8.SOAL UJIAN NASIONAL TRANSFORMASI GEOMETRI SOAL UJIAN NASIONAL MATEMATIKA TRANSFOMASI GEOMETRI 6. Persamaan bayangan garis y = x 2 − 3 , karena refleksi terhadap sumbu X dilanjutkan oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks TRANSFORMASI Rotasi 1. Garis yang persamaannya y = 2x + 2 dirotasikan sejauh 450 berlawanan arah jarum jam dengan pusat O(0,0). Persamaan garis yang terbentuk adalah…. A. y + 3x + 2 = 0 B. y - 3x + 2 = 0 C. y + 2x - 3 = 0 D. y + x - 2 = 0 E. 3y - x - 2 = 0 2 1 1 1 ( Ebtanas 1990/1991,Matematika IPA,) 2 2. Persamaan bayangan parabola y = x + 4 karena rotasi dengan pusat O ( 0 , 0 )sejauh 180o adalah .... A. x = y2 + 4 B. x = -y2 + 4 C. x = -y2 – 4 D. y = -x2 - 4 E. y = x2 + 4 D. E. y = 2x 2 − x − 1 y 2 + x 2 + 2xy + x − 2y − 3 = 0 C. y 2 + x 2 − 2xy + x − 2y − 3 = 0 D. y 2 + x 2 + 2xy + x + 2y − 3 = 0 E. y 2 − x 2 + 2xy + x + 2y − 3 = 0 B. 3y − x 2 − 9x + 18 = 0 C. 3y − x 2 − 9x + 18 = 0 D. 3y + x 2 + 9x + 18 = 0 E. 3 + x 2 + 9x + 18 = 0 8. Persamaan peta garis 3x - 4y = 12 , karena refleksi terhadap garis y – x = 0 dilanjutkan oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks − 3 5 adalah .... −1 1 A. y + 11x + 24 = 0 B. y - 11x -10 = 0 C. y - 11x + 6 = 0 D. 11y - x + 24 = 0 E. 11y - x - 24 = 0 4. Persamaan peta suatu kurva oleh rotasi pusat O π bersudut , dilanjutkan dilatasi [ 0 , 2 ] adalah 2 x = 2 + y − y 2 . Persamaan kurva semula adalah C. B. ( UN 2003/2004,Matematika IPA,) ( UN 2005/2006,Matematika IPA,Kurikulum 2004 ) B. y 2 + x 2 − 2xy − x + 2y − 3 = 0 7. Persamaan peta kurva y = x 2 − 3x + 2 , karena pencerminan terhadap sumbu X dilanjutkan dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 3 adalah .... A. 3y + x 2 − 9x + 18 = 0 ( UN 2007/7008,Matematika IPA ) A. A. ( UN 2005/2006,Matematika IPA) Komposisi Transformasi 3. Persamaan bayangan parabola 4 x − y + 5 = 0 , oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks 2 0 dilanjutkan pencerminan terhadap − 1 3 sumbu Y adalah.... A. 3 x + 2 y − 30 = 0 B. 6 x + 12 y − 5 = 0 C. 7 x + 3 y + 30 = 0 D. 11x + 2 y − 30 = 0 E. 11x − 2 y + 30 = 0 1 y = x2 − x + 4 2 1 y = x2 + x − 4 2 1 y = − x2 + x + 4 2 y = −2x 2 + x + 1 adalah.... ( UN 2002/2003,Matematika IPA,) 9. Bayangan titik A ( x , y ) karena refleksi terhadap garis x = -2 , dilanjutkan refleksi terhadap garis y = 3 dan kemudian dilanjutkan dengan rotasi pusat π O bersudut radian adalah ( -4 , 6 ).Koordinat 2 titik A adalah .... A. ( 2 , -10 ) B. ( 2 , 10 ) C. ( 10 , 2 ) D. (-10 , 2 ) E. (10 , -2 ) ( UN 2004/2005,Matematika IPA ) 5. Bayangan kurva y = x 2 − 3 , jika dicerminkan terhadap sumbu X dilanjutkan oleh dilatasi pusat O dengan faktor skala 2 , adalah .... 1 A. y = x 2 + 6 2 1 B. y = x 2 − 6 2 1 2 C. y = x − 3 2 1 D. y = 6 − x 2 2 1 2 E. y = 3 − x 2 ( UN 2002/2003,Matematika IPA,) 10. T1 adalah transformasi rotasi pusat O dan sudut putar 900. T2 adalah transformasi pencerminan terhadap garis y = -x . Bila koordinat peta titik A oleh transformasi T1 o T2 adalah A’ ( 8 , -6 ) , maka koordinat titik A adalah .... A. ( -6 , -8 ) B. ( -6 , 8 ) C. ( 6 , 8 ) D. ( 8 , 6 ) E. ( 10 , 8 ) ( UN 2003/2004,Matematika IPA,) ( UN 2006/2007,Matematika IPA,Paket 45 B ) www.yathadhiyat-math.blogspot.com 1 PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com 8.SOAL UJIAN NASIONAL TRANSFORMASI GEOMETRI 11. Bayangan segitiga ABC dengan A(-1,3), B(2,-4), dan C(1,5) karena rotasi pusat (0,0) sebesar π dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis y = x 2 18. Garis dengan persamaan y = 2x + 3 dicerminkan terhadap sumbu x kemudian diputar dengan R [ 0 , 900 ]. Persamaan bayangannya adalah .... A. x – 2y -3 =0 B. x + 2y -3 =0 C. 2x – y - 3 =0 D. 2x + y - 3 =0 E. 2x + y + 3 =0 adalah .... A. A’(1,3) , B’(-2,-4) , dan C’ (-1,5) B. A’(-1,-3) , B’(2,-4) , dan C’ (1,-5) C. A’(-1,3) , B’(2,-4) , dan C’ (1,5) D. A’(-3,-1) , B’(4,2) , dan C’ (5,1) E. A’(3,-1) , B’(2,4) , dan C’ (1,-5) ( Ebtanas 1998/1999,Matematika IPA,) 19. Jika garis 2x + y + 4 = 0 dicerminkan terhadap garis y = x, kemudian dilanjutkan dengan 1 2 , maka persamaan transformasi matriks 0 1 bayangannya adalah .... A. x - 2y + 4 = 0 B. x + 2y + 4 = 0 C. x + 4y + 4 = 0 D. y + 4 = 0 E. x + 4 = 0 ( Ebtanas 2000/2001,Matematika IPA,) 12. Bayangan segitiga ABC dengan A(2,1), B(6,1), dan C(5,3) karena refleksi terhadap sumbu y dilanjutkan dengan rotasi pusat [0,900] adalah .... A. A”(-1,-2) , B”(1,6) , dan C”(-3,-5) B. A”(-1,-2) , B”(1,-6) , dan C”(-3,-5) C. A”(1,-2) , B”(-1,6) , dan C”(-3,5) D. A”(-1,-2) , B”(-1,-6) , dan C”(-3,-5) E. A”(-1,2) , B”(-1,-6) , dan C”(-3,-5) ( Ebtanas 2000/2001,Matematika IPA,) 13. Luas bayangan persegipanjang PQRS dengan P(1,-2), Q(3,-2), dan R(3,-1) S(-1,-1) karena dilatasi [0,3] dilanjutkan dengan rotasi pusat O bersudut π adalah .... 2 A. B. C. D. E. ( Ebtanas 1997/1998,Matematika IPA,) 20. Titik ( 4 , -8 ) dicerminkan terhadap garis x = 6 dilanjutkan dengan rotasi ( 0 , 600 ). Hasilnya adalah .... A. 36 satuan luas 48 satuan luas 72 satuan luas 96 satuan luas 108 satuan luas B. C. D. ( Ebtanas 2000/2001,Matematika IPA,) 14. Segitiga ABC dengan (2,1), B(6,1), dan C(7,4) ditransformasikan dengan matriks transformasi 3 1 . Luas bangun hasil transformasi segitiga 0 1 ABC adalah karena rotasi pusat (0,0) sebesar π dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis y = x 2 E. ( Ebtanas 1996/1997,Matematika IPA,) 21. Lingkaran yang berpusat di ( 3 , -2 ) dan berjarijari 4 diputar dengan R [ 0 , 900 ] kemudian dicerminkan terhadap sumbu X. Persamaan bayangannya adalah .... A. x 2 + y 2 − 4x + 6y − 3 = 0 adalah .... A. 56 satuan luas B. 36 satuan luas C. 28 satuan luas D. 24 satuan luas E. 18 satuan luas ( Ebtanas 2000/2001,Matematika IPA,) B. x 2 + y 2 + 4x − 6y − 3 = 0 C. x 2 + y 2 + 6x − 4y − 3 = 0 D. x 2 + y 2 − 6x + 4y − 3 = 0 E. x 2 + y 2 + 4x − 6y + 3 = 0 ( Ebtanas 1995/1996,Matematika IPA,) 15. Jika garis x + 2 y − 3 = 0 direfleksikan terhadap sumbu y dan dilanjutkan dengan rotasi pusat O bersudut π2 , persamaan bayangan garis adalah .... A. B. C. D. E. (−4+4 3 , 4−4 3 ) (−4+4 3 , -4−4 3 ) (4−4 3 , -4−4 3 ) (4−4 3 , 4+4 3 ) (4+4 3 , -4+4 3 ) 22. Diketahui T1 dan T2 berturut-turut transformasi yang bersesuaian 0 2 1 0 dan T2 = . matriks T1 = 2 0 0 1 Koordinat bayangan titik P ( 2 , -4 ) transformasi pertama dilanjutkan transformasi kedua adalah .... A. ( -8 , 4 ) B. ( 4 , -12 ) C. ( 4 , 12 ) D. ( 20 , 8 ) E. ( 20 , 12 ) x - 2y - 3 = 0 x + 2y - 3 = 0 x + 2y + 3 = 0 2x + y + 3 = 0 2x + y - 3 = 0 ( Ebtanas 1999/2000,Matematika IPA,) 16. Persamaan peta garis x – 2y + 4 = 0 dirotasikan dengan pusat O(0,0) sejauh 900 , dilanjutkan pencerminan terhadap garis y = x adalah .... A. x + 2y + 4 =0 B. x + 2y - 4 =0 C. 2x + y + 4 =0 D. 2x - y - 4 =0 E. 2x + y -4 =0 karena dengan ( Ebtanas 1991/1992,Matematika IPA,) 23. M adalah pencerminan terhadap garis x + y = 0. R adalah rotasi sejauh 900 searah jarum jam dengan pusat O (0,0). Matriks yang bersesuaian adalah .... 1 0 A. 0 1 ( Ebtanas 1999/2000,Matematika IPA,) 17. Garis y = -3x + 1 diputar dengan R [ 0 , 900 ] kemudian dicerminkan terhadap sumbu x. Persamaan bayangannya adalah .... A. 3y = x + 1 B. 3y = x - 1 C. 3y = -x - 1 D. y = -x - 1 E. y = 3x - 1 B. C. 1 0 0 − 1 − 1 0 0 1 ( Ebtanas 1998/1999,Matematika IPA,) www.yathadhiyat-math.blogspot.com adalah dengan 2 PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com 8.SOAL UJIAN NASIONAL TRANSFORMASI GEOMETRI 1 0 0 1 0 − 1 1 0 D. E. Dilatasi 27. Bayangan kurva y = x 2 − 1 , oleh dilatasi pusat O dengan faktor skala 2 , dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu Y, adalah .... 1 A. y = x 2 − 1 2 1 B. y = x2 +1 2 1 2 C. y = − x + 2 2 1 D. y = − x2 − 2 2 1 2 E. y = x −2 2 ( Ebtanas 1990/1991,Matematika IPA,) 24. Bayangan garis x + 3y + 2 = 0 oleh transformasi yang berkaitan dengan matriks 2 3 1 2 1 2 adalah .... dilanjutkan matriks 3 4 A. 13x - 5y + 4 = 0 B. 13x - 5y − 4 = 0 C. −5x + 4y + 2 = 0 D. −5x + 4y − 2 = 0 E. 13x - 4y + 2 = 0 ( UN 2006/2007,Matematika IPA,Paket 12 A ) Refleksi 28. Bayangan garis y = 2x + 2 yang dicerminkan terhadap garis y = x adalah ... A. y = x + 1 B. y = x - 1 C. y = x2 − 1 ( Ebtanas 1989/1990,Matematika IPA,) 25. Lingkaran ( x − 2) 2 + ( y + 3) 2 = 25 ditransformasikan oleh 0 − 1 dan dilanjutkan oleh matriks matriks 1 0 1 0 , maka persamaan bayangan lingkaran itu 0 1 adalah .... A. x 2 + y 2 + 6x - 4y − 12 = 0 B. x 2 + y 2 − 6x - 4y − 12 = 0 C. x 2 + y 2 − 4x - 6y − 12 = 0 D. x 2 + y 2 + 4x - 6y − 12 = 0 E. x 2 + y 2 + 4x + 6y − 12 = 0 D. y= x 2 +1 E. y= x 2 − 12 ( Ebtanas 2001/2002,Matematika IPA,) Matriks yang berkaitan dengan transformasi 29. Garis yang persamaannya x − 2y + 3 = 0 ditransformasikan dengan transformasi yang 1 − 3 . Persamaan berkaitan dengan matriks 2 − 5 bayangan garis itu adalah .... A. 3x + 2y – 3 = 0 B. 3x - 2y – 3 = 0 C. 3x + 2y + 3 = 0 D. -x + y + 3 = 0 E. x - y + 3 = 0 ( Ebtanas 1988/1989,Matematika IPA,) 26. Persamaan bayangan garis 4 y + 3x − 2 = 0 oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks 0 − 1 1 1 dilanjutkan matriks adalah .... 1 1 1 −1 A. 8 x + 7 y − 4 = 0 B. 8 x + 7 y − 2 = 0 C. x − 2 y − 2 = 0 D. x + 2 y − 2 = 0 E. 5 x + 2 y − 2 = 0 ( Ebtanas 1993/1994,Matematika IPA,) 30. Persamaan bayangan dari lingkaran 2 2 x + y + 4x − 6y − 3 = 0 oleh transformasi yang 0 1 adalah .... berkaitan dengan matriks −1 0 A. x 2 + y 2 + 6x − 4y − 3 = 0 ( UN 2007/7008,Matematika IPA ) B. x 2 + y 2 − 6x + 4y − 3 = 0 C. x 2 + y 2 + 4x − 6y + 3 = 0 D. x 2 + y 2 − 4x + 6y − 3 = 0 E. x 2 + y 2 + 6x − 4y − 3 = 0 ( Ebtanas 1992/1993,Matematika IPA,) www.yathadhiyat-math.blogspot.com 3 PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com
TRANSFORMASI GEOMETRI Transformasi digunakan untuk memindahkan suatu titik atau bangun pada sebuah bidang dari suatu tempat ke tempat yang lain. Transfomasi T pada suatu bidang memetakan titik P pada bidang menjadi di tempat lain pada bidang tersebut. Titik disebut bayangan titik P sebagai hasil transformasi T. Jenis-jenis transformasi geometri : 1. Translasi 2. Rotasi 3. Refleksi 4. Dilatasi Translasi Translasi adalah suatu transformasi yang memindahkan tiap titik pada bidang dengan jarak dan arah tertentu. Jarak dan arah tertentu dapat diwakili oleh ruas garis berarah (misal ) atau oleh suatu bilangan terurut Jika translasi T = memetakan titik ke titik maka berlaku hubungan : Atau . Hubungan ini dapat ditulis dalam bentuk T = : Minggu lalu, Candra duduk di pojok kanan baris pertama di kelasnya. Minggu ini, ia berpindah ke baris ketiga lajur keempat yang minggu lalu ditempati Dimas. Dimas sendiri berpindah ke baris kedua lajur kedua yang minggu lalu ditempati Sari. Perhatikan perpindahan tempat duduk Candra dan Dimas ini. · Candra berpindah 2 lajur ke kiri dan 2 baris ke belakang. Saat berpindah ini, Candra telah melakukan translasi 2 satuan ke kiri dan 2 satuan ke atas yang ditulis sebagai · Kemudian, Dimas berpindah 2 lajur ke kiri dan 1 baris ke depan. Saat berpindah ini, Dimas telah melakukan translasi 2 satuan ke kiri dan 1 satuan ke bawah yang ditulis sebagai · Misalkan, tempat duduk Candra minggu lalu di titik N(a, b) pada koordinat Cartesius. Dengan translasi , diketahui tempat duduknya inggu ini pada titik N ’(a-2,b+2).Kalian dapat menuliskan translasi ini sebagai berikut Dengan prinsip yang sama, jika titik P(x, y) ditranslasikan dengan maka diperoleh bayangannya . Secara matematis, ditulis sebagai berikut. Sekarang, translasikan lagi bayangan yang telah kalian peroleh dengan Didapat, Perhatikan bahwa Ini berarti diperoleh dengan mentranslasikan dengan Translasi T ini merupakan translasi T1 dilanjutkan dengan T2, yang ditulis sebagai Oleh karena dan maka Akibatnya, titik ditranslasikan dengan T1 dilanjutkan dengan translasi T2 menghasilkan bayangan sebagai berikut Sifat: · Dua buah translasi berturut-turut diteruskan dengan dapat digantikan dengan translasi tunggal · Pada suatu translasi setiap bangunnya tidak berubah. Contoh : 1. Translasi memetakan titik A(1,2) ke titik A'(4,6) a. Tentukan translasi tersebut ! b. Tentukanlah bayangan segitiga ABC dengan titik sudut A(1, 2), B(3, 4), dan C(5, 6) oleh translasi tersebut. c. Jika segitiga yang kalian peroleh pada jawaban b ditranslasikan lagi dengan Tentukan bayangannya! d. Translasikan segitiga ABC dengan translasi T2 ◦T1. Samakah jawabannya dengan jawaban c? Jawab: a. Diperoleh 1+p = 4 sehingga p = 3 2+q = 6 sehingga q = 4 Jadi translasi tersebut adalah b. translasi artinya artinya memindahkan suatu titik 3 satuan ke kanan dan 4 satuan ke atas. Dengan mentranslasikan titiktitik A', B', dan C' dari segitiga ABC dengan translasi T1, kalian memperoleh segitiga A'B'C' sebagai berikut Jadi bayangan segitiga ABC adalah segitiga A'B'C' dengan titik A'(4,6), B'(6,8), dan C'(-2,10) c. Jadi bayangan segitiga A'B'C' adalah segitiga A''B''C'' dengan titik A''(3,5), B''(5,7) dan C''(-3,9) d. translasi titik Jadi bayangan segitiga ABC adalah segitiga A'B'C' dengan titik A'(3,5), B'(5,7) dan C'(-3,9) Perhatikan bahwa segitiga yang diperoleh pada jawaban c sama dengan segitiga yang diperoleh pada jawaban d. Tentukan bayangan lingkaran jika ditranslasikan oleh . Jawab : Ambil sebarang titik P(a,b) pada , sehingga diperoleh …(*) Titik Jadi diperoleh atau dan atau Dengan mensubtitusi dan ke persamaan (*) diperoleh
Jadi bayangan lingkaran
jika ditranslasikan oleh
adalah Rotasi Rotasi adalah suatu transformasi yang memindahkan titik-titik dengan cara memutar titik-titik sejauh dengan pusat titik P. Rotasi pada bidang datar ditentukan oleh : 1) Titik pusat rotasi 2) Besar sudut rotasi 3) Arah sudut rotasi a b c Gambar 1 a dan b menunjukkan suatu rotasi pada titik A pada roda terhadap pusat roda P. Arah rotasi dapat berlawanan dengan arah putar jarum jam ataupun searah. Jika sudut rotasi bernilai (+) maka arah sudut rotasi berlawanan dengan arah putar jam. Jika sudut rotasi bernilai (–) maka arah sudut rotasi searah dengan arah putar jam. Besar sudut rotasi adalah sudut yang terbentuk dari besarnya rotasi yang terjadi. Suatu rotasi terhadap pusat rotasi P dan sudut rotasi dinamakan dengan . Contoh : Untuk membahas hasil pemasaran suatu produk selama 1 tahun yang dilakukan oleh 7 kantor cabang maka diadakan rapat yang dilakukan menggunakan meja bundar seperti pada gambar di bawah ini.
Jawab : Rotasi yang dinyatakan oleh R= berarti terhadap titik 0 sebesar searah putaran jarum jam. Perhatikan gambar berikut Gambar 3. Setelah meja diputar sejauh searah jarum jam maka seluruh titik berputar bersama meja, pada gambar 3, diperlihatkan titik 1 yang mula-mula berpasangan dengan kursi A berputas sejauh dan menyebabkan titik 1 berpasangan dengan kursi C, demikian juga titik 5 yang mula-mula berpasangan dengan kursi E berputar sejauh dan menyebabkan titik 5 berpasangan kursi G. Demikian untuk yang lain yang dapat dilihat hasilnya pada gambar 4 setelah dilakukan rotasi sebesar searah dengan jarum jam. Gambar 4. Dari gambar di atas dapa dilihat pasangan dari titik 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 adalah C, D, E, F, G, H, A, B.
Sifat-sifat Rotasi yang dilakukan sebanyak dua kali berturut-turut dengan sudut putar yang sama akan sama hasilnya dengan melakukan rotasi sebesar jumlah sudut putar dari dua kali rotasi tersebut. Pada rotasi bentuk bangun tidak berubah. Contoh : Tentukan bayangan dari titik P (2,1) jika dirotasikan terhadap : a. R= b. R= Jawab : a. Jadi bayangan titik P (2,1) yang dirotasikan terhadap R= adalah b. Jadi bayangan dari titik P (2,1) yang dirotasikan terhadap R= adalah Tentukan bayangan dari titik P (3,3) yang dirotasikan terhadap titik pusat M (1,1) sejauh . Jawab : Karena dan maka Jadi bayangan dari titik P (3,3) yang dirotasikan terhadap titik pusat M (1,1) adalah Tentukan peta dari garis y = -x + 2 jika dirotasi seperempat putaran. Persamaan rotasi seperempat putaran x' = -y dan y' = x. Maka dari persamaan didapat x = y' dan y = -x' yang selanjutnya disubstitusikan pada persamaan y' = -x' +2 atau –x' = -y' + 2 dengan menghilangkan tanda " aksen" diperoleh -x = -y + 2 atau y = x + 2 yang merupakan peta dari garis y = -x + 2 Refleksi Kita pasti sering bercermin. Ketika bercermin, amatilah diri sendiri. Apakah memiliki bentuk dan ukuran yang sama? Amati pula jarak kita ke cermin. Samakah dengan jarak bayangan kita ke cermin? Dengan bercermin dan menjawab pertanyaan-pertanyaan tersebut, kita akan menemukan beberapa sifat pencerminan. Gambar 5. Dari gambar tersebut, kalian dapat mengatakan bahwa: Lingkaran Q kongruen dengan bayangannya, yaitu lingkaran Q’ Jarak setiap titik pada lingkaran Q ke cermin sama dengan jarak setiap titik bayangannya ke cermin, yaitu QA = Q’A dan PB = P’ B. Sudut yang dibentuk oleh cermin dengan garis yang menghubungkan setiap titik ke bayangannya adalah sudut siku-siku. Refleksi atau pencerminan merupakan suatu transformasi yang mencerminkan suatu objek.
Sifat-sifat refleksi a. Dua refleksi berturut-turut terhadap sebuah garis merupakan suatu identitas, artinya yang direfleksikan tidak berpindah. b. Pengerjaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang sejajar, menghasilkan translasi (pergeseran) dengan sifat: · Jarak bangun asli dengan bangun hasil sama dengan dua kali jarak kedua sumbu pencerminan. · Arah translasi tegak lurus pada kedua sumbu sejajar, dari sumbu pertama ke sumbu kedua. Refleksi terhadap dua sumbu sejajar bersifat tidak komutatif. c. Pengerjaaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus, menghasilkaan rotasi (pemutaran) setengah lingkaran terhadap titik potong dari kedua sumbu pencerminan. Refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus bersifat komutatif. d. Pengerjaan dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang berpotongan akan menghasilkan rotasi (perputaran) yang bersifat:
Contoh : Tentukan bayangan lingkaran jika dicerminkan terhadap garis Persamaan dari pencerminan terhadap garis adalah dan Subtitusikan dan ke persamaan maka diperoleh
Jadi
bayangan dari persamaan lingkaran
adalah Koordinat titik A dan B berturut-turut adalah (-2, 2) dan (1, 4). Garis yang menghubungkan A dan B direfleksikan terhadap sumbu x untuk mendapatkan A’ dan B’. Kemudian A’B’ direfleksikan terhadap garis x= 3 untuk memperoleh A” dan B”. Tentukan koordinat A’, B’, A’, dan B’. Jawab : Dilatasi Adalah suatu transformasi yang mengubah jarak titik-titik dengan faktor skala (pengali) tertentu dipusat dilatasi tertentu. Dilatasi suatu bangun akan mengubah ukuran tanpa mengubah bentuk bangun tersebut. Gambar 6. Perhatikan lingkaran pada Gambar dibawah yang berpusat di titik P(4, 2) dan melalui titik Q(4, 4) berikut yang didilatasi terhadap pusat O(0, 0) dengan faktor skala . Bayangan yang diperoleh adalah lingkaran yang berpusat di titik (2, 1) dan melalui titik (2, 2). Lingkaran ini sebangun dengan lingkaran P dengan ukuran diperkecil. Gambar 7. Atau kita dapat menentukan lingkaran hasil dilatasi ini dengan menggunakan matriks seperti berikut Dengan dilatasi terhadap pusat O(0, 0) dan faktor skala , diperoleh lingkaran dengan titik pusat (2, 1) dan melalui titik (2, 2). Transformasi dilatasi dengan faktor skala sebesar k adalah suatu pemetaan yang didefinisikan sebagai berikut : dimana k adalah bilangan real. Suatu dilatasi dengan faktor skala k dan pusat dilatasi P ditulis : Jika A dengan P (a,b) maka terdapat hubungan : Jika dengan pusat O (0,0) terdapat hubungan : dengan matriks yang sesuai Pada dilatasi faktor k akan menentukan ukuran dan letak bangun bayangannya. 1) Jika k >1, maka bangun bayangan diperbesar dan searah terhadap pusat dan bangun semula. 2) Jika 0 < k < 1, maka bangun bayangan diperkecil dan searah terhadap pusat dan bangun semula. 3) Jika -1< k < 0 , maka bayangan diperkecil dan berlawanan arah dengan pusat dan bangun semula. 4) Jika k < -1, maka bangun bayangan diperbesar dan berlawanan arah terhadap pusat dan bangun semula
Contoh : Diketahui dilatasi dengan pusat (2,1) dan faktor skala 3. Oleh dilatasi tsb tentukan bayangan dari : a. titik A(3,2) dan B(9-4,3) b. garis y-2x+5=0 Jawab : a. b. Subtitusi x dan y tersebut ke y-2x+5=0 sehingga diperoleh ( Jadi bayangan dari garis y-2x+5 = 0 adalah y-2x+9=0. Transformasi Gusuran Gambar 8. Transformasi gusuran adalah suatu transformasi yang menggeser suatu titik menurut arah sumbu X atau sumbu Y, jadi ada 2 macam transformasi gusuran, yaitu: 1. Transformasi gusuran arah sumbu X Matriks transformasi yang bersesuaian adalah dengan faktor skala Titik A ( x, y ) ditransformasikan menjadi ( x' , y' ) dengan : x' = x + qy y' = y 2. Transformasi gusuran dengan arah sumbu Y Matriks transformasi yang bersesuaian adalah dengan faktor skala. Titik A ( x, y ) ditransformasikan menjadi ( x' , y' ) dengan x' = x y' = y + p Contoh : Diketahui titik (2 , -3 ) . Tentukan bayangan titik itu oleh a. gusuran searah sumbu Y dengan faktor skala – 3 b. gusuran searah sumbu X dengan faktor skala 4 Jawab : a. b. Regangan Merupakan suatu transformasi yang memetakan himpunan titik pada bidang ke himpunan titik lainnya dengan cara memperbesar/memperkecil jarak titik-titik itu ke garis tertentu (invariant) . Perbandingan antara jarak titik peta ke garis invariant dengan jarak titik semula ke garis invariant disebut factor regangan. Arah garis yang tegak lurus dengan garis invariant disebut arah regangan. Gambar 9. a. Regangan searah sumbu X Artinya garis searah sumbu Y ( garis invariant) dengan faktor regangan k Matriks transformasi yang bersesuaian Titik A ( x, y ) ditransformasikan menjadi ( x' , y' ) dengan : x' = kx y' = y b. Regangan searah sumbu Y Artinya garis searah sumbu X ( garis invariant) dengan faktor regangan k Matriks transformasi yang bersesuaian Titik A ( x, y ) ditransformasikan menjadi ( x' , y' ) dengan : x' = x y' = k y Contoh : Carilah persamaan bayangan kurva 3x + y = 9 oleh regangan Jawab : Maka sehingga diperoleh Jadi bayangan dari adalah Komposisi transformasi 1. Komposisi dua translasi berurutan Diketahui dua translasi dan . Jika translasi dilanjutkan translasi maka dinotasikan ” ” dan translasi tunggalnya adalah T=T1+T2=T2+T1 (sifat komutatif). 2. Komposisi dua refleksi berurutan a. refleksi berurutan terhadap dua sumbu sejajar Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis x=a dilanjutkan terhadap garis x=b. Maka bayangan akhir A adalah yaitu: x' = 2(b-a) + x y' = y Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis y = a dilanjutkan terhadap garis y = b. Maka bayangan akhir A adalah yaitu: x' = x y'=2(b-a)+y b. refleksi terhadap dua sumbu saling tegak lurus Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis x = a dilanjutkan terhadap garis y=b (dua sumbu yang saling tegak lurus) maka bayangan akhir A adalah sama dengan rotasi titik A(x,y) dengan pusat titik potong dua sumbu (garis) dan sudut putar 180˚ c. refleksi terhadap dua sumbu yang saling berpotongan Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis g dilanjutkan terhadap garis h, maka bayangan akhirnya adalah dengan pusat perpotongan garis g dan h dan sudut putar 2 α (α sudut antara garis g dan h) serta arah putaran dari garis g ke h. Catatan d. sifat komposisi refleksi Komposisi refleksi (refleksi berurutan) pada umumnya tidak komutatif kecuali komposisi refleksi terhadap sumbu x dilanjutkan terhadap sumbu y (dua sumbu yang saling tegak lurus). 3. Rotasi berurutan yang sepusat a. Diketahui rotasi R1(P(a,b),α) dan R2(P(a,b),β), maka transformasi tunggal dari komposisi transformasi rotasi R1 dilanjutkan R2 adalah rotasi R(P(a,b),α+β) b. Rotasi R1 dilanjutkan R2 sama dengan rotasi R2 dilanjutkan R1 4. Komposisi transformasi Diketahui transformasi maka transformasi tunggal dari transformasi: a. T1 dilanjutkan T2 (T2 ◦ T1) adalah T=T2 . T1 b. T2 dilanjutkan T1 (T1 ◦ T2) adalah T=T1 . T2 Catatan T1 . T2 = T2 . T1 5. Bayangan suatu kurva/bangun oleh dua transformasi atau lebih Contoh: Tentukan bayangan garis -4x+y=5 oleh pencerminan terhadap garis y=x dilanjutkan translasi ! Jawab: misal titik P(x,y) pada garis -4x+y=5 P(x,y) dicerminkan terhadap garis y=x, bayangannya P'(y,x) P'(y,x) ditranslasi . Bayangannya P''(y+3, x+2)=P''(x'',y'') Jadi x'' = y +3 → y = x''-3 y'' = x +2 → x = y'' -2 persamaan -4x+y=5 → -4(y'' -2) + (x'' - 3) = 5 -4y'' + 8 + x'' – 3 = 5 x'' - 4y''= 0 jadi bayangan akhirnya adalah x - 4y= 0
Jika suatu bangun (segitiga, lingkaran, dan lain-lain) ditransformasikan maka:
Page 2 |
Bayangan garis y = 5x + 4 oleh rotasi r(o, -90 ) dengan pusat rotasi o(0,0) adalah:
Pos Terkait
Copyright © 2024 ketajaman Inc.
