Banyaknya cara yang dapat dibentuk dari 5 orang yang berfoto secara berdampingan adalah

* The preview only shows a few pages of manuals at random. You can get the complete content by filling out the form below.

The preview is currently being created... Please pause for a moment!

KOMBINATORIK (KAIDAH PENCACAHAN) A. Aturan Penjumlahan dan Aturan Perkalian 1. Pengantar a. Pengertian Percobaan, Ruang Sampel, dan Titik Sampel Percobaan atau eksperimen adalah kegiatan yang menghasilkan beberapa kemungkinan kejadian. Ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin pada suatu percobaan. Titik sampel adalah anggota-anggota dari ruang sampel atau kemungkinankemungkinan yang muncul Misal: Percobaan melempar undi 1 dadu Ruang sampel: {1, 2, 3, 4, 5, 6} Titik sampel: 1, 2, 3, 3, 5, dan 6 b. Menyusun Anggota Ruang Sampel Untuk menyusun anggota ruang sampel dapat dapat dilakukan dengan: i. Mendaftar ii. Diagram pohon iii. Tabel Contoh: i. Pada percobaan lempar undi dua buah koin sekaligus satu kali, akan ada yang menjadi koin pertama dan koin kedua. Misalkan koin pertama muncul angka (A) dan koin kedua muncul gambar (G), maka kejadian dari pelemparan tersebut adalah (A, G). Semua hasil yang mungkin terjadi dari percobaan tersebut adalah (A, G), (G, A), (A, A), dan (G, G). Dengan demikian, diperoleh: Ruang sampel : {(A, G), (G, A), (A, A), (G, G)} Titik sampel : (A, G), (G, A), (A, A), dan (G, G) Kejadian : {(A, G)}, {(G, A)}, {(A, A)}, atau {(G, G)} ii. Pada percobaan lempar undi 1 koin dan 1 dadu bersisi enam sekaligus satu kali Kemungkinan kejadiannya adalah munculnya angka (A) atau gambar (G) pada koin dan salah satu mata dadu pada dadu. Misalkan sebuah koin dianggap bagian pertama dan sebuah dadu bersisi 6 bagian kedua, maka diperoleh: A 1  A,1 2  A,2 3  A,3 G 4  A,4 5  A,5 6  A,6 1  G,1 2  G,2 3  G,3 4  G,4 5  G,5 6  G,6 Ruang Sampel (S): {(A,1), (A,2), (A,3), (A,4), (A,5), (A,6), (G,1), (G,2), (G,3), (G,4), (G,5), (G,6)} iii. Pada percobaan lempar undi 2 dadu bersisi enam sekaligus satu kali. Pada masing-masing dadu ada 6 kemungkinan kejadian yang muncul yaitu 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. Untuk menyusun ruang sampelnya dapat dibuat dalam tabel berikut Dadu 1 1 2 3 4 5 6 Dadu 2 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) Ruang Sampel (S): {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} 2. Aturan Penjumlahan Konsep aturan penjumlahan: Pada suatu percobaan, diketahui kejadian pertama mempunyai m hasil yang mungkin dan kejadian kedua mempunyai n hasil yang mungkin. Jika salah satu dari dua kejadian tersebut harus terjadi, maka banyaknya hasil yang mungkin adalah (m + n ). Catatan: Aturan penjumlahan biasanya digunakan untuk beberapa kejadian yang “tidak sekaligus terjadi”, artinya yang terjadi hanya salah satunya, atau dapat dikatakan pilihan, dan biasanya menggunakan kata penghubung “atau” Contoh 1: Andi, Budi, dan Caca adalah teman sekelas. Rumah Budi terletak di antara runah Caca, dan Andi. Dari rumah Budi ke rumah Andi ada 3 jalan yang bisa dilewati dan dari rumah Budi ke rumah Caca ada 5 jalan yang dilewati. Perhatikan gambar berikut. Suatu hari Budi tidak masuk sekolah. Ia harus ke rumah Andi atau Caca untuk meminjam catatan. a. Sebutkan jalan yang dapat dilewati Budi untuk meminjam catatan? b. Berapa banyak jalan yang dapat dilewati Budi untuk meminjam catatan? Penyelesaian: a. Jalan yang dilewati Budi: a, b, c, 1, 2, 3, 4, 5 b. Banyak jalan yang dilewati Budi = banyak jalan ke rumah andi + banyak jalan ke rumah Caca = 3 + 5 = 8 Contoh 2: Pak Karta mempunyai 3 sepeda yang berbeda, 2 sepeda motor yang berbeda, dan 2 mobil yang berbeda di rumahnya. Jika Pak Karta akan bepergian, ada berapa cara Pak Karta menggunakan kendaraan yang ada di rumahnya? Penyelesaian: Pada kasus ini ada 3 pilihan kendaraan yang dapat digunakan Pak Karta. Tetapi Pak Karta tidak mungkin mengendarai semua kendaraan tersebut sekaligus, artinya Pak Karta harus memilih salah satu kendaraan saja. Sehingga kita dapat menggunakan aturan penjumlahan dalam kasus ini. Banyak cara menggunakan kendaaraan = 3 + 2 + 2 = 7 cara Jadi, ada 7 pilihan kendaraan yang dapat digunakan Pak Karta 3. Aturan Perkalian Konsep aturan perkalian: Pada suatu percobaan, diketahui kejadian pertama mempunyai m hasil yang mungkin dan kejadian kedua mempunyai n hasil yang mungkin. Jika dua kejadian tersebut dua-duanya harus terjadi, maka banyaknya hasil yang mungkin adalah (mn). Catatan: Atura perkalian biasanya digunakan untuk beberapa kejadian yang semuanya“sekaligus terjadi”, dan biasanya menggunakan kata penghubung “dan” Contoh 1: Dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 akan dibentuk menjadi bilangan ribuan. Tentukan banyaknya bilangan ribuan yang dapat dibentuk. Penyelesian: i. Angka yang dapat menempati nilai tempat ribuan ada 6, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6. Sehingga ada 6 cara untuk mengisi nilai tempat ribuan. ii. Angka yang dapat menempati nilai tempat ratusan ada 7, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 Sehingga ada 7 cara untuk mengisi nilai tempat ratusan. iii. Angka yang dapat menempati nilai tempat puluhan ada 7, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 Sehingga ada 7 cara untuk mengisi nilai tempat puluhan. iv. Angka yang dapat menempati nilai tempat satuan ada 7, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 Sehingga ada 7 cara untuk mengisi nilai tempat satuan. Sehingga dapat disusun cara sebagai berikut: Ribuan Ratusan Puluhan 6 cara 7 cara 7 cara Satuan 7 cara Banyak bilangan ribuan yang dapat dibentuk: 6 x 7 x 7 x 7 = 2058 Contoh 2: Untuk menuju kota D dari kota A harus melalui kota B atau kota C. Dari kota A ke kota B ada 2 jalur, dan dari kota B ke kota D ada 3 jalur. Dari kota A ke kota C ada 1 jakur dan dari kota C ke kota D ada 4 jalur. Dengan berapa jalur Ani dapat pergi dari kota A ke kota D? Penyelesaian: • Banyak jalur dari kota A ke kota D melalui kota B = 2 x 3 = 6 • Banyak jalur dari kota A ke kota D melalui kota C: 1 x 4 = 4 • Banyak jalur dari kota A ke kota D = 6 + 4 = 10 Jadi banyaknya jalur yang dapat dilalui Ani dari kota A ke kota D adalah 10 jalur Soal Latihan: 1. Pada suatu kelas terdiri dari 24 siswa perempuan dan 16 siswa laki-laki. Akan dipilih 1 siswa untuk mengikuti suatu lomba. Tentukan banyaknya cara untuk memilih siswa tersebut. 2. Seseorang ingin membuat plat nomor kendaraan yang terdiri dari 4 angka, yang dipilih dari angka 1, 2, 3, 4, dan 5. a. Tentukan banyaknya plat nomor yang dapat dibuat jika angka-angka dalam plat tersebut tidak ada yang sama. b. Tentukan banyaknya plat nomor yang dapat dibuat jika angka-angka dalam plat tersebut boleh ada angka yang sama. 3. Bilangan genap tiga angka berbeda akan disusun dari angka 2, 3, 4, 5, 7, dan 9. a. Tentukan banyaknya bilangan yang disusun, yang kurang dari 500 b. Tentukan banyaknya semua bilangan yang dapat disusun. B. Pemutasi dan Kombinasi 1. Faktorial Definisi faktorial. a. Jika n bilangan asli, faktorial dari n dinotasikan dengan n!, didefinisikan: n!= n  (n − 1)  (n − 2)  (n − 3)  ...  3  2  1 Atau n!= 1 2  3  ...  (n − 3)  (n − 2)  (n − 1)  n Misal : • 4!= 4  3  2  1 = 24 • 8!= 8  7  6  5  4  3  2 1 = 40320 Dari definisi n!= n  (n − 1)  (n − 2)  (n − 3)  ...  3  2  1 dapat diturunkan sifat-sifat: i. n!= n  (n − 1)! ii. n!= n  (n − 1)  (n − 2)! iii. n!= n  (n − 1)  (n − 2)  (n − 3)! iv. dan seterusnya. Misal: • 4!= 4  3!= 4  3  2! • 8!= 8  7!= 8  7  6!= 8  7  6  5!= 8  7  6  5  4! b. Jika n = 0, maka n! = 0! = 1 Contoh 1: Hitung hasil dari: a. 3!+4! b. 7! 3! Penyelesaian: a. 3!+4!= (3  2  1) + (4  3  2  1) = 6 + 24 = 30 b. 7! 7  6  5  4  3  2  1 = = 7  6  5  4 = 840 3! 3  2 1 Contoh 2: Sederhanakan bentuk berikut: n! (n − 1)! a. b. (n − 2)! (n + 1)! Penyelesaian: n! n  (n − 1)  (n − 2)! a. = = n  (n − 1) = n 2 − n (n − 2)! (n − 2)! b. (n − 1)! (n − 1)! (n − 1)! 1 1 = = = = 2 (n + 1)! (n + 1)  (n + 1 − 1)  (n + 1 − 2)! (n + 1)  n  (n − 1)! (n + 1)  n n + n Contoh 3: Nyatakan dalam bentuk faktorial. 13 12 11 a. b. n  (n − 1)  (n − 2)      (n − (r − 1)) 5  4  3  2 1 Penyelesaian: 13 12 11 13 12 11 10! 13! a. =  = 5  4  3  2 1 5  4  3  2 1 10! 5!10! b. n  (n − 1)  (n − 2)      (n − (r − 1)) = n  (n − 1)  (n − 2)      (n − r + 1) = n  (n − 1)  (n − 2)      (n − r + 1)  (n − r )! (n − r )! n  (n − 1)  (n − 2)      (n − r + 1)  (n − r )! (n − r )! n! = (n − r )! = Contoh 4: Tentukan nilai n yang memenuhi (n − 1)! = 10 . (n − 2)! Penyelesaian: (n − 1)! (n − 1)  (n − 2)! = 10  = 10  (n − 1) = 10  n = 11 (n − 2)! (n − 2)! 2. Permutasi a. Definisi permutasi Permutasi dari sekumpulan unsur yang berbeda adalah cara penyusunan unsurunsur tersebut dengan memperhatikan urutannya. b. Permutasi r unsur yang disusun dari n unsur yang berbeda Permutasi r unsur yang disusun dari n unsur yang berbeda, dengan 0  r  n adalah banyak susunan berbeda dari r unsur yang diambil dari n unsur berbeda dengan memperhatikan urutannya. Permutasi r unsur yang disusun dari n unsur yang berbeda, dengan 0  r  n , n bilangan asli., dinotasikan dengan n Pr atau P(n, r ) atau Prn atau Pn ,r dan dirumuskan: n Pr = n! (n − r )! Jika r = n maka berlaku: n Pr = n Pn n! n! n! = = = n! (n − n)! 0! 1 Contoh 1: Dari 8 siswa dalam suatu kelas akan dipilih menjadi pengurus kelas, yang terdiri dari seorang ketua, seorang sekretaris dan seorang bendahara. Jabatan pengurus kelas tidak boleh rangkap. Tentukan banyaknya susunan pengurus kelas yang terbentuk. Penyelesaian: Dari 8 orang dipilih 3 orang dengan memperhatikan urutan (ketua, sekretaris, bendahara) merupakan permutasi 3 unsur dari 8 unsur yang tersedia. Sehingga, banyak susunan pengurus kelas = 8 P3 8! 8! = (8 − 3)! 5! 8  7  6  5! = 5! = 8  7  6 = 336 Jadi, banyak susunan pengurus kelas adalah 336. = Contoh 2: Pak Andi, Bu Andi dan keempat anaknya akan berfoto duduk berjajar dalam satu baris. Pak Andi, Bu Andi, dan anak bungsunya selalu duduk berdampingan. Tentukan banyaknya posisi berfoto berbeda yang dapat dilakukan. Penyelesaian: Misalkan empat anak Pak Andi adalah A, B, C, dan D sebagai anak bungsu. Pak Andi, Bu Andi, dan D selalu duduk berdampingan, berarti dianggap 1 unsur. Misal unsur tersebut adalah X. • Banyak cara duduk Pak Andi, Bu Andi, dan D = 3 P3 • Banyak cara duduk A, B, C, dan X = 4 P4 • Banyak posisi berfoto = 4 P4 3 P3 = 4!3!= 24  6 = 144 Jadi banyak posisi berfoto berbeda yang dapat dilakukan adalah 144. Contoh 3: Diketahui 2 truk dan 5 bis akan diparkir pada 5 tempat parkir yang memanjang. Tentukan banyaknya susunan parkir berbeda, jika kedua truk tidak boleh bersebelahan. Penyelesaian: Langkah-langkah: • Banyak susunan parkir 5 mobil secara bebas: 5 P5 = 5!= 5  4  3  2  1 = 120 c. • • Banyak posisi parkir 2 truk selalu berdekatan = 2! Posisi parkir 2 truk selalu berdekatan, berarti 2 truk dianggap 1 unsur. sehingga Banyak susunan parkir truk dan bus, dengan posisi parkir 2 truk selalu berdekatan adalah: 2!4 P4 = 2!4!= 2  4  3  2 1 = 48 • Banyak susunan parkir truk dan bus, dengan posisi truk tidak bersebelahan adalah: 120 – 48 = 72 Permutasi dengan beberapa unsur yang sama Permutasi dari n unsur yang tersedia yang memuat k1 unsur yang sama dari jenis ke-1, k 2 unsur yang sama dari jenis ke-2, k 3 unsur yang sama dari jenis ke-3, . . . , k r unsur yang sama dari jenis ke-r (k1 + k 2 + k 3 + ... + k r  n) , dirumuskan: P= Pn n! = k1!k 2 !k 3 !... k r ! k1 Pk1  k 2 Pk 2  k3 Pk3  ... k r Pk r n Contoh 1: Tentukan banyaknya susunan huruf yang dibentuk dari kata “MATEMATIKA”. Penyelesaian: • n = 10 • Menentukan unsur yang sama Misal k1 adalah banyak huruf M, maka k1 = 2 k 2 adalah banyak huruf A, maka k 2 = 3 k 3 adalah banyak huruf T, maka k 3 = 2 • Banyak susunan huruf yang dibentuk: n! 10! P= = k1!k 2 !k 3 ! 2!3!2! 10  9  8  7  6  5  4  3  2 1 = 151200 2 6 2 • Jadi, banyaknya susunan huruf yang dapat dibentuk adalah 151200 = Contoh 2: Sari mempunyai 3 buku Fisika, 2 buku Matematika, dan 4 buku Biologi. Ia akan menyusun buku-buku tersebut secara berjajar pada suatu rak . Tentukan banyaknya cara Sari dapat menyusun buku-buku tersebut berdasarkan jenisnya. Penyelesaian: • n=3+2+4=8 • Menentukan unsur yang sama Misal k1 adalah banyak buku Fisika, maka k1 = 3 k 2 adalah banyak buku Matematika, maka k 2 = 2 k 3 adalah banyak buku Biologi, maka k 3 = 4 • Banyak cara menyusun buku: P = = n! 9! = k1!k 2 !k 3 ! 3!2!4! 9  8  7  6  5  4! 9  8  7  6  5 = = 1260 6  2  4! 6 2 • Jadi, banyaknya cara yang dapat dilakukan Sari dalam menyusun buku-buku tersebut adalah 1260 cara. d. Permutasi siklis Permutasi siklis adalah susunan terurut unsur-unsur yang membentuk lingkaran (kurva tertutup). Misal permutasi siklis 3 unsur A – B – C Secara umum, Permutasi Siklis n unsur (n bilangan asli) dirumuskan: Psiklis = (n − 1)! Contoh: Gambar di samping menunjukkan denah meja dan kursi yang akan digunakan untuk rapat. Rapat tersebut akan diikuti 8 orang. Tentukan banyaknya cara ke 8 orang tersebut dapat menduduki kursi. Penyelesaian: 8 orang duduk mengelilingi meja, berarti terdapat permutasi siklis 8 unsur. Cara menduduki kursi dari ke 8 orang tersebut = Psiklis = (8 − 1)! = 7! = 7  6  5  4  3  2 1 = 5040 Contoh 2: Satu keluarga terdiri dari ayah, ibu, dan 4 orang anaknya makan bersama dan duduk mengelilingi meja makan. Tentukan banyaknya cara yang berbeda saat mereka duduk, jika: a. Ayah dan ibu selalu berdampingan. b. Ayah, ibu, dan anak bungsu selalu berdampingan. Penyelesaian: a. Banyaknya anggota keluarga adalah 6 orang. Ayah dan ibu selalu berdampingan, sehingga pasangan ini dianggap 1. Sehingga terdapat 5 unsur yang akan disusun siklis. Akan tetapi, posisi ayah ibu dapat disusun = 2 P2 = 2!= 2 cara. Sehingga banyaknya cara duduk keluarga tersebut dengan posisi ayah ibu selalu berdampingan adalah: (5 − 1)!2!= 4!2!= 24  2 = 48 Jadi, banyaknya cara duduk keluarga tersebut dengan ayah ibu selalu berdampingan 48 cara. b. Banyaknya anggota keluarga adalah 6 orang. Ayah, ibu, dan anak bungsu selalu berdampingan, sehingga 3 orang ini dianggap 1. Sehingga terdapat 4 unsur yang akan disusun siklis. Akan tetapi, posisi ayah, ibu, dan anak bungsu dapat disusun = 3 P3 = 3! cara. Sehingga banyaknya cara duduk keluarga tersebut dengan posisi ayah, ibu, dan anak bungsu selalu berdampingan adalah: (4 − 1)!3!= 3!3!= 6  6 = 36 Jadi, banyaknya cara duduk keluarga tersebut dengan ayah, ibu, dan anak bungsu selalu berdampingan 36 cara. 3. Kombinasi a. Definisi Kombinasi dari sekumpulan unsur yang berbeda adalah cara penyusunan unsurunsur tersebut tanpa memperhatikan urutannya. b. Kombinasi r unsur dari n unsur berbeda Kombinasi r unsur dari n unsur berbeda (r  n) banyak susunan berbeda dari r unsur yang diambil dari n unsur berbeda tanpa memperhatikan urutan. Kombinasi r unsur dari n unsur berbeda (r  n) dengan n dan r bilangan asli dinotasikan dengan n C r atau C rn atau C (n, r ) atau C n ,r , dan dirumuskan: n Cr = n! (n − r )!r! Hubungan permutasi dan kombinasi n Pr = n Cr  r! Atau n Cr = n Pr r! Contoh 1: Dari 5 orang siswa dalam suatu kelas akan dipilih 3 orang sebagai pengurus kelas. Tentukan banyak cara memilih pengurus kelas tersebut. Penyelesaian: Dalam hal ini urutan diabaikan, berarti kombinasi 3 unsur dari 5 unsur. Sehingga, banyak cara memilih pengurus kelas adalah: 5! 5! 5  4  3! 5  4 = = = = 10 5 C3 = (5 − 3)!3! 2!3! 2!3! 2 Jadi banyak cara memilih pengurus kelas adalah 10 cara. Contoh 2: Seorang peternak akan membeli 2 sapi, 2 kerbau, dan 3 kambing kepada seorang pedagang hewan ternak. Pedangang tersebut mempunyai 4 sapi, 3 kerbau, dan 6 kambing. Tentukan banyak cara peternak tersebut dalam memilih hewan ternak yang akan dibelinya. Penyelesaian: Akan dipilih 2 sapi, 2 kerbau, dan 3 kambing dari 4 sapi, 3 kerbau, dan 6 kambing. Langkah-langkah: • Menghitung banyak cara memilih 2 sapi dari 4 sapi, yaitu: 4! 4! 4! 4  3  2! 4  3 = = = = =6 4 C2 = (4 − 2)!2! 2!2! 2!2! 2!2! 2 • Menghitung banyak cara memilih 2 kerbau dari 3 kerbau, yaitu: 3! 3! 3! 3  2! = = = =3 3 C2 = (3 − 2)!2! 1!2! 2! 2! • Menghitung banyak cara memilih 3 kambing dari 6 kambing, yaitu: 6! 6! 6  5  4  3! 6  5  4 6  5  4 = = = = = 20 6 C3 = (6 − 3)!3! 3!3! 3!!3! 3! 3  2 1 • Banyak cara memilih 2 sapi, 2 kerbau, dan 3 kambing adalah: 4 C 2  3 C 2  6 C 2 = 6  3  20 = 360 Jadi, banyak cara memilih 2 sapi, 2 kerbau, dan 3 kambing adalah 360 cara. Contoh 3: Seorang siswa diminta mengerjakan 10 soal dari 12 soal yang tersedia. Jika soal nomor 1 sampai 5 wajib dikerjakan, tentukan banyak pilihan bagi siswa tersebut untuk mengerjakan soal. Penyelesaian: Karena soal nomor 1 sampai 5 wajib dikerjakan, maka pilihan siswa tersisa 7 soal. Dari 7 soal tersebut siswa memilih 5 soal lagi, agar soal yang dikerjakan sama dengan 10. Dengan demikian siswa memilih 5 soal dari 7 soal. Banyak cara siswa memilih 5 soal dari 7 soal, adalah 7! 7! 7  6  5! 7  6 7  6 = = = = = 21 7 C5 = (7 − 5)!5! 2!5! 2!5! 2! 2 Jadi, banyaknya pilihan bagi siswa dalam mengerjakan soal adalah 21. Soal Latihan: 3. n  (n − 1)  (n − 2)  (n − 3) dalam faktorial 1 2  3  4 (n + 2)! Tentukan nilai n yang memenuhi = 42 n! Tentukan nilai n dari persamaan P(n + 1,3) = P(n,4) . 4. Tentukan nilai n dari persamaan P(n − 1,2) = 20 . 5. Empat orang A, B, C, dan D akan berfoto secara berdampingan. Tentukan banyaknya susunan keempat orang tersebut berfoto, jika A dan B selalu berdampingan. Suatu tim terdiri atas 5 orang laki-laki dan 6 orang perempuan. Pada suatu kegiatan setiap tim harus mengirim 3 orang anggotanya. Dari ketiga anggota yang mewakili tim tersebut, minimal terdapat 1 orang perempuan. Tentukan banyaknya cara memilih anggota tim tersebut untuk mengikuti kegiatan. 1. 2. 6.

Nyatakan