Qual é a representação algébrica da reta cujo gráfico está indicada no plano cartesiano seguinte

O plano cartesiano é formado por duas retas reais perpendiculares, ou seja, o ângulo entre elas é de 90°. Essas retas determinam um único plano, que é denominado com sistema ortogonal de coordenadas cartesianas ou somente plano cartesiano.

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Para que serve um plano cartesiano?
Como se faz um plano cartesiano?
Ponto em um plano cartesiano
Exercícios resolvidos
Qual é a equação reduzida da reta?
Coeficiente linear
Passo a passo de como calcular a equação reduzida da reta
Representação gráfica da reta
Exercícios resolvidos

No ano de 1637, René Descartes teve a brilhante ideia de relacionar álgebra e geometria, dando início à conhecida geometria analítica, método que possibilita descrever a geometria utilizando uma menor quantidade de diagramas e desenhos. Apesar de os créditos dessa descoberta serem dados a Descartes, Pierre de Fermat já conhecia e utilizava alguns conceitos de geometria analítica, logo o plano cartesiano.

Veja também: Ângulos formados entre duas retas

Para que serve um plano cartesiano?

Plano cartesiano formado pelos eixos x e y.

O plano cartesiano é um sistema de coordenadas desenvolvido por René Descartes. Esse sistema de coordenadas é formado por duas retas perpendiculares, chamadas de eixos cartesianos. Esses eixos determinam um único plano, assim, é possível determinar a localização no sistema de coordenadas de todo os pontos e, consequentemente, de qualquer objeto formado por esses pontos que estejam nesse plano.

Desse modo, perceba que é possível representar pontos ou objetos utilizando somente suas coordenadas, isto é, não é necessário construir um desenho de um objeto, basta somente expressar suas coordenadas.

Muitos problemas da Matemática só puderam ser resolvidos graças a essa concepção, como para calcular a distância entre dois pontos ou calcular a área de um triângulo. Esses assuntos são a base da geometria analítica, que é, por sua vez, a base para desenvolver o cálculo diferencial e integral.

Como se faz um plano cartesiano?

O plano cartesiano é formado por duas retas reais em que o ângulo entre elas é de 90°, ou seja, elas são perpendiculares. Essas retas são chamadas de eixos. Assim, há o eixo horizontal, que é chamado de eixo das abscissas, e o eixo vertical, que é o eixo das ordenadas.

Perceba que as retas perpendiculares dividem o plano em quatro regiões, que são chamadas de quadrantes – isso porque as duas retas perpendiculares dividem o plano em quatro regiões.

Vamos representar os quadrantes no sentido anti-horário. Veja:

Note as relações entre os valores dos eixos x (abscissas) e y (ordenadas). No 2º quadrante, o valor da abscissa é sempre menor que o valor da ordenada, ou seja, x < y. No 4º quadrante, o valor da abscissa é sempre maior que o valor da ordenada, assim, x > y.

Nos quadrantes ímpares, 1º e 3º, já não podemos afirmar alguma relação, pois neles podemos ter abscissas maiores, menores ou iguais aos valores das ordenadas.

Leia também: Demonstração das fórmulas das coordenadas do vértice

Ponto em um plano cartesiano

Um ponto qualquer do plano cartesiano é indicado a partir de suas coordenadas, que são representadas por um par ordenado, ou seja, um ponto é formado por um conjunto de dois números que possui uma ordem a ser seguida (ordenado). A notação do par ordenado ou ponto P é:

P (x, y)

x → à Abscissa

y → à Ordenada

Assim, para localizar um ponto, basta marcar o valor no eixo das abscissas e, em seguida, o valor no eixo das ordenadas. Depois trace uma reta perpendicular aos pontos x e y encontrados. O local onde essas retas perpendiculares se encontram é onde ponto P está.

Exercícios resolvidos

Questão 1 – Marque os pontos A (2, 3), B (-2,5), C (-3, -2) e D (1, -4) no plano cartesiano.

Solução

Questão 2 – Em um ponto Q (a, b) do plano cartesiano, a abscissa é menor que a ordenada, assim, em que quadrante esse ponto não pode estar?

Solução

Do enunciado, temos que o valor da abscissa é menor que o da ordenada, ou seja:

a < b

O único quadrante em que o ponto Q não pode estar é no quarto, visto que o valor da abscissa é sempre maior que o valor da ordenada.

A equação reduzida da reta é a maneira de representar de forma algébrica a reta, sendo possível obter, por meio do estudo da geometria analítica, informações importantes sobre o comportamento da reta quando representada no plano cartesiano.

A equação reduzida da reta é a equação y = mx + n, em que m e n são, respectivamente, os coeficientes angular e linear, e x e y são, respectivamente, a variável independente e dependente. Por meio do valor do coeficiente angular, é possível saber se a reta é crescente, decrescente ou constante. Já o coeficiente linear mostra o ponto em que a reta intercepta o eixo vertical y.

Leia também: Elipse — figura muito estudada na geometria plana e na analítica

Qual é a equação reduzida da reta?

Equação reduzida da reta.

No estudo da geometria analítica, é bastante recorrente a representação de figuras geométricas por meio de uma equação. Com a reta não é diferente, e a equação reduzida que descreve a reta é a seguinte:

m → coeficiente angular

n → coeficiente linear

y → variável dependente

x → variável independente

Vale salientar que m e n são números reais.

Exemplos:

a) y = 2x – 4
m = 2 e n = – 4

b) y = – 3x + 5
m = – 3 e n = 5

A equação da reta nos dá a coleção de pontos que formam a reta no plano cartesiano, sendo possível analisar o gráfico por meio da equação e fazer a sua representação no plano cartesiano. Para entender como encontrar a equação da reta, vamos antes conhecer o significado de cada um dos seus coeficientes e aprender a encontrá-los.

O coeficiente angular está ligado à inclinação da reta e o cálculo desse coeficiente pode ser feito de duas maneiras:

quando conhecemos a inclinação da reta em relação ao eixo x;
quando conhecemos dois pontos pertencentes à reta.

O primeiro método é calcular a tangente do ângulo que a reta faz com o eixo x no sentido anti-horário.

Conhecendo o valor do ângulo α, temos que:

Exemplo:

Encontre o coeficiente angular da reta a seguir:

Como o ângulo é de 45º, então basta calcular a tangente de 45º.

m = tg 45º

m = 1

Mais recorrente que o primeiro caso, no segundo caso encontramos o coeficiente angular da reta conhecendo dois pontos A(x1,y1) e B (x2, y2). Para isso, utilizamos a fórmula a seguir:

Coeficiente angular da reta conhecendo dois pontos.

Exemplo:

Encontre o coeficiente angular da reta utilizando os pontos A e B do gráfico a seguir:

Ao analisar a malha quadriculada, é fácil ver que as coordenadas são A(1,1) e B( – 1, 3). Usando esses dois pontos, temos que:

O coeficiente angular traz informações importantes sobre o gráfico da reta. Podemos classificar essa reta como crescente, decrescente ou constante de acordo com o valor do coeficiente angular.

As retas são crescentes, decrescentes e constantes respectivamente.

Exemplos:

y = 2x – 1 → crescente, pois m = 2.
y = – x + 5 → decrescente, pois m = – 1.
y = 3 → constante, pois m = 0.

Veja também: Qual é a equação geral da circunferência?

Coeficiente linear

Na equação reduzida y = mx + n, conhecemos o n como coeficiente linear. Quando x = 0, o valor de y = n; sendo assim, o coeficiente linear é o ponto em que a reta intercepta o eixo y.

Passo a passo de como calcular a equação reduzida da reta

Para calcular a equação reduzida da reta, é necessário encontrar o valor do coeficiente angular e do coeficiente linear. Para isso, precisamos conhecer dois pontos pertencentes à reta. Veja o passo a passo para encontrar a equação da reta.

1º passo: encontramos o valor do coeficiente angular m.
2º passo: substituir na equação y = mx + n o valor encontrado para m e o valor de x e y pelo valor de um dos dois pontos.
3º passo: resolver a equação para calcular o valor de n.
4º passo: agora que conhecemos o valor de m e n, bastar substituir na equação reduzida y = mx + n para encontrar a equação da reta.

Exemplo:

Encontre a equação da reta que passa pelos pontos A (2,1) e B (4,7).

Primeiro encontramos o coeficiente angular:

Agora que encontramos o coeficiente angular, escolhemos um ponto: por exemplo, o ponto A (2,1). Na equação y = mx + n, vamos substituir os valores do ponto A, ou seja, x = 2 e y = 1, e também o valor encontrado para m, no caso m= 3.

y = mx + n
x = 2 y = 1 e m = 3

1 = 3 · 2 + n 1 = 6 + n 1 – 6 = n

n = – 5

Como conhecemos o valor de m e de n, então a equação reduzida da reta será:

y = mx + n
m = 3 e n = – 5

y = 3x + ( – 5)
y = 3x – 5

Representação gráfica da reta

Para construir o gráfico da reta conhecendo a sua equação, encontramos dois pontos pertencentes a essa reta e traçamos a reta que passa por esses dois pontos.

Exemplo:

Encontre o gráfico da reta y = 2x – 1.

Analisando a reta, o primeiro ponto, que é o mais fácil de identificar, é A ( 0, – 1), pois sabemos que o coeficiente linear é o ponto em que a reta intercepta o eixo y. Se substituirmos na equação x = 0, encontramos y = – 1.

Agora precisamos de outro ponto qualquer. Para isso, atribuímos um valor para x e encontramos o seu correspondente em y. Por exemplo, escolhendo x = 1, temos que:

y = 2x – 1

x = 1

y = 2 ·1 – 1

y = 2 – 1

y = 1

O ponto B (1, 1) pertence à reta, então marcamos os pontos A(0, –1) e B (1,1) no plano cartesiano e traçamos a reta que passa por esses dois pontos.

Veja também: Como calcular a distância entre dois pontos no espaço?