 5 então: 4
5. 5. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA t() = (52 − 4) + 2(5)( − 5) ⇒ t() = 10 − 29 Mas, se 0 = 1 então: t() = (12 − 4) + 2(1)( − 1) ⇒ t() = 2 − 5 Exemplo 7: Que valores devem ter as constantes , b e c se as duas curvas y = 2 +  + b e h = c − 2 têm a mesma tangente no ponto (3, 3)? Solução: No ponto (3, 3) a equação y = 2 +  + b fornece a seguinte identidade. 3 = 32 + 3 + b ⇒ 3 + b = −6 (1) Já a equação y = c − 2 resulta em: 3 = 3c − 32 3 = 3c − 9 ⇒ c = 4 Assim já obtemos o valor de “c". Para obter “" e “b" vamos considerar a reta tangente das duas equações. Pela fórmula (1) a função da reta tangente a curva y = 2 +  + b no ponto (3 , 3) é: t() = ƒ(3) + ƒ (3)( − 3) ⇒ t() = (9 + 3 + b) + (6 + )( − 3) ⇒ t() = (6 + ) + (b − 9) (2) 5
6. 6. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Analogamente se determina a função da reta tangente a curva h = c − 2 no ponto (3, 3). t2() = (3c − 32) + (c − 6)( − 3) ⇒ t2() = (c − 6) + 9 (3) Como por hipótese no ponto (3, 3) as equações (2) e (3) são as mesmas então: (6 + ) + (b − 9) = (c − 6) + 9 Por igualdade polinomial retira-se da relação acima as seguintes igualdades. 6 +  = c − 6 e b − 9 = 9 Como c = 4 então da primeira igualdade se conclui que  = −8 e da segunda que b = 18. Solução = {  = −8, b = 18, c = 4} Aulas particulares para: Ensino Fundamental e Médio. Cálculo i e ii. Apenas para a cidade de Vitória da Conquista - BA. WhatsApp: (77)98111-9211 Email: 6
7. 7. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Este trabalho está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial- CompartilhaIgual 4.0 Internacional. Esse documento está sujeito a constante atualização ou mesmo correções, por isso, certifique se que o que você têm em mãos é de fato a última versão do mesmo. Para saber, bem como ter acesso a vários outros exercícios resolvidos de matemática, acesse: www.number890.wordpress.com Para aulas particulares, digitação de texto em LATEXe resolução de listas de exer- cícios entre em contato. nbbedego@gm.com .ƒcebook.com/theNmberType .nmber890.ordpress.com 7