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Tente adivinhar o valor através da eliminação. É mais difícil descobrir raízes quadradas não inteiras, mas ainda assim é possível.
2 Use o processo da média. Esse método também começa com a sua tentativa de encontrar os números inteiros mais próximos entre os quais estará o valor desejado.[5] X Fonte de pesquisa Ir à fonte
A raiz quadrada é um tipo de operação matemática, assim como a adição, multiplicação, entre outras. Ela é a operação inversa da potência de dois, ou seja, calcular a raiz quadrada de um número a é procurar o número elevado a 2 que resulta em a. Além disso, essa raiz pode ser exata ou não. Quando ela é exata, o número é chamado de quadrado perfeito. Na geometria, ela é útil para determinamos o lado de quadrados. Leia também: Potenciação e radiciação de frações – como resolver? RadiciaçãoNa raiz quadrada, o índice da raiz é 2. Ela é a mais comum entre as radiciações, mas também é possível calcular raiz cúbica, raiz quarta, entre outras raízes. A radiciação é o inverso da potenciação. Por exemplo, se eu pedir a raiz quinta de um número n, estamos procurando qual é o número que, multiplicado por ele 5 vezes, resulta em n. Elementos da radiciaçãoA operação é representada por: radicaln→ índice a→ radicando b→ raiz Como vamos fazer o estudo da raiz quadrada, o índice será sempre igual a 2. Em uma radiciação, quando o índice é 2, não precisamos escrevê-lo. Calculando a raiz quadradaO cálculo da raiz quadrada pode ser feito de cabeça por meio de tabuada quando conhecemos a raiz. Quando o número é muito grande, uma alternativa é realizar a fatoração desse número. Calcular a raiz quadrada de a é encontrar o número b que, quando multiplicamos b .b, resulta em a. Tipos de raiz quadradaUma raiz quadrada pode ser exata ou não. Para que a gente consiga classificar, precisamos levar em consideração se a resposta é um número racional ou um número irracional. Uma raiz quadrada é exata quando resulta em um número racional, como uma fração, um número inteiro, um número decimal, desde que, ao multiplicar esse número por ele mesmo, encontremos exatamente o radicando. Quando o número para o qual desejamos calcular a raiz quadrada exata é muito grande, o ideal é recorrer à fatoração desse número. Como estamos calculando a raiz quadrada, vamos agrupar essa fatoração como potências de dois conforme o exemplo a seguir. Calcule a raiz quadrada de 3600. Agora que realizamos a fatoração, vamos calcular a raiz de 3600 na forma fatorada. Podemos perceber que a raiz de um número ao quadrado é igual ao próprio número. Por exemplo, sabemos que 3 ao quadrado é 9 e que a raiz de 9 é igual ao próprio 3. Então podemos simplificar o expoente 2 com o radical. Na raiz exata, quando a resposta é um número natural, ele é conhecido como quadrado perfeito. Veja todos os quadrados perfeitos de 0 até 100. Os quadrados perfeitos de 0 até 100 são 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100. Existem casos em que a raiz não é exata. Quando isso acontece, podemos encontrar a melhor aproximação possível para a raiz desse número, já que a resposta é um número irracional. Para essa aproximação, vamos utilizar os quadrados perfeitos que já conhecemos. Para encontrar a raiz de 40, vamos compará-la com as raízes exatas que conhecemos. Analisando os quadrados perfeitos, sabemos que 40 está entre 36 e 49. Agora vamos encontrar o número decimal entre 6 e 7 que está mais próximo de 40. 6,1² = 37,21 6,2²= 38,44 6,3²=39,69 6,4²=40,96 → passou de 40, então vamos usar o número decimal anterior para a aproximação. Perceba que 6,3² não dá exatamente 40, mas chega próximo, por isso essa raiz quadrada não é exata. Veja também: Cálculo de raízes – formas de resolver Interpretação geométrica da raiz quadradaAlguns livros de história da matemática dizem que a raiz quadrada surgiu para resolver problemas de áreas de quadrado. Suponha que queiramos achar o lado de um terreno que tem formato de um quadrado e que sua área seja igual a 169 m². Como a área do quadrado é calculada por l², então calcular a raiz de 169, geometricamente, é encontrar o lado do quadrado que possui essa área. O lado do quadrado é de 13 metros. A raiz quadrada é um tipo específico de radiciação.Exercícios resolvidosQuestão 1 - Qual é a melhor aproximação para a raiz quadrada de 72? A) 8,1 B) 8,2 C) 8,3 D) 8,4 E) 8,5 Resolução Alternativa D. Sabemos que 72 está entre os quadrados perfeitos 64 e 81, então temos que: 8,1²= 65,61 8,2²= 67,24 8,3²= 68,89 8,4²= 70,56 8,5²= 72,25 → passou, então a melhor aproximação é a anterior, 8,4. Questão 2 - Qual das raízes abaixo não é exata? Resolução Alternativa C. a) Possui raiz exata igual a 11, pois 11² =121. b) Possui raiz exata igual a 1,3, pois 1,3² = 1,69. c) Não possui raiz exata d) Possui raiz exata, pois o numerador 1²=1 e o denominador 2²=4, logo a raiz dessa fração é igual a ½. e) Possui raiz exata igual a 1. A radiciação é a operação matemática inversa da potenciação, assim como a divisão é a operação inversa da multiplicação. Essa operação é representada pelo símbolo √, conhecido como radical, e a raiz de um número é representada por \(\sqrt[n]{a}\ =\ b\). Assim, podemos calcular a raiz enésima de um número utilizando o seguinte raciocínio: a raiz enésima de a é o número que elevado a n é igual a a. Além disso, a radiciação possui propriedades importantes que auxiliam na resolução de problemas envolvendo-a. Leia também: Potenciação e radiciação de frações Videoaula sobre radiciaçãoComo representar a radiciação?Para representar uma operação de radiciação, utilizamos o símbolo √, conhecido como radical. Então, a raiz de um número é representada por: \(\sqrt[n]{a}\ =\ b\) Essa sentença é lida como “raiz enésima de a é igual a b”. Cada um dos elementos recebe nome específico. São eles:
Observação: Quando o índice é igual a 2, não é necessário que o algarismo 2 conste. Ou seja: \(\sqrt[2]{a}=\sqrt a\) A radiciação e a potenciação são conhecidas como operações inversas. Assim, para calcular a radiciação, é fundamental saber resolver potenciações. Quando representamos a raiz enésima de a, encontramos como resposta o número b. Para que b seja raiz n de a, temos que: \(\sqrt[n]{a}=b\rightarrow b^n=a\) Logo, estamos procurando qual é o número b que elevado ao índice n é igual ao radicando a. Exemplo 1: \(\sqrt[2]{25}=5\rightarrow5^2=25\) Exemplo 2: \(\sqrt[3]{8}=2\rightarrow2^3=8\) Exemplo 3: \(\sqrt[5]{1024}=4\rightarrow4^5=1024\) Propriedades da radiciaçãoAs propriedades das operações matemáticas são ferramentas que auxiliam na resolução e na simplificação de problemas envolvendo uma operação, e com a radiciação não é diferente. É útil, portanto, dominar algumas propriedades da radiciação. → A raiz enésima de a elevado a n é igual ao próprio aSe queremos calcular a raiz enésima de um número a elevado a n, ou seja, quando o expoente do número é igual ao índice da raiz, a raiz é o próprio número a. \(\sqrt[n]{a^n}=a\) → A raiz do produto é igual ao produto das raízesQuando o radicando é a multiplicação entre dois números, a raiz do produto é igual ao produto das raízes. \(\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\) → A raiz do quociente é igual ao quociente das raízesEssa propriedade é equivalente à anterior, porém para o caso de divisão. Quando há uma divisão entre dois números no radicando, a raiz do quociente é igual ao quociente das raízes. \(\sqrt[n]{a∶b}=\sqrt[n]{a}∶\sqrt[n]{b}\) Além disso, essa propriedade é válida para frações, já que a fração é uma divisão. \(\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\) → Multiplicação e divisão do índice com o expoentePodemos multiplicar ou dividir o radical e o expoente do radicando por um mesmo número. \(\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n\cdot b]{a^{m\cdot b}}\) \(\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n:b]{a^{m:b}}\) → Raiz de uma raizPara resolver a raiz de uma raiz, podemos multiplicar os índices dessas raízes. \(\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a}\) → Potência de uma raizQuando há uma potenciação com a raiz, temos que: \(\left(\sqrt[n]{a}\right)^b=\sqrt[n]{a^b}\) → Transformação de uma radiciação em uma potenciaçãoPodemos reescrever a radiciação de um número como uma potenciação. \(\sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}\) Confira nossa videoaula: Propriedades de potência Simplificação de radicaisQuando a raiz não é um número exato, é possível simplificar o radical, ou seja, escrever o radical da forma mais simples possível. Para fazer a simplificação, é necessário fatorar esse número e utilizar as propriedades da radiciação apresentadas anteriormente para representar a radiciação da forma mais simples possível. Exemplo: Simplifique \(\sqrt{392}\): Resolução: Primeiramente, é necessário realizar a fatoração de 392: Como queremos calcular a raiz quadrada, agruparemos, quando possível, os números como potência de 2: 392 = \(2^2\cdot2\cdot7^2\) Assim, temos que: \(\sqrt{392}=\sqrt{2^2\cdot2\cdot7^2}\) Utilizando as propriedades da radiciação, sabemos que a raiz do produto é igual ao produto das raízes: \(\sqrt{392}=\sqrt{2^2}\cdot\sqrt2\cdot\sqrt{7^2}\) Vale ressaltar que quando o índice não aparece, o seu valor é 2. E quando o índice e o expoente do radicando são os mesmos, a raiz é igual ao radicando. Ou seja: \(\sqrt{392}=2\cdot\sqrt2\cdot7\) Então, temos que: \(\sqrt{392}=14\sqrt2\) Logo, \(14\sqrt2\) é a forma simplificada da \(\sqrt{392}\). Operações com radicais→ Adição e subtraçãoQuando o radical é o mesmo, para somar ou subtrair a raiz, conservamos o radical e somamos os coeficientes. Exemplo: \(4\sqrt2+3\sqrt2=7\sqrt2\) Quando o radical é diferente, não é possível realizar a operação. Dessa forma, é necessário obter um valor aproximado ou exato para a raiz antes de fazer o cálculo. Exemplo: \(5\sqrt3-2\sqrt2\) \(5\cdot1,7-2\cdot1,4\) \(8,5-2,8\) \(5,7\) → Multiplicação e divisãoQuando o índice é o mesmo, podemos realizar a multiplicação ou a divisão e conservar o radical. Exemplo: \(\sqrt[3]{5}\cdot\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{2\cdot5}=\sqrt[3]{10}\) Quando o índice é diferente, de início igualamos os índices e depois realizamos a multiplicação/divisão e conservamos o radical. Exemplo: \(\sqrt[3]{16}∶\sqrt[2]{2}\) Para igualar os índices, temos que: \(\sqrt[3\cdot2]{{16}^2\ }:\sqrt[2\cdot3]{2^3}\) \(\sqrt[6]{{16}^2∶2^3}\) \(\sqrt[6]{256∶8}\) \(\sqrt[6]{32}\) Exercícios resolvidos sobre radiciaçãoQuestão 1 (Fauel) O número \(\sqrt[3]{2160}\) pode ser escrito na forma simplificada. Assinale a alternativa que apresenta o número simplificado. A) 50 B) \( 6\sqrt[3]{10}\) C) \( 10\sqrt[3]{6}\) D) 720 Resolução: Alternativa B Fazendo a fatoração: Como queremos a raiz cúbica, agruparemos de 3 em 3: 2160 = \(2^3\cdot2\cdot3^3\cdot5\) Logo: \(\sqrt[3]{2160}=\sqrt[3]{2^3\cdot2\cdot3^3\cdot5}\) \(\sqrt[3]{2160}=2\cdot3\sqrt[3]{2\cdot5}\) \(\sqrt[3]{2160}=6\sqrt[3]{10}\) Questão 2 Qual é a raiz cúbica de 4.096? A) 26 B) 24 C) 16 D) 14 Resolução: Alternativa C Para encontrar a raiz cúbica de 4.096, devemos fatorar esse número: Como nós queremos a raiz cúbica, agruparemos de 3 em 3. Assim, obtemos 4096 = \(2^3\cdot2^3\cdot2^3\cdot2^3\). Portanto: \(\sqrt[3]{4096}=\sqrt[3]{2^3\cdot2^3\cdot2^3\cdot2^3}\) \(\sqrt[3]{4096}=2\cdot2\cdot2\cdot2\) \(\sqrt[3]{4096}=16\) |