Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica na qual qualquer termo (an) é resultado do produto de seu antecessor (an – 1) com uma constante, chamada razão (q) da PG. É possível somar os termos de uma PG infinita dividindo o valor do primeiro termo dessa sequência por 1 – q (um menos a razão). Algebricamente, essa fórmula é escrita da seguinte maneira: Show Veja também: Soma dos termos de uma PA finita Nessa fórmula, S é a soma dos termos da PG infinita, a1 é o primeiro termo dessa progressão e q é sua razão. Essa fórmula só é válida para progressões geométricas decrescentes, com 0 < q < 1. Em outras palavras, a razão da PG deve pertencer ao intervalo entre zero e 1, exceto por esses valores. Para testar a validade dessa fórmula, usaremos os exercícios resolvidos a seguir. Exercícios resolvidosExercício 1 Determine a soma dos termos da PG infinita na qual o primeiro termo é 10 e a razão é meio. A PG em questão é: (10, 5, 5 , … ) Podemos obter o próximo número dessa PG dividindo o termo que o antecede por 2. Logo, a razão dessa PG é ½. Na fórmula da soma dos termos da PG infinita, teremos: Para resolver esse problema, usamos a divisão de frações. Para dividir duas frações, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda. Para mais informações a respeito desse procedimento, leia o texto “Multiplicação e divisão de frações", clicando aqui.
Encontre a soma dos termos da PG (1; 0,5; 0,25; 0,125; …). O primeiro termo da PG é 1. Para encontrar sua razão, basta dividir qualquer termo por seu antecessor. 0,5 : 1 Para resolver essa divisão, basta multiplicar ambos os termos por 10. Assim, teremos: 5 : 10 = 0,5 Logo, a razão dessa PG é 0,5. O cálculo da soma dos termos da PG infinita pode ser feito usando q = 0,5 ou escrevendo esse decimal na forma de fração. Optamos pelo segundo método. Observe apenas que, encontrando a fração irredutível, o cálculo será facilitado: 0,5 = 5 :5 = 1 Substituindo o primeiro termo e a razão na fórmula da soma dos termos da PG infinita, teremos: Outras fórmulas e conhecimentosTambém existe a possibilidade de usar outras fórmulas e conhecimentos para encontrar a soma de termos de uma PG infinita. No exercício a seguir, usaremos a fórmula do termo geral da PG para encontrar o valor do primeiro termo da PG para depois calcular a soma de seus termos.
Calcule a soma dos termos da PG infinita que possui razão 1/4 (um quarto) e seu quarto termo é 1/16 (um dezesseis avos). Para resolver esse problema, precisamos descobrir o primeiro termo dessa PG. Para tanto, usaremos a fórmula do termo geral da PG:
Progressão geométrica é uma sequência numérica que possui uma razão fixa q e, a partir do primeiro termo, os termos são cálculos pela razão q vezes o seu antecessor. Uma progressão geométrica pode ser crescente, quando sua razão for maior que um; decrescente, quando a razão for um número entre zero e um; constante, quando a razão for exatamente um; e oscilante, quando a razão for menor que zero. Essa sequência pode ser finita, quando há limitação de termos na sequência, ou infinita, caso ocorra exatamente o contrário. A equação do termo geral de uma progressão geométrica e a soma de todos os seus termos são calculadas a partir de fórmulas específicas, que dependem do primeiro termo e da razão. Leia também: Moda, média, mediana – medidas de posição numérica O que é uma progressão geométrica?Progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica em que, após o primeiro termo, os termos posteriores da sequência são construídos a partir da multiplicação de uma razão q pelo termo antecessor. Exemplo: - PG de razão 3 em que o primeiro termo é 2. Os termos da sequência são representados por (a1, a2, a3, a4, a5 …). a1 = 2 a2 = 2.3 = 6 a3 = 6.3 = 18 a4 = 18.3 = 54 a5 = 54.3 = 162. A PG do exemplo é, portanto, (2,6,18,54,162...). A razão de uma PG pode ser encontrada a partir da divisão de um termo da sequência pelo seu antecessor. Ao fazer isso, caso ela seja realmente uma progressão geométrica, essa divisão sempre será igual a q. Exemplo: (1, 2, 4, 8, 16, 32) Logo, essa PG possui razão q = 2.  Propriedades da PG→ 1ª propriedadeDevido ao comportamento da PG, ela preserva algumas propriedades. A primeira delas é que o produto de termos equidistantes do extremo é sempre igual. Exemplo: (2, 8, 32, 128, 512, 2048) 2∙ 2048= 4096 8∙512 = 4096 32 ∙128 = 4096 Quando a PG possui uma quantidade ímpar de termos, há um termo central. Esse termo ao quadrado também é igual ao produto dos termos equidistantes. Exemplo: (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64) 1∙ 64 = 64 2∙32 = 64 4∙16 = 64 8∙8 = 64 → 2ª propriedadeO termo central da PG é também a sua média geométrica. Veja também: Proporção – comparação entre duas grandezas Classificação de uma PGUma PG pode ser classificada como finita, quando existir uma qualidade limitada de termos, ou infinita. Além disso, também classificamos a PG de acordo com seu comportamento, podendo ser crescente, decrescente, constante e oscilante. Essa classificação depende diretamente da razão q.
Termos de uma PGOs termos de uma PG podem ser encontrados a partir de uma fórmula que depende somente do termo inicial e da razão. A fórmula para encontrar os termos de uma PG é: Demonstração da fórmula: Exemplo: Encontre o 9º termo de uma PG que possui a1 = 3 e q = 5. Termo geral de uma PGQuando conhecemos o primeiro termo e a razão, é possível simplificar a fórmula do termo de uma PG para encontrarmos o termo geral, que depende somente do valor de n que queremos encontrar. Para isso, substituímos o valor do primeiro termo e da razão na fórmula. Exemplo: Encontre o termo geral da PG sabendo que a1 = 81 e q = 1/3. Resolução: Note que agora, dado o valor de n, é possível encontrar qualquer termo dessa sequência. Soma dos termos de uma PGSomar os termos de uma PG seria uma tarefa bastante trabalhosa se a quantidade dos termos fosse muito grande. Para somas pequenas, a escrita desses termos e a realização da soma bastariam. Porém, há problemas em que o interesse é realizar a soma dos n termos de uma PG, mas a quantidade de termos a serem somados é grande. Nesses casos, devemos usar a seguinte fórmula: Note que essa fórmula depende do valor de n, ou seja, ela só serve para uma quantidade limitada de valores, por isso dizemos que essa é a soma dos termos de uma PG finita. Exemplo: Qual é o valor da soma dos 10 primeiros termos da PG (3,6,12, 24,…)? Resolução: Temos que a1 = 3, n = 10 e, ao dividir um termo pelo antecessor, vamos encontrar a razão (q = 2). Assim, a soma dos 10 primeiros termos será: Um caso particular para soma dos termos da PG é quando ela é infinita e decrescente. Nesse caso, a razão q é um número entre zero e 1 (0 < q < 1). Com isso, é possível encontrar uma nova fórmula que só serve para esses casos: Exemplo: Calcule a soma de todos termos da sequência a seguir: Resolução: Veja também: Média ponderada – para que serve? Diferença entre PA e PGA comparação entre as progressões é muito comum, e as diferenças estão na definição de cada uma delas. Na progressão aritmética, a partir do primeiro termo, existe uma razão r que é somada ao primeiro termo para gerar o segundo termo, logo, de um termo para o outro, a diferença sempre é igual à razão. Já na progressão geométrica, a partir do primeiro termo, a razão q é multiplicada pelo primeiro termo para gerar o segundo termo, logo a divisão do termo pelo seu antecessor sempre vai ser igual à razão. Os termos de uma progressão geométrica crescente aumentam muito mais rápido que os termos de uma progressão aritmética. Isso pode ser visto no exemplo a seguir, em que as progressões possuem mesma razão e mesmo valor inicial, mas uma é geométrica e a outra é aritmética. Progressão aritmética de termo a1 = 1 e q = 2: A sequência será (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 …). Progressão geométrica de termo a1 =1 e q = 2: A sequência será (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, …). Exercícios resolvidosQuestão 1 - Alguns modelos de rádios automotivos estão protegidos por um código de segurança. Para ativar o sistema de áudio, deve-se digitar o código secreto composto por quatro algarismos. No primeiro caso de erro na digitação, a pessoa deve esperar 60 segundos para digitar o código novamente. O tempo de espera duplica em relação ao tempo de espera anterior a cada digitação errada. Uma pessoa conseguiu ativar o rádio somente na quarta tentativa, sendo de 30 segundos o tempo gasto para digitação do código secreto a cada tentativa. Nos casos da digitação incorreta, ela iniciou a nova tentativa imediatamente após a liberação do sistema de espera. O tempo total, em segundo, gasto por essa pessoa para ativar o rádio foi igual a: a) 300 b) 420 c) 540 d) 660 e) 1020 Resolução: Vamos dividir o problema em duas partes, a primeira é o tempo gasto durante a digitação da senha e a segunda é o tempo de espera. - 1º passo: Sabemos que, a cada tentativa, gastam-se 30 segundos, logo ela gastará 30.4 = 120 segundos por tentativa. - 2º passo: O tempo de espera comporta-se como uma PG de termo inicial 60 e razão 2, e queremos a soma dos três primeiros termos. Como a quantidade de termos não é muito alta, é possível calcular tanto pela escrita dos termos e a soma quanto utilizando diretamente a fórmula da soma dos termos da PG. Encontrando os termos: a1 = 60 a2 = 60. 2 = 120 a3 = 120 . 2 = 240 S3 = 60 + 120 + 240 = 420. O total T = 420 + 120 = 540 segundos. Questão 2 - Sabendo que os números 4 e 81 são, respectivamente, o primeiro e o último termo de uma PG com uma quantidade ímpar de elementos. Seu termo central é? a) 8 b) 2 c) 9 d) 18 e) 10 Resolução: Sabemos que o termo central x² tem que ser igual à multiplicação das extremidades, logo: |
O produto dos 25 primeiros termos da PG 2, 4, 8, 16, 32 e melhor representado pela alternativa
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