Jakarta - Persamaan Trigonometri merupakan salah satu materi dalam mata pelajaran matematika yang dipelajari siswa kelas XI SMA/MA/SMK. Agar lebih paham siswa bisa mempelajari contoh soal persamaan trigonometri di bawah ini. Show
Persamaan Trigonometri
Rumus Persamaan Trigonometri
Contoh Soal Persamaan Trigonometri
3x₁ = 60°+ k.360°
3x₂ = -60° + k.360°
Pembahasan:
3) Nilai x di antara 0° dan 360° yang memenuhi persamaan √3 cos x + sin x = √2 adalah...
(x-30°) = ± 45° + k . 360° x1 -30° = 45° + k . 360° atau x1 = 75° + k . 360°
x1 = 75° + 0 . 360° = 75° x2 - 30° = -45° + k . 360° atau x2 = 15° + k. 360° ambil k = 1, x2 = -15° + 1 x 360° = 345°
Simak Video "Momen Jokowi Bertemu Anak-anak Pandai Matematika di Sumut" [Gambas:Video 20detik] (faz/pay) Volume balok satuan bangun diatasBANTU JAWAB ;) Bayangan garis 3x 4y=6 oleh transformasi berturut-turut pencerminan terhadap pusat sumbu x, dilanjutkan rotasi dengan pusat o(0, 0) sejauh 90° adalah… sebuah peta dibuat dengan skala 1:3.000.000. jika jarak kota X dan Y pada peta 7cm. maka jarak sebenarnya kota X dan Y adalah... Tolong Bantu Jawab Yaa,Thankss;) nilai dari 9-13x3+(-23)= A. B.11 C.-53 D.-35 adalah .... 0.5 ml berapa PPM ya kak, mohon dibantu menjawab terimakasih Tolong Bantu, Ya.Terimakasih. 0.5 ml berapa persen MathraraX [ 50+ ] keuntungan seorang pedagang bertambah setiap bulan dengan jumlah yg sama jika keuntungan pada bulan pertama sebesar Rp 46. 000,00 d … tolong ya kakak saya tidak bisa mengerjakannya
You're Reading a Free Preview
Soal yang Akan Dibahas Banyaknya solusi yang memenuhi $ \sec x. \csc x - 3\sec x + 2 \tan x = 0 $ adalah ...... $\spadesuit $ Konsep Dasar *). Rumus dasar trigonometri : $ \sec x = \frac{1}{\cos x} $ , $ \csc x = \frac{1}{\sin x} $ , $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $ *). Persamaan trigonometri : bentuk $ \sin x = \sin \theta $ memiliki solusi : $ x = \theta + 2k\pi \, $ dan $ x = (180^\circ - \theta) + 2k\pi $ dengan $ k $ bilangan bulat.
$\clubsuit $ Pembahasan *). Menyelesaikan soal : $\begin{align} \sec x. \csc x - 3\sec x + 2 \tan x & = 0 \\ \frac{1}{\cos x}. \frac{1}{\sin x} - 3. \frac{1}{\cos x} + 2 . \frac{\sin x}{\cos x} & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(kali } \sin x \cos x) \\ 1 - 3\sin x + 2 \sin ^2 x & = 0 \\ (2\sin x - 1 )(\sin x - 1 ) & = 0 \\ \sin x = \frac{1}{2} \vee \sin x & = 1 \end{align} $ -). Untuk $ \sin x = 1 \rightarrow x = \frac{\pi}{2} $ $ x = \frac{\pi}{2} $ tidak memenuhi syarat karena $ \cos \frac{\pi}{2} = 0 $ sementara pada soal ada bentuk $ \frac{1}{\cos x } = \frac{1}{0} \, $ tidak terdefinisi (tidak boleh per nol). -). Untuk $ \sin x = \frac{1}{2} \rightarrow \sin x = \sin 30^\circ $ memiliki solusi $ x = \theta + 2k\pi \rightarrow x = 30^\circ + 2k\pi \, $ dan $ x = (180^\circ - \theta) + 2k\pi \rightarrow x = 150^\circ + 2k\pi $ *). Dari bentuk $ x = 30^\circ + 2k\pi $ dan $ x = 150^\circ + 2k\pi $, maka solusinya ada sebanyak tak hingga karena $ k $ bisa kita ganti dengan semua bilangan bulat. Namun, pada optionnya tidak ada jawaban sebanyak tak hingga, artinya soal ini masih kurang lengkap, seharusnya $ x $ ada pada interval tertentu, kita misalkan $ 0 \leq x \leq 2\pi $, sehingga solusi yang memenuhi adalah $ x = 30^\circ $ dan $ x = 150^\circ $. Jadi, ada dua solusi yang memenuhi untuk $ 0 \leq x \leq 2\pi . \, \heartsuit $ Artikel Terkait
1. SBMPTN 2017 Saintek 120 Jika x1 dan x2 adalah solusi dari \(\mathrm{sec\,x-2-15\,cos\,x=0}\) dengan 0 ≤ x ≤ π, x ≠ \(\frac{\pi}{2}\), maka \(\mathrm{\frac{1}{cos\,x_{1}\,\cdot\, cos\,x_{2}}=\,...}\) (A) -20 (B) -15 (C) -10 (D) -5 (E) 0
\(\mathrm{\frac{1}{cos\,x}}\) - 2 - 15cos x = 0 (× cos x) 1 - 2cos x - 15cos2x = 0 15cos2x + 2cos x - 1 = 0 Berdasarkan rumus hasil kali akar-akar persamaan kuadrat, maka : cos x1 . cos x2 = \(\frac{c}{a}\) = \(\frac{-1}{15}\) Jadi, \(\mathrm{\frac{1}{cos\,x_{1}\,\cdot\, cos\,x_{2}}}\) = \(\frac{1}{\left ( -\frac{1}{15} \right )}\) = -15Jawaban : B 2. SBMPTN 2017 Saintek 124 Jika x1 dan x2 adalah solusi dari \(\mathrm{\frac{2\,sin\,x\,cos\,2x}{cos\,x\,sin\,2x}-5\,tan\,x+5=0}\), maka tan (x1 + x2) = ... (A) \(-\frac{5}{7}\) (B) \(-\frac{5}{3}\) (C) \(\frac{\sqrt{5}}{7}\) (D) \(\frac{\sqrt{5}}{3}\) (E) \(\frac{5}{3}\)
tan (A + B) = \(\mathrm{\frac{tan\,A\,+\,tan\,B}{1\,-\,tan\,A\,\cdot\,tan\,B}}\) cot 2x = \(\mathrm{\frac{1\,-\,tan^{2}x}{2\,tan\,x}}\) \(\mathrm{\frac{2\,sin\,x\,cos\,2x}{cos\,x\,sin\,2x}}\) - 5tan x + 5 = 0 2tan x . cot 2x - 5tan x + 5 = 0 2tan x . \(\mathrm{\frac{1\,-\,tan^{2}x}{2\,tan\,x}}\) - 5tan x + 5 = 0 1 - tan2x - 5tan x + 5 = 0 tan2x + 5tan x - 6 = 0 (tan x + 6)(tan x - 1) = 0 tan x = -6 atau tan x = 1 Untuk tan x1 = -6 dan tan x2 = 1, maka : tan (x1 + x2) = \(\mathrm{\frac{tan\,x_{1}\,+\,tan\,x_{2}}{1\,-\,tan\,x_{1}\cdot tan\,x_{2}}}\) = \(\frac{-6\,+\,1}{1\,-\,(-6)(1)}\) = \(-\frac{5}{7}\) 3. SBMPTN 2017 Saintek 133 Banyaknya solusi yang memenuhi -2tan x . sec x - 2tan x + 5sin x = 0 dengan 0 < x < π adalah ... (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4Pembahasan : -2tan x . sec x - 2tan x + 5sin x = 0 -2tan x (sec x + 1) + 5sin x = 0 5sin x = 2tanx (sec x + 1) 5sin x = \(\mathrm{\frac{2\,sin\,x}{cos\,x}}\)(sec x + 1) 5 = \(\mathrm{\frac{2}{cos\,x}}\)(sec x + 1) 5cos x = 2(sec x + 1)5cos x = \(\mathrm{\frac{2}{cos\,x}}\) + 2 (× cos x) 5cos2x = 2 + 2cos x 5cos2x - 2cos x - 2 = 0 Dengan menggunakan rumus kuadrat diperoleh cos x = \(\mathrm{\frac{2+\sqrt{44}}{10}}\) atau cos x = \(\mathrm{\frac{2-\sqrt{44}}{10}}\) Selanjutnya, akan diperiksa apakah kedua persamaan diatas mempunyai solusi pada interval 0 < x < π. Jika keduanya mempunyai solusi, artinya persamaan trigonometri diatas mempunyai 2 buah solusi. Untuk interval 0 < x < π, maka -1 < cos x < 1, dapat ditulis |cos x| < 1. Artinya, kedua persamaan diatas akan mempunyai solusi jika memenuhi |cos x| < 1. \(\left | \mathrm{cos\,x} \right |=\left | \frac{2\,+\,\sqrt{44}}{10} \right |<\left | \frac{2\,+\,\sqrt{49}}{10} \right |=\left | \frac{9}{10} \right |<1\) \(\left | \mathrm{cos\,x} \right |=\left | \frac{2\,-\,\sqrt{44}}{10} \right |<\left | \frac{2\,-\,\sqrt{49}}{10} \right |=\left | \frac{-5}{10} \right |<1\) Karena keduanya memenuhi, kita simpulkan bahwa persamaan trigonometri diatas mempunyai 2 buah solusi. Jawaban : C 4. SBMPTN 2017 Saintek 134 Jika \(\mathrm{\frac{2\,tan\,x}{1\,-\,tan^{2}x}-5=0}\), dengan 0 < x < \(\frac{\pi}{2}\) maka \(\mathrm{cos^{2}x-sin^{2}x=...}\) (A) \(\frac{1}{\sqrt{26}}\) (B) \(\frac{2}{\sqrt{26}}\) (C) \(\frac{3}{\sqrt{26}}\) (D) \(\frac{4}{\sqrt{26}}\) (E) \(\frac{5}{\sqrt{26}}\)Pembahasan : Karena tan 2x = \(\mathrm{\frac{2\,tan\,x}{1\,-\,tan^{2}x}}\), akibatnya \(\mathrm{\frac{2\,tan\,x}{1\,-\,tan^{2}x}}\) - 5 = 0 ⇔ tan 2x = 5
Karena cos 2x = cos2x - sin2x, maka cos 2x = cos2x - sin2x = \(\frac{1}{\sqrt{26}}\) Jawaban : A 5. SBMPTN 2017 Saintek 135 Jika x1 dan x2 memenuhi persamaan \(\mathrm{2\,sin\,x+sec\,x-2\,tan\,x-1=0}\), maka nilai \(\mathrm{sin\,x_{1}+cos\,x_{2}}\) yang mungkin adalah ... (A) \(\frac{4}{5}\) (B) \(\frac{3}{4}\) (C) \(\frac{4}{3}\) (D) \(\frac{3}{2}\) (E) 2 Pembahasan : 2sin x + sec x - 2tan x - 1 = 02sin x + \(\mathrm{\frac{1}{cos\,x}}\) - \(\mathrm{\frac{2\,sin\,x}{cos\,x}}\) - 1 = 0 (× cos x) 2sin x . cos x + 1 - 2sin x - cos x = 0 2sin x . cos x - 2sin x - cos x + 1 = 0 2sin x(cos x - 1) - (cos x - 1) = 0 (2sin x - 1)(cos x - 1) = 0 sin x = 1/2 atau cos x = 1Untuk sin x1 = 1/2 dan cos x2 = 1, maka sin x1 + cos x2 = 1/2 + 1 = 3/2 Jawaban : D 6. SBMPTN 2017 Saintek 136 Jika x1 dan x2 adalah solusi dari 2(cot 2x) (cot x) + cot x = 1, maka (cot x1) . (cot x2) = ... (A) -2 (B) -1 (C) 1 (D) 2 (E) 3 Pembahasan : cot 2x = \(\mathrm{\frac{cot^{2}x\,-\,1}{2\,cot\,x}}\) 2(cot 2x) (cot x) + cot x = 1 2 \(\left (\mathrm{\frac{cot^{2}x\,-\,1}{2\,cot\,x}} \right )\)cot x + cot x - 1 = 0 cot2x - 1 + cot x - 1 = 0 cot2x + cot x - 2 = 0 (cot x + 2)(cot x - 1) = 0 cot x = -2 atau cot x = 1 Untuk cot x1 = -2 dan cot x2 = 1, maka (cot x1) . (cot x2) = (-2)(1) = -2 Jawaban : A 7. SBMPTN 2017 Saintek 140 Jika 2sin x + 3cot x - 3csc x = 0, dengan 0 < x < \(\frac{\pi}{2}\), maka sin x . cos x = ... (A) √3 (B) \(\frac{1}{2}\)√3 (C) \(\frac{1}{3}\)√3 (D) \(\frac{1}{4}\)√3 (E) \(\frac{1}{5}\)√3Pembahasan : 2sin x + 3cot x - 3csc x = 02sin x + \(\mathrm{\frac{3\,cos\,x}{sin\,x}}\) - \(\mathrm{\frac{3}{sin\,x}}\) = 0 (× sin x) 2sin2x + 3cos x - 3 = 0 2(1 - cos2x) + 3cos x - 3 = 0 2 - 2cos2x + 3cos x - 3 = 0 2cos2x - 3cos x + 1 = 0 (2cos x - 1)(cos x - 1) = 0 cos x = 1/2 atau cos x = 1 Untuk 0 < x < \(\frac{\pi}{2}\), maka cos x = 1 tidak mempunyai solusi. cos x = 1/2 → sin x = \(\frac{1}{2}\)√3 Jadi, sin x . cos x = \(\frac{1}{2}\)√3 . \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{4}\)√3
8. SBMPTN 2017 Saintek 145 Diketahui persamaan \(\mathrm{sec\,\theta \left ( sec\,\theta (sin\,\theta )^{2}+\frac{2}{3}\sqrt{3}\,sin\,\theta \right )=1}\). Jika θ1 dan θ2 adalah solusi dari persamaan tersebut, maka nilai tan θ1 . tan θ2 = ... (A) -1 (B) -0,5 (C) 0 (D) 0,5 (E) 1 Pembahasan : sec θ (sec θ (sin θ)2 + \(\frac{2}{3}\)√3 sin θ) = 1 (sec θ (sin θ)2 + \(\frac{2}{3}\)√3 sin θ) = \(\mathrm{\frac{1}{sec\,\theta}}\) \(\mathrm{\frac{1}{cos\,\theta}}\) . sin2θ + \(\frac{2}{3}\)√3 sin θ = cos θ (× cos θ) sin2θ + \(\frac{2}{3}\)√3 sin θ . cos θ = cos2θ \(\frac{\sqrt{3}}{3}\). 2sinθ . cos θ = cos2θ - sin2θ \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) . sin 2θ = cos 2θ \(\mathrm{\frac{sin\,2\theta }{cos\,2\theta }}\) = \(\frac{3}{\sqrt{3}}\) tan 2θ = √3 Berdasarkan rumus sudut rangkap, persamaan diatas dapat ditulis menjadi \(\mathrm{\frac{2\,tan\,\theta }{1\,-\,tan^{2}\theta }}\) = √3 2tan θ = √3 - √3 tan2θ √3 tan2θ + 2tan θ - √3 = 0 (√3 tan θ - 1)(tan θ + √3) = 0 tan θ = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) atau tan θ = -√3 Untuk tan θ1 = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) dan tan θ2 = -√3, maka : tan θ1 . tan θ2 = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) . (-√3) = -1 Jawaban : A 9. SBMPTN 2017 Saintek 146 Jika x1 dan x2 adalah solusi dari \(\mathrm{csc^{2}x+3\,csc\,x-10=0}\), dengan \(-\frac{\pi}{2}\) < x < \(\frac{\pi}{2}\), x ≠ 0, maka \(\mathrm{\frac{sin\,x_{1}\,+\,sin\,x_{2}}{sin\,x_{1}\,\cdot\, sin\,x_{2}}=...}\) (A) -1 (B) -2 (C) -3 (D) -4 (E) -5 Pembahasan : csc2x + 3csc x - 10 = 0 (csc x + 5)(csc x - 2) = 0 csc x = -5 atau csc x = 2 csc x = -5 ⇔ sin x = -\(\frac{1}{5}\) csc x = 2 ⇔ sin x = \(\frac{1}{2}\) Untuk sin x1 = -\(\frac{1}{5}\) dan sin x2 = \(\frac{1}{2}\), maka \(\mathrm{\frac{sin\,x_{1}\,+\,sin\,x_{2}}{sin\,x_{1}\,\cdot\, sin\,x_{2}}}\) = \(\frac{-\frac{1}{5}\,+\,\frac{1}{2}}{-\frac{1}{5}\,\cdot \,\frac{1}{2}}\) = \(\frac{\frac{3}{10}}{-\frac{1}{10}}\) = -3Jawaban : C 10. SBMPTN 2017 Saintek 148 Jika cot x ≠ 1, dan cot2x - 6cot x = 1, maka nilai \(\mathrm{\left | sin\,x_{1}\cdot sin\,x_{2} \right |}\) adalah ... (A) \(\frac{1}{\sqrt{10}}\) (B) \(\frac{1}{2\sqrt{10}}\) (C) \(\frac{1}{3\sqrt{10}}\) (D) \(\frac{1}{4\sqrt{10}}\) (E) \(\frac{1}{5\sqrt{10}}\) Pembahasan : Dengan menggunakan rumus kuadrat pada persamaan cot2x - 6cot x - 1 = 0 akan diperoleh : cot x = 3 + √10 atau cot x = 3 - √10
Untuk |sin x1| = \(\frac{1}{\sqrt{20\,+\,6\sqrt{10}}}\) dan |sin x2| = \(\frac{1}{\sqrt{20\,-\,6\sqrt{10}}}\) maka |sin x1 . sin x2| = |sin x1| . |sin x2 | |sin x1 . sin x2| = \(\frac{1}{\sqrt{20\,+\,6\sqrt{10}}}\) . \(\frac{1}{\sqrt{20\,-\,6\sqrt{10}}}\) |sin x1 . sin x2| = \(\frac{1}{\sqrt{\left ( 20\,+\,6\sqrt{10} \right )\left ( 20\,-\,6\sqrt{10} \right )}}\) |sin x1 . sin x2| = \(\frac{1}{\sqrt{400\,-\,360}}\) |sin x1 . sin x2| = \(\frac{1}{\sqrt{40}}\) = \(\frac{1}{2\sqrt{10}}\) 11. SBMPTN 2017 Saintek 155 Jika x1 dan x2 adalah solusi dari \(\mathrm{2\,cot\,x-2\,tan\,x-4\,sin\,x\cdot cos\,x=0}\) untuk 0 < x < \(\frac{\pi}{2}\), maka sin2x1 + sin2x2 = ... (A) \(\frac{1}{2}\) (B) 1 (C) \(\frac{3}{2}\) (D) 2 (E) \(\frac{5}{2}\) Pembahasan : 2cot x - 2tan x - 4sin x . cos x = 0 \(\mathrm{\frac{2\,cos\,x}{sin\,x}}\) - \(\mathrm{\frac{2\,sin\,x}{cos\,x}}\) = 4sin x . cos x \(\mathrm{\frac{2cos^{2}x\,-\,2sin^{2}x}{sin\,x\cdot cos\,x}}\) = 4sin x . cos x2cos2x - 2sin2x = 4(sin x . cos x)2 2(cos2x - sin2x) = (2sin x . cos x)2 2cos 2x = (sin 2x)2 2cos 2x = 1 - (cos 2x)2 (cos 2x)2 + 2cos 2x - 1 = 0 Berdasarkan rumus jumlah akar-akar persamaan kuadrat, maka : cos 2x1 + cos 2x2 = \(\frac{-b}{a}\) = \(\frac{-2}{1}\) = -2 cos 2x1 + cos 2x2 = -2 (1 - 2sin2x1) + (1 - 2sin2x2) = -2 2 - 2sin2x1 - 2sin2x2 = -2 4 = 2sin2x1 + 2sin2x2 2 = sin2x1 + sin2x2 Jawaban :D |