Numa sala temos 5 rapazes e 6 moças. quantos grupos de 2 rapazes e 3 moças podemos formar

2 moças. 30 103) Resolva os problemas: a) Quantos grupos de 3 pessoas podem ser montados com 8 pessoas? 56 b) Quantas comissões de duas pessoas podem ser formadas com cinco alunos (A, B, C, D e E) de uma classe? c) Quantas combinações com 4 elementos podemos criar com as 10 primeiras letras do alfabeto? 210 d) Quantas combinações com 4 elementos podemos montar com as 10 primeiras letras do alfabeto, sempre começando pela letra A? 84 e) Quantas combinações com 4 elementos podemos criar com as 10 primeiras letras do alfabeto, tendo sempre estejam juntas as letras A e B? 28 f) Formam-se comissões de três professores escolhidos entre os sete de uma escola. Calcule o número de comissões distintas que podem, assim, ser formadas. 35 comissões g) Num plano há 4 pontos, sendo que 3 deles são não colineares. Quantas retas que passam por esses pontos? 6 h) Uma classe tem dez alunos e cinco alunas, formam-se comissões de quatro alunos e duas alunas. Quantas comissões diferentes posso formar? 2100 i) Com 10 espécies de frutas, quantos tipos de salada, contendo 6 espécies diferentes podem ser feitas? 210 j) Numa reunião com 7 rapazes e 6 moças, quantas comissões podemos formar com 3 rapazes e 4 moças? 525 104) Numa sala estão 5 médicos, 4 enfermeiras e 6 professores. Quantas comissões de 4 elementos podem ser formadas com: a) 2 médicos, uma enfermeira e um professor. 240 b) pelo menos 2 médicos. 55522 105) Resolva os problemas: a) Com um grupo de 6 violinistas e 5 ritmistas, quantos quartetos podem ser formados de modo que, em cada um, haja, pelo menos, 2 violinistas? 265 b) Em uma sala existem 18 mulheres e 22 homens. Quantas comissões podem ser montadas nesta sala contendo 3 mulheres e 5 homens? c) Para resolver um assunto entre 6 professores e 4 alunos, devemos formar comissões com 3 professores e 2 alunos. Quantas são as possibilidades? 180 d) Com 6 pontos distintos sobre uma reta e um ponto fora dela, quantos triângulos podem ser formados? 15 e) Um time de futebol de salão deve ser escalado a partir de 10 jogadores, dos quais 3 atuam somente como goleiro. Quantos times de 5 jogadores podem ser formados? 105 f) Numa reunião de jovens há 10 rapazes e 5 moças. Determine o número de grupos de 5 jovens que podem ser formados, tendo cada grupo no máximo 1 rapaz. 51 g) Numa classe há 10 rapazes e 6 moças. Quantas comissões de 4 rapazes e 2 moças podem ser formadas? 3 150 h) Uma empresa tem 5 diretores e 10 gerentes. Quantas comissões distintas podem ser formadas, constituídas de 1 diretor e 4 gerentes? 1 050 i) Uma urna contém 12 bolas, das quais 7 são pretas e 5 brancas, distintas apenas na cor. Calcule o número de modos que podemos tirar 6 bolas da urna, das quais 2 são brancas. 350 j) Calcule o número de maneiras que um professor pode escolher um ou mais estudantes de um grupo de 6 estudantes. 6319 Análise Combinatória e Probabilidade 2º Ano - EM   15 106) Com um grupo de 6 rapazes e 4 moças, de quantos modos se pode formar uma comissão de 4 pessoas de modo que em cada uma haja: a) 2 rapazes e 2 moças. 90 b) pelo menos 2 rapazes. 185 107) Uma associação tem uma diretoria formada por 10 pessoas: 6 homens e 4 mulheres. a) De quantas maneiras podemos formar uma comissão dessa diretoria que tenha 3 homens e 2 mulheres? b) Quantas comissões tem pelo menos uma mulher? 108) Com 4 professores de Matemática, 3 de Português e 3 de Física, quantas comissões podem ser formadas: a) compostas de 4 professores? 210 b) com 4 professores sendo que cada comissão deve conter, pelo menos, um professor de Português? 175 c) com 4 professores sendo que cada comissão deve conter, no máximo, dois professores de Português? 168 109) Resolva os problemas: a) Numa sala, temos 5 rapazes e 6 moças. Quantos grupos podemos formar de 2 rapazes e 3 moças? 200 b) Uma família composta de 5 pessoas possui um automóvel de 5 lugares. De quantos modos poderão se acomodar no automóvel para uma viagem, sabendo-se que apenas o pai e a mãe sabem dirigir? 48 c) De quantas maneiras diferentes um professor poderá formar um grupo de 3 alunos, escolhidos a partir de um grupo de 6 alunos? 20 d) Num grupo onde há 4 médicos e 5 professores, quantas comissões podem ser formadas com 4 desses profissionais? 126 e) Com 5 homens e 4 mulheres, quantas comissões de 5 pessoas, com exatamente 3 homens, podem ser formadas? 60 f) Temos 5 homens e 6 mulheres. De quantas formas podemos formar uma comissão de 3 pessoas? 165 g) Num grupo de 10 pessoas temos somente 2 homens. Calcule o número de comissões de 5 pessoas que podemos formar com 1 homem e 4 mulheres. 140 h) De quantos modos podemos separar 10 pessoas em dois grupos, um de 7 pessoas e o outro de 3 pessoas? 120 i) Numa prova de 7 questões, o aluno deve resolver apenas 5.De quantas maneiras ele poderá escolher essas 5 questões? 21 j) Numa prova de 10 questões, o aluno deve resolver apenas 6.De quantas maneiras ele poderá escolher essas 6 questões? 210 110) Uma empresa tem 5 diretores e 10 gerentes. Quantas comissões distintas podem ser formadas, constituídas de 1 diretor e quatro gerentes? 1.050 111) São dadas 10 caixas, numeradas de 1 a 10, e 10 bolas, sendo 3 verdes, 4 vermelhas e 3 azuis. Desejando-se colocar uma bola em cada caixa, de quantas maneiras é possível guardar nas caixas? 4200 112) A sequência (Cn, 2, An, 2, 12.P2) é uma progressão geométrica. a) Qual é o valor de n? 4 b) Quais os valores dos termos dessa progressão? {6, 12, 24} 113) Um juiz dispõe de 10 pessoas, das quais somente 4 são advogados, para formar um único júri com 7 jurados. Calcule o número de formas de compor o júri, com pelo menos 1 advogado. 120 Análise Combinatória e Probabilidade 2º Ano - EM   114) Desejamos formar comissões de 6 pessoas entre cinco pais de alunos e quatro professores. a) Quantas comissões terão apenas 1 professor? b) Quantas comissões terão apenas 2 professores? c) Quantas comissões terão no mínimo 2 professores? d) Quantas comissões terão no mínimo 3 professores? 115) Determine o que se pede: a) Com 5 pontos distintos sobre uma reta e outros 7 sobre uma paralela, quantos triângulos podem ser formados? Resposta: 395 b) Com 7 pontos distintos sobre uma circunferência, quantos polígonos convexos podem ser formados? Resposta: 99 c) Sobre uma reta marcam-se 3 pontos e sobre uma outra reta, paralela à primeira, marcam- se 5 pontos. Calcule o número de triângulos que podem ser formados unindo 3 quaisquer desses 8 pontos. 45 d) São dados 12 pontos num plano, 3 a 3 não colineares. Determine o número de retas distin- tas determinadas por esses pontos. 66 retas e) Sobre uma reta, marcam-se 6 pontos e sobre uma outra, paralela à primeira, marcam-se 5 pontos. Quantos triângulos obteremos, unindo 3 quaisquer desses pontos? 165 f) Marcam-se 5 pontos sobre uma reta r e 8 pontos sobre uma reta s paralela a r. Quantos triângulos existem com vértices em 3 desses pontos? g) Dados 7 pontos distintos, 4 sobre uma reta e 3 sobre uma outra reta paralela à primeira. Quantos triângulos podem ser formados com vértices nesses pontos? 116) Na figura abaixo temos que r // s. Qual é o número de triângulos que podemos formar com 7 pontos distintos, 4 sobre uma reta e 3 sobre outra reta paralela à primeira? 30 117) Na figura, temos que r // s. Quantos: a) triângulos podem ser construídos com vértices em três quaisquer desses pontos? 96 b) quadriláteros podem ser construídos com vértices em quatro quaisquer

apresentar os casos de permutações com elementos repetidos 1º caso: Apenas um elemento se repete Com a palavra CORPO, quantos anagramas podemos formar? · Caso todas as letras dessa palavra fossem distintas, teríamos 5! Anagramas. · No entanto, ao permutarmos letras iguais, não obtemos um novo anagrama. · Por exemplo, se tomarmos o anagrama PORCO e trocarmos de posição as duas letras O, obteremos o mesmo anagrama: PO¹RCO² → PO²RCO¹ · Dessa forma, como a letra O se repete 2 vezes, há outro anagrama igual em cada um dos 5! anagramas com a letra O nas mesmas posições. · Assim, para obtermos o total de anagramas, calculamos · Simplificando o 2! obtemos: · Logo, com a palavra CORPO é possível formar 60 anagramas 2º caso: dois elementos diferentes se repetem Obter o número de anagramas da palavra PANTANAL · Nesse caso, temos duas letras que se repetem, A e N · Se todas as letras dessa palavra fossem distintas, teríamos 8! anagramas. · No entanto, como a letra A se repete 3 vezes, há outros anagramas iguais em cada um dos 8! anagramas com a letra A nas mesmas posições. · Assim, temos uma quantidade de anagramas igual a · Para cada um desses anagramas, a letra N se repete 2 vezes nas mesmas posições, num total de 2!. · Com isso, o total de anagramas da palavra PANTANAL será: · Simplificando o 3! temos: · Portanto, é possível formar 3 360 anagramas com a palavra PANTANAL. De modo geral: O número de permutações de n elementos com repetições, dos quais n1,n2, ... ,nr são as quantidades de elementos diferentes entre si é dado por: com · No caso da palavra PANTANAL há oito letras, sendo 3 letras iguais a A e 2 letras iguais a N. · Dessa forma: Atividade 2: Material: Quadro, atividades impressas Procedimento: propor os seguintes exercícios 1) Determine o número de anagramas da palavra BANANA. 2) Quantos números pares podem ser obtidos ao permutarmos os algarismos que formam o número 2 423 327? 3) Um dado é lançado 4 vezes sucessivamente. Determine o número de sequencias de resultados em que: a) as quatros faces são iguais a 5 b) três faces são iguais a 2 e uma face igual a 4 c) duas faces são iguais a 3, uma face é 4 e a outra é 5 4) Um dado é lançado três vezes sucessivamente. Quantas sequencias de resultados apresentam soma dos pontos: a) menor que 8 b) maior que 13 5) Determine o número de anagramas formados a partir de: a) CASCAVEL b) MATEMÁTICA c) SOSSEGADA d) MARROCOS 6) Um dado é lançado quatro vezes sucessivamente. Em quantas sequências de resultados são obtidos quatro números distintos? 7) Em um torneio de futsal um time obteve 8 vitórias, 5 empates e 2 derrotas, nas 15 partidas disputadas. De quantas maneiras distintas esses resultados podem ter ocorrido? 8) Em uma prova composta de 20 questões envolvendo V ou F, de quantas maneiras distintas teremos doze respostas V e oito respostas F? SINTESE INTEGRADORA · Na aula de hoje estudamos os casos de permutações com repetições, também realizamos exercícios com situações problema que envolviam permutações com repetição AVALIAÇÃO · Participação e desenvolvimento nas atividades promovidas REFERÊNCIA FILHO, Benigno Barreto; SILVA, Claudio Xavier da. Matemática aula por aula. São Paulo: FTD, 2000 GIOVANNI, José Ruy; JR. GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática Fundamental uma Nova Abordagem. São Paulo: FTD, 2011 RIBEIRO, Jackson. Matemática, Ciência Linguagem e Tecnologia. São Paulo: SCIPIONE, 2011. SOUZA, Joamir. Novo Olhar Matemática. 2. ed. São Paulo: FTD, 2010 ESCOLA DE EDUCAÇÃO BASICA IRMÃO LEO DIRETOR: EDSON LUIZ PAGNUSSAT PROFESSOR REGENTE: TATIANE CASAGRANDE ESTAGIÁRIA: JANI LAIS DOS SANTOS ALVES ANO 2017 – 2º ANO PLANO DE AULA 10 (uma aula de 45 minutos) CONTEÚDOS: · Combinação simples OBJETIVOS: · Compreender os conceitos de combinação simples · Resolver situações problema que envolvam os conceitos de combinação simples ESTRATÉGIAS DE ENSINO: · Apresentação de situações que envolvam combinações simples; · Exercícios para fixação da aprendizagem DESENVOLVIMENTO DA AULA: · Chamada. · Na aula anterior estudamos sobre as permutações com elementos repetidos, bem como resolvemos problemas relacionados a permutação com elementos repetidos · Na aula de hoje veremos: · Combinação Simples · Fórmula de combinação simples · Problemas envolvendo combinação Atividade 1: Material: Quadro, atividades impressas, ficha de números e tabela Procedimento: apresentar as seguintes situações: 1º No jogo de basquetebol, cada time entra em quadra com cinco jogadores. Considerando-se que um time para disputar um campeonato necessita de pelo menos 12 jogadores, e que desses, 2 são titulares absolutos, determine o número de equipes que o técnico poderá formar com o restante dos jogadores, sendo que eles atuam em qualquer posição. · Dos 12 jogadores, 2 são titulares absolutos, então teremos 10 jogadores disputando 3 vagas · Logo, teremos uma combinação de 10 para 3; · Sendo assim, teremos: · Simplificando o 7! temos: · Logo, o treinador poderá formar 120 equipes. 2º Em uma sala de aula existem 12 alunas, onde uma delas chama-se Carla, e 8 alunos, onde um deles atende pelo nome de Luiz. Deseja-se formar comissões de 5 alunas e 4 alunos. Determine o número de comissões, onde simultaneamente participam Carla e Luiz. · A comissão de alunas será dada por: C11,4 já que Carla deve participar da comissão · Simplificando o 7! temos: · Logo a comissão das meninas poderá ser formada de 330 maneiras · A comissão de alunos será composta por: C7,3 já que Luiz deve participar da comissão · Simplificando o 4! temos: · Logo, a comissão dos meninos poderá ser formada de 35 maneiras · Multiplicando as possibilidades das meninas e dos meninos temos: · Ou seja: · Sendo assim, o número de comissões, respeitando a condição imposta, será de 11 550. De modo geral: Chama-se de combinação simples dos n elementos de E, p a p, todo subconjunto de E com p elementos. Logo, podemos dizer que: Atividade 1: Material: Quadro, atividades impressas, ficha de números e tabela Procedimento: propor as seguintes situações problema 1) Fabíola, Gerson, Hélio, Evelise e Jacira disputam 2 vagas no conselho da escola. Quantas comissões de duas pessoas podem ser formadas com os 5 alunos? 2) De quantas maneiras é possível escalar um time de futebol de salão dispondo de 8 jogadores? 3) Numa sala temos 5 rapazes e 6 moças. Quantos grupos de 2 rapazes e 3 moças podemos formar? 4) (IME-SP) Com 10 espécies de frutas, quantos tipos de salada, contendo 6 espécies diferentes, podem ser feitas? 5) Em uma empresa há 6 sócios brasileiros e 4 japoneses. A diretoria será composta por 5 sócios, sendo 3 brasileiros e 2 japoneses. De quantos modos essa composição poderá ocorrer? SINTESE INTEGRADORA · Na aula de hoje estudamos combinação simples, também realizamos exercícios com situações problema que envolviam combinação. AVALIAÇÃO · Participação e desenvolvimento nas atividades promovidas REFERÊNCIA FILHO, Benigno Barreto; SILVA, Claudio Xavier da. Matemática aula por aula. São Paulo: FTD, 2000 GIOVANNI, José Ruy; JR. GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática Fundamental uma Nova Abordagem. São Paulo: FTD, 2011 RIBEIRO, Jackson. Matemática, Ciência Linguagem e Tecnologia. São Paulo: SCIPIONE, 2011. SOUZA, Joamir. Novo Olhar Matemática. 2. ed. São Paulo: FTD, 2010 ESCOLA DE EDUCAÇÃO BASICA IRMÃO LEO DIRETOR: EDSON LUIZ PAGNUSSAT PROFESSOR REGENTE: TATIANE CASAGRANDE ESTAGIÁRIA: JANI LAIS DOS SANTOS ALVES ANO 2017 – 2º ANO PLANO DE AULA 11 (duas aulas de 45 minutos) CONTEÚDOS: · Combinação simples OBJETIVOS: · Compreender os conceitos de combinação simples · Casos particulares de combinação · Resolver situações problema que envolvam os conceitos de combinação simples ESTRATÉGIAS DE ENSINO: · Apresentação de situações que envolvam combinações simples; · Exercícios para fixação da aprendizagem DESENVOLVIMENTO DA AULA: · Chamada. · Na aula anterior estudamos