Hitunglah luas daerah yang di batasi oleh kurva y x2 sumbu x serta garis x dan garis x 0

APLIKASI INTEGRAL

APLIKASI INTEGRALPENERAPAN INTEGRAL

Luas daerah kelengkungan

9

2xy

Luas daerah di bawah

kurva berdsar

prinsip Riemaan

2xy

Indikator 1 Indikator 2

xxy 42

PENERAPAN INTEGRAL

Volume benda putar, jika kurva

diputar mengelilingi sumbu Y

=

= 2(2)3 2(2)2 [2(-1)3 2(-1)2]

= 16 8 + 2 + 2 = 12

2

1

2 dx 46 xx 2123 22 xx

Integral Tentu Luas DaerahLuas Daerah

Hitunglah nilai dari

2

1

2 dx 46 xx

Contoh 1 :

Jawab

Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a, b] dan

misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang tersebut, maka

berlaku :

Untuk meringkas penulisan, F(b) F(a) dinotasikan sebagai

Teorema Dasar Kalkulus

)(F)(F )( abdxxfb

a

bax)(F

Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat diartikan sebagai

luas daerah di bawah kurva y = f(x) pada interval [a, b].

y

x

0 a bx

y

a

x

0 b

b

a

dxxf )(

Jumlah Luas Partisi Berubah Menjadi Integral

Tentukan limitnya

n

)(xf

n

iii xxf

1)(

)(xf

Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah

i

n

ii

n

b

a

xxfdxxfL 1

)()( lim

Kegiatan pokok dalam menghitung luas

daerah dengan integral tentu adalah:

1. Gambar daerahnya.

2. Partisi daerahnya

3. Aproksimasi luas sebuah partisi

Li f(xi) xi

4. Jumlahkan luas partisi

L f(xi) xi

5. Ambil limitnya L = lim f(xi) xi

6. Nyatakan dalam integral

x

0

y)(xfy

a

xi

xi

)( ixfLi

Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah

a

dxxf0

)(L

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu x, dan garis x = 3

Contoh 1.

Langkah penyelesaian :

1. Gambarlah daerahnya

2. Partisi daerahnya

3. Aproksimasi luasnya Li xi2 xi

4. Jumlahkan luasnya L xi2 xi

5. Ambil limit jumlah luasnya

L = lim xi2 xi

6. Nyatakan dalam integral dan

hitung nilainya

y

0

x

3

2)( xxf

dxx3

0

2L

903

333

03

3L

x

Li

xi

xi

2ix

Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah

Jawab

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu Y, dan garis y = 4

Contoh 2.

Langkah penyelesaian :

1. Gambarlah daerahnya

2. Partisi daerahnya

3. Aproksimasi luasnya L xi.y

4. Jumlahkan luasnya L y. y

5. Ambil limit jumlah luasnya

L = lim y. y

6. Nyatakan dalam integral dan

hitung nilainya

y

0

x

4

dyy4

0

.L

3

168.

3

2

3

2L

4

0

2

3

y

Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah

Jawab

xi

2)( xxf

y

y

Langkah penyelesaian:

1. Gambar dan Partisi daerahnya

2. Aproksimasi : Li (4xi - xi2)xi dan

Aj -(4xj - xj2)xj

3. Jumlahkan : L (4xi - xi2)xi dan A

-(4xj - xj2)xj

4. Ambil limitnya L = lim (4xi - xi2)xi

dan A = lim -(4xj - xj2)xj

5. Nyatakan dalam integral

y

0x64

24)( xxxf

dxxx 4

0

2)4(L dxxx 6

4

2 )4(A

xi

Li

xi

xj

Aj

xj

24 ii xx

)4(0 2xx

Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = 4x - x2, sumbu x,

dan garis x = 6

Contoh 3.

Jawab

dxxx 4

0

2)4(L

dxxx 6

4

2 )4(A

y

0x64

24)( xxxf

xi

Li

xi

xj

Aj

xj

24 ii xx

)4(0 2xx

40

33122L xx

3643

312 320)4()4(2L

64

3

3122A xx

33123

312 )4()4(2)6()6(2A

364

3216 3272A

40A3

152

3

1214032daerah Luas

3152

364

Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah

Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah

Kesimpulan :

b

a

dyxL .b

a

dxyL .

y

0

x

y

y

x

0

)(xfy xi

xi

)( ixf

y

LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA

Perhatikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) > g(x) pada selang

[a, b] di bawah ini. Dengan menggunakan cara : partisi, aproksimasi,

jumlahkan, ambil limitnya, integralkan, maka dapat ditentukan luas

daerah antara dua kurva tersebut.

Langkah penyelesaian:

1. Partisi daerahnya

2. Aproksimasi : Li [ f(x) g(x) ] x

4. Jumlahkan : L [ f(x) g(x) ] x

5. Ambil limitnya :

L = lim [ f(x) g(x) ] x

6. Nyatakan dalam integral tertentu

y

ba

)(xfy

)(xgy

0

xLi

x

x

)()( xgxf

Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah

dxxgxfb

a )()(L

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2 - x

Contoh 4.

Langkah penyelesaian:

1. Gambar daerahnya

2. Tentukan titik potong kedua kurva

x2 = 2 x x2 + x 2 = 0 (x + 2)(x 1) = 0

diperoleh x = -2 dan x = 1

3. Partisi daerahnya

4. Aproksimasi luasnya

Li (2 - x - x2)x

5. Nyatakan dalam integral tertentu

dxxx

1

2

2)2(L 0x

1 2-1-2-3

2xy

xy 2y

1

2

3

4

5

Li

x

x

2)2( xx

Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah

Jawab

dxxx

1

2

2)2(L

0

x

1 2-1-2-3

2xy

xy 2y

1

2

3

4

5

Li

x

x

2)2( xx

1232

32

2L

xxx

3

3)2(

2

2)2(

3

312

21 )2(2)1(2L

38

31

21 242L

38

31

21 242L

21

21 45L

Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah

Untuk kasus tertentu pemartisian

secara vertikal menyebabkan ada

dua bentuk integral. Akibatnya

diperlukan waktu lebih lama untuk

menghitungnya.

)(xfy

y

a b

Lix

x

)()( xgxf

)(2 xf

Ai0

x

)(xgy

Luas daerah = a

dxxf0

)(2 b

a

dxxgxf )()(

Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah

Jika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan diperoleh

satu bentuk integral yang menyatakan luas daerah tersebut. Sehingga

penyelesaiannya menjadi lebih sederhana dari sebelumnya.

)()( yfxxfy y

0

x

)()( ygxxgy

Luas daerah = d

c

dyyfyg )()(

Li y

c

d

)()( yfyg

Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah

Hitunglah luas daerah di kuadran I yang dibatasi kurva y2 = x, garis x + y = 6,

dan sumbu x

Contoh 5.

Langkah penyelesaian:

1. Gambar daerahnya

2. Tentukan titik potong kedua kurva

y2 = 6 y y2 + y 6 = 0 (y + 3)(y 2) = 0

diperoleh y = - 3 dan y = 2

3. Partisi daerahnya

4. Aproksimasi luasnya

Li (6 - y - y2)y

5. Nyatakan dalam integral tertentu

Luas daerah = 2

0

26 dyyy

2yx

yx 6

2

y

6

x

0

6

Li yy

2)6( yy

Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah

Jawab

Luas daerah = 2

0

26 dyyy

2yx

yx 6

2

y

6

x

0

6

Li yy

2)6( yy

Luas daerah =

2

03

3

2

26

yy

y

Luas daerah = 03

3224)2(6

Luas daerah =

38212

Luas daerah = 3

22

Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah

PENERAPAN INTEGRAL

Volume benda putar

Pendahuluan Volume Benda PutarVolume Benda Putar

Suatu daerah jika di putar

mengelilingi garis tertentu sejauh

360, maka akan terbentuk suatu

benda putar. Kegiatan pokok dalam

menghitung volume benda putar

dengan integral adalah: partisi,

aproksimasi, penjumlahan,

pengambilan limit, dan menyatakan

dalam integral tentu. Gb. 4

Pendahuluan Volume Benda PutarVolume Benda Putar

Dalam menentukan volume benda putar yang harus diperhatikan adalah

bagaimana bentuk sebuah partisi jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi

tersebut, maka metode yang digunakan untuk menentukan volume benda

putar dibagi menjadi :

1. Metode cakram

2. Metode cincin

3. Metode kulit tabung

jawablah soal matematika ini dengan jawaban yg benar beserta cara mengerjakannya....​

Jawab 4 + 5 garis bilangan​

Tentukan persamaan garis singgung pada hiperbola x²/9 - y²/4 =1 ,yang memiliki gradien 4mohon Bantuannya Gays ​

grafik dari 2+cos x ​

1.Benda yang mengalami perbedaan suhu paling besar?2.3/5 , 65% , 5/6 , 0.79 urutkan dari yang terkecil!!!​

berapa hasilnya plis​

E A H B a. sebutkan rusuk rusuk yang berpotongan dengan garis g b Sebutkan rusuk yang sejajar dengan bidang u C. Sebutkan bidang bidang sisi kubus yan … g berpotongan dengan Bidang U

Berapa banyak susunan huruf yang berbeda yang dapat disusun dari huruf-huruf pada kata cinta dan ceria​

Sederhanakan (p-³ q² r)-¹ . (p³ q⁴ r²)-²​

bagaimana kah kedudukan bidang ABCD terhadap bidang 2​