Volume da esfera exercícios resolvidos

Confira aqui vários exercícios resolvidos sobre esfera, todos retirados dos últimos concursos públicos realizados pelo Brasil.

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Quais são os elementos da esfera?
Qual é a área da esfera?
Qual é o volume a esfera?
Videoaula sobre volume da esfera
Quais são as partes da esfera?
Exercícios resolvidos sobre esfera

Não deixe de ver também nossos exercícios resolvidos sobre os outros sólidos geométricos.

Bom estudo!

Questão 1 (CEMIG). O volume de uma esfera de raio r é (4/3).π.r³. Se um balão esférico é inflado até que o seu raio seja quadruplicado, então o seu volume é aumentado pelo fator:

a) 1024

b) 256

c) 64

d) 164

Resolução

Nota-se que a fórmula matemática utilizada para o cálculo do volume de uma esfera está em função apenas de r.

Como o raio será quadruplicado, veja o que vai acontecer quando elevamos ao cubo:

(4r)³ = 4³.r³ = 64.r³

Daí, quando o raio de uma esfera é quadruplicado, o volume passa a ser 64 vezes maior que o inicial.

Resposta: C

Questão 2 (FCC). Uma pessoa fez quatro cortes paralelos igualmente espaçados em uma laranja esférica, dividindo-a nas cinco partes indicadas na figura.

Em relação a essa divisão, é correto afirmar que

a) todas as partes obtidas têm o mesmo volume.

b) a parte III é a de maior volume.

c) o volume da parte I é maior do que o volume da parte II.

d) não foram obtidas duas partes com o mesmo volume.

e) a soma dos volumes das partes IV e V é menor do que a soma dos volumes das partes I e II.

Resolução

Como os cortes foram paralelos e igualmente espaçados, a parte que possuirá o maior volume será a que possui o maior raio. Nesta caso, a região de maior volume é a III.

Resposta: B

Questão 3 (AMEOSC). Pretende-se encher uma bexiga até que ela atinja 20 cm de diâmetro. Considere que essa bexiga é esférica. Quantos litros de água serão necessários?

a) 4,2 litros.

b) 3,8 litros.

c) 3,1 litros.

d) 2,5 litros.

Resolução

Para resolvermos a questão, é necessário sabermos que um litro de água enche uma esfera de volume igual a 1 dm³.

Desta forma, consideraremos que o diâmetro deve atingir 2 dm, e o raio 1 dm.

Calculando o volume da esfera:

V = (4/3) . π . r³

V = (4/3) . 3,14 . 1³

V = (4/3) . 3,14 . 1

V = 4,19 dm³

Daí, são necessários, aproximadamente 4,2 litros.

Resposta: A

Questão 4 (Funcab). O único sólido geométrico que NÃO pode ser planificado é o(a):

a) paralelepípedo

b) pirâmide

c) esfera

d) cilindro

e) cone

Resolução

Em nossas publicações, vimos que o paralelepípedo, a pirâmide, o cilindro e o cone podem ser planificados. O único sólido dentre as opções que não pode ser planificado é a esfera. Um exercício interessante que o aluno pode fazer caso tenha dúvida, é descascar uma laranja e tentar colocar todas as cascas no plano.

Resposta: C

Exercício 5 (Funcab). No ensino de geometria, nas séries iniciais, tem sua importância social o reconhecimento do universo tridimensional. Pensando nisso, uma professora levou para uma de suas aulas os objetos abaixo:

I. Uma caixa de sapato (paralelepípedo).

II. Uma lata de leite em pó (cilindro).

III. Uma bola de futebol (esfera).

Os sólidos acima são, respectivamente:

a) poliedro, sólido de revolução e poliedro.

b) sólido de revolução, poliedro e poliedro.

c) sólido de revolução, sólido de revolução e poliedro.

d) poliedro, sólido de revolução e sólido de revolução.

e) sólido de revolução, sólido de revolução e sólido de revolução.

Resolução

I – o paralelepípedo é um tipo de poliedro, que é um sólido geométrico de três dimensões, cuja superfície é formada por um número finito de superfícies planas.

II – um cilindro reto é um sólido de revolução, gerado pela rotação de um retângulo em torno de um de seus lados.

III – uma esfera é um sólido de revolução gerado pela rotação de um semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro.

Resposta: D

Exercício 6 (IGETEC). O hexaedro regular que inscreve a esfera de volume 9π/2 cm³, tem a medida da diagonal, em centímetros, igual a:

a) 2,7

b) √3

c) 3√3

d) 3

Resolução

O hexaedro regular é o objeto que conhecemos como cubo.

Quando a questão informa que o cubo “inscreve a esfera”, ela quer dizer que a esfera está dentro do cubo. Desta forma, se o raio da circunferência mede r, cada aresta do cubo medirá 2r. Veja:

Como sabemos o volume da esfera, vamos utilizar a fórmula do volume para calcularmos a medida do raio r.

V = (4/3).π.r³

9π/2 = (4/3).π.r³

9/2 = (4/3).r³

r³.(4/3) = 9/2

r³ = (9/2).(3/4)

r³ = 27/8

r = 3/2 cm

Daí, concluímos que o raio mede 3/2 cm e as arestas do cubo medem 3 cm.

Utilizando a fórmula matemática que calcula a diagonal do cubo:

D = a.√3

D = 3.√3

Resposta: C

Gostou dos nossos exercícios resolvidos sobre a esfera?

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A esfera é um sólido geométrico estudado na geometria espacial, sendo definida como o conjunto de pontos que está a uma mesma distância do raio. Devido à sua forma arredondada, ela é classificada como um corpo redondo ou sólido de revolução. Para calcular a área da superfície e o volume da esfera, utilizamos fórmulas específicas.

Existem nomes específicos para partes da esfera, como a cunha e o fuso, além dos meridianos, paralelos, entre outros. Os elementos mais importantes da esfera são o centro e o raio.

Leia também: Quais as principais diferenças entre figuras planas e figuras espaciais?

Quais são os elementos da esfera?

Chamamos de esfera o sólido geométrico formado por todos os pontos que estão a uma mesma distância do centro. Essa distância é conhecida como raio, e o centro é representado por um ponto, geralmente ponto C, de centro, ou O, de origem; porém, podemos utilizar qualquer letra para descrever esse ponto.

Além do raio e da origem, existem outros elementos da esfera: os polos, os paralelos e os meridianos.

Conhecemos como polo da esfera o ponto de encontro da esfera com o eixo central, tanto na parte superior da esfera quanto na parte inferior.

Os meridianos são as circunferências obtidas quando interceptamos a esfera por um plano na vertical.

Conhecemos como paralelos as circunferências que podemos formar na esfera quando a interceptamos por um plano horizontal:

Veja também: Planificação de sólidos geométricos — representação da superfície do sólido no plano

Qual é a área da esfera?

Chamamos de superfície da esfera a região que limita a esfera, ou seja, os pontos que estão exatamente a uma distância r do centro. Calculamos a superfície de sólidos geométricos para saber a área da superfície desse sólido. Para calcular a área da superfície da esfera, basta utilizar a fórmula:

Exemplo:

Uma fábrica produz bolas de leite com um peso de 60 gramas. Sabendo que o raio dessa esfera possui 11 centímetros, qual é a área da superfície dessa bola? Use π = 3,1.

AS = 4 π r²

AS = 4 · 3,1 · 11²

AS = 4 · 3,1 · 121

AS = 12,4 · 121

AS = 1500,4 cm²

Qual é o volume a esfera?

Calculamos o volume da esfera para saber qual é a sua capacidade. Para isso, utilizamos a fórmula:

Exemplo:

Em uma indústria farmacológica, um dos ingredientes é obtido utilizando a evaporação, e o gás é armazenado em um recipiente esférico que possui raio de 1,2 metro. Considerando π = 3, o volume de gás que esse balão pode armazenar é de?

Videoaula sobre volume da esfera

Quais são as partes da esfera?

Quando dividimos a esfera, essas partes recebem nomes específicos, e as principais são o hemisfério, a cunha e o fuso.

Conhecemos como hemisfério ou semiesfera o sólido geométrico formado por metade de uma esfera.

Conhecemos como fuso a região formada por parte da superfície de uma esfera, como na imagem a seguir:

Chamamos de cunha o sólido geométrico formado com parte da esfera, como na imagem a seguir:

Veja também: Circunferência e círculo: definições e diferenças básicas

Exercícios resolvidos sobre esfera

Questão 1 - (Quadrix) Em um centro gastronômico da cidade de Corumbá, a massa para a preparação de um delicioso brigadeiro é feita em panelas cilíndricas, com 16 cm de altura e 20 cm de diâmetro, e não há nenhum desperdício de material. Todos os brigadeiros produzidos são perfeitamente esféricos, com raio igual a 2 cm.

Nesse caso hipotético, com uma panela completamente cheia de massa para brigadeiro, será possível produzir:

A) 150 doces.

B) 140 doces.

C) 130 doces.

D) 120 doces.

E) 110 doces.

Resolução

Alternativa A.

Primeiro é necessário calcular o volume do cilindro e o volume de cada brigadeiro, que possui formato de esfera. Depois, basta calcular a divisão entre eles.

Note que o diâmetro é 20 cm, logo o raio é 10 cm.

Vcilíndro = πr² · h

Vcilíndro = π · 10² · 16

Vcilíndro = π · 100 · 16

Vcilíndro = 1600π

Agora calculando o volume de cada brigadeiro, temos que:

Agora calculando a divisão entre o volume do cilindro e o volume da esfera, encontramos a quantidade de doces que podem ser produzidos:

Questão 2 - (Unitau) Aumentando em 10% o raio de uma esfera, a sua superfície aumentará:

A) 21%.

B) 11%.

C) 31%.

D) 24%.