Como racionalizar o denominador de uma fração com raiz

Quando multiplicamos o denominador e o numerador de uma fração por um mesmo número, obtemos uma fração equivalente, ou seja, frações que representam um mesmo valor. Sendo assim, racionalizar consiste em multiplicar o denominador e o numerador por um mesmo número.

Como racionalizar o denominador de uma fração?

Para racionalizar o denominador de uma fração, devemos multiplicar os termos desta fração por uma expressão com radical, denominado fator racionalizante, de modo a obter uma nova fração equivalente com denominador sem radical.

Como racionalizar fração com raiz?

Racionalização de Denominadores com uma Raiz Quadrada

1. Para racionalizar frações com denominadores que são raízes quadradas, devemos multiplicar toda a fração pela mesma raiz quadrada do denominador. ...
2. Nesse caso, dizemos que √2 é o fator racionalizante da fração.

Por que temos que racionalizar?

20. A racionalização de denominadores é um processo utilizado para eliminar os radicais dos denominadores das frações sem alterar o valor inicial das frações como um todo. Ao racionalizar um denominador, transformamos o seu valor irracional em um valor racional.

O que é o fator Racionalizante?

O número que foi escolhido para multiplicar a fração inicial é chamado de fator racionalizante. Nos casos em que o denominador for apenas um radical ou um produto em que um dos fatores seja um radical, poderemos repetir esse procedimento para racionalizar denominadores.

Qual a resolução das expressões numéricas?

• Essa eliminação irá acontecer na seguinte ordem: parênteses, colchetes e, por último, as chaves. Veja alguns exemplos da resolução de algumas expressões numéricas.

Como eliminar as expressões numéricas?

• Eles possuem o objetivo de organizar as expressões, como: () parênteses, [ ] colchetes e {} chaves, e são utilizados para dar preferência para algumas operações. Quando aparecerem em uma expressão numérica, devemos eliminá-los. Essa eliminação irá acontecer na seguinte ordem: parênteses, colchetes e, por último, as chaves.

Quais são as expressões numéricas?

• Veja alguns exemplos da resolução de algumas expressões numéricas. 8 – [– (6 + 4) + (3 – 2 – 1)] = resolva primeiro os parênteses. 8 – [– 10 + 0 ] = resolva os colchetes. 8 – [– 10] = faça o jogo de sinais para eliminar o colchete. O valor numérico da expressão é 18.

Em algumas situações envolvendo resolução de equações, as raízes podem aparecer no denominador, nesses casos, a raiz pode resultar em um número irracional, assim a divisão se torna um cálculo difícil e trabalhoso. Dessa forma, devemos racionalizar, multiplicando o numerador e o denominador pela raiz que se encontra no denominador da fração. Observe:

A representação fracionária, sem a presença da raiz no denominador, dá uma melhor visão quanto à referência de um resultado aproximado. Caso não utilizássemos a racionalização, a divisão seria a seguinte:

Seria muito trabalhoso calcular essa divisão.

Algumas situações podem envolver soma de raízes no denominador, e para tal situação vamos utilizar alguns artifícios matemáticos. Suponhamos que a soma de raízes √3 + √2 apareça no denominador de uma fração. Para resolvermos tal situação multiplicamos o numerador e o denominador por √3 – √2, pois realizando tal procedimento estamos simplesmente fazendo referência à regra do produto notável, multiplicação da soma pela diferença. Observe:

Após a racionalização, a representação fracionária se torna mais simples e o denominador passa a ser representado por um número inteiro. Dessa maneira, qualquer continuidade nos cálculos será possível sem muita complexidade.

Rosimar Gouveia

Professora de Matemática e Física

A racionalização de denominadores é um procedimento cujo objetivo é transformar uma fração com denominador irracional em uma fração equivalente com denominador racional.

Utilizamos essa técnica pois o resultado da divisão por um número irracional apresenta um valor com muito pouca precisão.

Quando multiplicamos o denominador e o numerador de uma fração por um mesmo número, obtemos uma fração equivalente, ou seja, frações que representam um mesmo valor.

Sendo assim, racionalizar consiste em multiplicar o denominador e o numerador por um mesmo número. O número escolhido para isso é chamado de conjugado.

Conjugado de um número

O conjugado do número irracional é aquele que ao ser multiplicado pelo irracional dará como resultado um número racional, ou seja, um número sem a raiz.

Quando for raiz quadrada, o conjugado será igual a própria raiz, pois a multiplicação do número por ele mesmo é igual ao número elevado ao quadrado. Desta forma, pode-se eliminar a raiz.

Exemplo 1

Encontre o conjugado da raiz quadrada de 2.

Solução

O conjugado da

Quando a raiz apresentar índice diferente de 2, o conjugado terá o mesmo índice da raiz, só que será necessário encontrar o expoente que, somado ao expoente do número inicial, dê como resultado um valor igual ao índice da raiz.

Exemplo 2

Qual o conjugado da raiz cúbica de 2?

Solução

Para encontrar o conjugado de , não é possível simplesmente multiplicarmos pela raiz cúbica de 2, pois o resultado será raiz cúbica de 4 e não dará para eliminar a raiz.

Note que o expoente do 2 é 1, assim, se somarmos o 2, teremos o novo expoente igual a 3, que é igual ao índice da raiz. Dessa forma, temos:

Portanto, o conjugado da raiz cúbica de 2 é a raiz cúbica de 4 (22 = 4).

Algumas vezes, pode aparecer no denominador uma soma ou subtração de raízes quadradas. Neste caso, o conjugado será igual às raízes com a operação inversa.

Exemplo 3

Qual o conjugado de ?

Solução

O conjugado será igual a , pois ao multiplicar esses números temos como resultado um número racional, ou seja:

Para saber mais, veja também:

• Radiciação
• Potenciação
• Potenciação e radiciação - resumo

Racionalizando um fração

Para racionalizar uma fração, devemos seguir os seguintes passos:

• Encontrar o conjugado do denominador. Como vimos, o conjugado deve ser tal que elimine a raiz do denominador.
• Multiplicar o conjugado em cima e embaixo da fração.
• Simplificar a fração equivalente encontrada.

Exemplos

Exemplo 1

A área do triângulo representado abaixo é igual a 15 cm2. Considerando que sua base é igual a , encontre o valor da sua altura.

Solução

A área do triângulo é encontrada multiplicando-se a base pela altura e dividindo por 2, assim, temos:

Como o valor encontrado para a altura tem uma raiz no denominador, vamos racionalizar essa fração. Para isso, devemos encontrar o conjugado da raiz. Como a raiz é quadrada, o conjugado será a própria raiz.

Então, vamos multiplicar o numerador e o denominador da fração por esse valor:

Para finalizar, podemos simplificar a fração dividindo em cima e embaixo por 5. Note que não podemos simplificar o 5 do radical. Assim:

Exemplo 2

Racionalize a fração

Solução

Vamos começar encontrando o conjugado da raiz cúbica de 4. Já sabemos que esse número deve ser tal que ao ser multiplicado pela raiz, dará como resultado um número racional.

Então, temos que pensar que se conseguirmos escrever o radicando como uma potência de expoente igual a 3, podemos eliminar a raiz.

O número 4 pode ser escrito como 22, então, se multiplicarmos por 2, o expoente passará para 3. Assim, se multiplicarmos a raiz cúbica de 4 pela raiz cúbica de 2, teremos como resultado um número racional.

Multiplicando o numerador e o denominador da fração por essa raiz, temos:

Exercícios Resolvidos

1) IFCE - 2017

Aproximando os valores de até a segunda casa decimal, obtemos 2,23 e 1,73, respectivamente. Aproximando o valor de até a segunda casa decimal, obtemos

a) 1,98. b) 0,96. c) 3,96. d) 0,48.

e) 0,25.

2) EPCAR - 2015

O valor da soma

é um número

a) natural menor que 10 b) natural maior que 10 c) racional não inteiro.

d) irracional.

Veja a resolução comentada destas e de outras questões em Exercícios de Radiciação e Exercícios de Potenciação.