APLIKASI INTEGRAL APLIKASI INTEGRALPENERAPAN INTEGRAL Luas daerah kelengkungan 9 2xy Luas daerah di bawah kurva berdsar prinsip Riemaan 2xy Indikator 1 Indikator 2 xxy 42 PENERAPAN INTEGRAL Volume benda putar, jika kurva diputar mengelilingi sumbu Y = = 2(2)3 2(2)2 [2(-1)3 2(-1)2] = 16 8 + 2 + 2 = 12 2 1 2 dx 46 xx 2123 22 xx Integral Tentu Luas DaerahLuas Daerah Hitunglah nilai dari 2 1 2 dx 46 xx Contoh 1 : Jawab Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a, b] dan misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang tersebut, maka berlaku : Untuk meringkas penulisan, F(b) F(a) dinotasikan sebagai Teorema Dasar Kalkulus )(F)(F )( abdxxfb a bax)(F Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat diartikan sebagai luas daerah di bawah kurva y = f(x) pada interval [a, b]. y x 0 a bx y a x 0 b b a dxxf )( Jumlah Luas Partisi Berubah Menjadi Integral Tentukan limitnya n )(xf n iii xxf 1)( )(xf Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah i n ii n b a xxfdxxfL 1 )()( lim Kegiatan pokok dalam menghitung luas daerah dengan integral tentu adalah: 1. Gambar daerahnya. 2. Partisi daerahnya 3. Aproksimasi luas sebuah partisi Li f(xi) xi 4. Jumlahkan luas partisi L f(xi) xi 5. Ambil limitnya L = lim f(xi) xi 6. Nyatakan dalam integral x 0 y)(xfy a xi xi )( ixfLi Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah a dxxf0 )(L Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu x, dan garis x = 3 Contoh 1. Langkah penyelesaian : 1. Gambarlah daerahnya 2. Partisi daerahnya 3. Aproksimasi luasnya Li xi2 xi 4. Jumlahkan luasnya L xi2 xi 5. Ambil limit jumlah luasnya L = lim xi2 xi 6. Nyatakan dalam integral dan hitung nilainya y 0 x 3 2)( xxf dxx3 0 2L 903 333 03 3L x Li xi xi 2ix Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah Jawab Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu Y, dan garis y = 4 Contoh 2. Langkah penyelesaian : 1. Gambarlah daerahnya 2. Partisi daerahnya 3. Aproksimasi luasnya L xi.y 4. Jumlahkan luasnya L y. y 5. Ambil limit jumlah luasnya L = lim y. y 6. Nyatakan dalam integral dan hitung nilainya y 0 x 4 dyy4 0 .L 3 168. 3 2 3 2L 4 0 2 3 y Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah Jawab xi 2)( xxf y y Langkah penyelesaian: 1. Gambar dan Partisi daerahnya 2. Aproksimasi : Li (4xi - xi2)xi dan Aj -(4xj - xj2)xj 3. Jumlahkan : L (4xi - xi2)xi dan A -(4xj - xj2)xj 4. Ambil limitnya L = lim (4xi - xi2)xi dan A = lim -(4xj - xj2)xj 5. Nyatakan dalam integral y 0x64 24)( xxxf dxxx 4 0 2)4(L dxxx 6 4 2 )4(A xi Li xi xj Aj xj 24 ii xx )4(0 2xx Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = 4x - x2, sumbu x, dan garis x = 6 Contoh 3. Jawab dxxx 4 0 2)4(L dxxx 6 4 2 )4(A y 0x64 24)( xxxf xi Li xi xj Aj xj 24 ii xx )4(0 2xx 40 33122L xx 3643 312 320)4()4(2L 64 3 3122A xx 33123 312 )4()4(2)6()6(2A 364 3216 3272A 40A3 152 3 1214032daerah Luas 3152 364 Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah Kesimpulan : b a dyxL .b a dxyL . y 0 x y y x 0 )(xfy xi xi )( ixf y LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA Perhatikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) > g(x) pada selang [a, b] di bawah ini. Dengan menggunakan cara : partisi, aproksimasi, jumlahkan, ambil limitnya, integralkan, maka dapat ditentukan luas daerah antara dua kurva tersebut. Langkah penyelesaian: 1. Partisi daerahnya 2. Aproksimasi : Li [ f(x) g(x) ] x 4. Jumlahkan : L [ f(x) g(x) ] x 5. Ambil limitnya : L = lim [ f(x) g(x) ] x 6. Nyatakan dalam integral tertentu y ba )(xfy )(xgy 0 xLi x x )()( xgxf Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah dxxgxfb a )()(L Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2 - x Contoh 4. Langkah penyelesaian: 1. Gambar daerahnya 2. Tentukan titik potong kedua kurva x2 = 2 x x2 + x 2 = 0 (x + 2)(x 1) = 0 diperoleh x = -2 dan x = 1 3. Partisi daerahnya 4. Aproksimasi luasnya Li (2 - x - x2)x 5. Nyatakan dalam integral tertentu dxxx 1 2 2)2(L 0x 1 2-1-2-3 2xy xy 2y 1 2 3 4 5 Li x x 2)2( xx Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah Jawab dxxx 1 2 2)2(L 0 x 1 2-1-2-3 2xy xy 2y 1 2 3 4 5 Li x x 2)2( xx 1232 32 2L xxx 3 3)2( 2 2)2( 3 312 21 )2(2)1(2L 38 31 21 242L 38 31 21 242L 21 21 45L Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah Untuk kasus tertentu pemartisian secara vertikal menyebabkan ada dua bentuk integral. Akibatnya diperlukan waktu lebih lama untuk menghitungnya. )(xfy y a b Lix x )()( xgxf )(2 xf Ai0 x )(xgy Luas daerah = a dxxf0 )(2 b a dxxgxf )()( Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah Jika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan diperoleh satu bentuk integral yang menyatakan luas daerah tersebut. Sehingga penyelesaiannya menjadi lebih sederhana dari sebelumnya. )()( yfxxfy y 0 x )()( ygxxgy Luas daerah = d c dyyfyg )()( Li y c d )()( yfyg Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah Hitunglah luas daerah di kuadran I yang dibatasi kurva y2 = x, garis x + y = 6, dan sumbu x Contoh 5. Langkah penyelesaian: 1. Gambar daerahnya 2. Tentukan titik potong kedua kurva y2 = 6 y y2 + y 6 = 0 (y + 3)(y 2) = 0 diperoleh y = - 3 dan y = 2 3. Partisi daerahnya 4. Aproksimasi luasnya Li (6 - y - y2)y 5. Nyatakan dalam integral tertentu Luas daerah = 2 0 26 dyyy 2yx yx 6 2 y 6 x 0 6 Li yy 2)6( yy Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah Jawab Luas daerah = 2 0 26 dyyy 2yx yx 6 2 y 6 x 0 6 Li yy 2)6( yy Luas daerah = 2 03 3 2 26 yy y Luas daerah = 03 3224)2(6 Luas daerah = 38212 Luas daerah = 3 22 Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah PENERAPAN INTEGRAL Volume benda putar Pendahuluan Volume Benda PutarVolume Benda Putar Suatu daerah jika di putar mengelilingi garis tertentu sejauh 360, maka akan terbentuk suatu benda putar. Kegiatan pokok dalam menghitung volume benda putar dengan integral adalah: partisi, aproksimasi, penjumlahan, pengambilan limit, dan menyatakan dalam integral tentu. Gb. 4 Pendahuluan Volume Benda PutarVolume Benda Putar Dalam menentukan volume benda putar yang harus diperhatikan adalah bagaimana bentuk sebuah partisi jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi tersebut, maka metode yang digunakan untuk menentukan volume benda putar dibagi menjadi : 1. Metode cakram 2. Metode cincin 3. Metode kulit tabung jawablah soal matematika ini dengan jawaban yg benar beserta cara mengerjakannya.... Jawab 4 + 5 garis bilangan Tentukan persamaan garis singgung pada hiperbola x²/9 - y²/4 =1 ,yang memiliki gradien 4mohon Bantuannya Gays grafik dari 2+cos x 1.Benda yang mengalami perbedaan suhu paling besar?2.3/5 , 65% , 5/6 , 0.79 urutkan dari yang terkecil!!! berapa hasilnya plis E A H B a. sebutkan rusuk rusuk yang berpotongan dengan garis g b Sebutkan rusuk yang sejajar dengan bidang u C. Sebutkan bidang bidang sisi kubus yan … Berapa banyak susunan huruf yang berbeda yang dapat disusun dari huruf-huruf pada kata cinta dan ceria Sederhanakan (p-³ q² r)-¹ . (p³ q⁴ r²)-² bagaimana kah kedudukan bidang ABCD terhadap bidang 2 |