Como calcular a raiz quadrada de uma média geométrica

Abaixo deixo para você uma calculadora de média geométrica, basta informar todos os números do conjuntos e clicar em calcular. Muito importante que os números sejam separados por virgula, e caso o conjunto tenha algum número com virgula, utilize PONTO.

A média geométrica é um importante instrumento de cálculo dentro da matemática. Esse instrumento é definido como a raiz n-ésima no caso de números do tipo positivo. Nesse caso, essa definição se aplica a conjuntos de dados onde há n elementos. Por se tratar de uma média que acompanha a tendência central de um grupo numérico, a média geométrica também é utilizada frequentemente em dados que possuem aumento gradual de forma sucessiva.

Neste post, explicaremos em detalhes o que é média geométrica, para que ela serve, quais são as suas aplicações na matemática, entre outras informações importantes sobre o assunto. Além disso, ensinaremos a seguir como calcular média geométrica através de alguns exemplos práticos e simples. Confira tudo isso a seguir e muito mais.

O que é média geométrica?

A média geométrica aplicada a um grupo de números positivos corresponde justamente ao produto presente em cada um dos membros desse grupo elevados ao inverso do total de números dentro do grupo. Essa definição aponta para a tendência central de uma forma diferente da média aritmética, que conta com a soma dos valores, em vez dos produtos de cada um dos valores do grupo numérico.

Fórmula e aplicações da média geométrica

Para calcular a média geométrica, é necessário utilizar uma fórmula criada especificamente para esse tipo de cálculo. Nesse caso, temos a seguinte fórmula:

Todas essas letras e números representam as seguintes informações no cálculo:

M(g) = média geométrica;

n = total de elementos do conjunto numérico;

X1, X2, X3, …, Xn = números do conjunto.

Sendo assim, temos que a fórmula acima pode ser aplicada a qualquer conjunto numérico para identificar a média geométrica entre os elementos. Por exemplo, entre os números 3, 8 e 9, temos o seguinte cálculo da média geométrica:

Já as aplicações desse cálculo se aplicam principalmente a interpretações geométricas, por isso, o cálculo se chama justamente média geométrica. Com esse tipo de cálculo é possível atingir diversos resultados e interpretações diferentes, como calcular um dos lados de um quadrado apenas com a área de um retângulo.

Outra aplicação muito utilizada na média geométrica é quando é preciso descobrir a média de determinados valores que se altera continuamente. Como exemplo, temos as aplicações de finanças, que possuem diversas variações de valores que não seguem padrões claros. Por isso, é utilizado a média geométrica para determinar a média entre os valores do grupo de dados.

Nesse caso, a média geométrica se aplica da seguinte forma: um investimento que possui rendimento de 5% no primeiro ano, 7% no segundo ano, e 6% no terceiro ano, qual é o rendimento médio? Para descobrir essa média entre valores diferentes, é necessário aplicar a fórmula da média geométrica. Quando aplicados o cálculo como mencionado na fórmula, temos os seguinte resultado para essa questão: 0,05996. Nesse caso, a interpretação da média geométrica pode ser de 6%, o que indica que o rendimento médio desse investimento a cada ano foi de 6%.

Como calcular a média geométrica?

O cálculo de média geométrica pode ser feito a partir da fórmula que mencionamos logo acima, ou ainda através de outros métodos que se diferem dependendo dos dados informados. Por exemplo, quando há apenas dois números em um conjunto numérico, é possível aplicar o método simples ou de dois números ou a aplicação mais detalhada. Quando há três números ou mais, há um tipo diferente de cálculo que também possui aplicação simples ou detalhada. Confira a seguir cada uma dessas modalidades de cálculo da média geométrica:

Método simples para dois números

O método simples para dois números é feito a partir de contas simples. Para aplicar esse método, é preciso ter os números que você deseja saber a média geométrica e multiplicá-los um pelo outro. O resultado dessa multiplicação se torna uma raiz quadrada, onde o resultado do cálculo é a média geométrica. Confira o exemplo a seguir:

Exemplo

Média geométrica de 2 e 32:

2 x 32 = 64

√64 = 8

Método detalhado para dois números

O método detalhado para dois números é um pouco mais complexo, mas pode ser feito também para obter a média geométrica entre dois números. Nesse caso, é necessário aplicar a regra de três entre os dados para obter o resultado da média geométrica. Para isso, tenha os dois números e escreva-os em uma regra de três, onde o primeiro número aparece na primeira fração, e o segundo na segunda fração. Coloque x para preencher o espaço vazio e realize a multiplicação cruzada entre os dois valores e os dois X. Depois, você terá que encontrar o valor da raiz quadrada do número resultando da operação anterior. O resultado disso tudo será a média geométrica. Acompanhe o exemplo a seguir:

Exemplo

Média geométrica de 10 e 15:

Método simples para três ou mais números

Para utilizar o método simples para três ou mais números, é necessário aplicar a seguinte fórmula: média = (a₁ x a₂ x a₃ … an)¹/ⁿ. Onde a₁, a₂… indica a sequência dos números do conjunto de dados. Já a letra n significa o número de números que corresponde ao conjunto.

Sendo assim, vamos ao cálculo:

Exemplo

Média geométrica de 5, 3 e 12:

Método detalhado para três números

Neste método, é necessário aplicar o cálculo de logaritmo para obter a média geométrica entre os três números. Primeiro, definimos os três números que serão utilizados no cálculo e somamos cada um dos números. Feito isso, será necessário dividir o resultado pelo total de número da sequência numérica, como na fórmula a seguir: média = log(1) + log(2) + log(3) … log(n) / n. Confira a seguir um exemplo de aplicação dessa fórmula:

Exemplo

Média geométrica de 7, 9 e 12:

Média = log(7) + log(9) + log(12) / 3

Média = 2.878521796 / 3

Média = 0.959507265

antilog(0.959507265) = 10 ⁰·⁹⁵⁹⁵⁰⁷²⁶⁵

10 ⁰·⁹⁵⁹⁵⁰⁷²⁶⁵ = 9.11

Na estatística, não só a média geométrica, mas todas as médias são essenciais para buscar um único valor que melhor represente os resultados obtidos em um conjunto de dados. São conhecidas como médias pitagóricas a média geométrica, a média aritmética e a média harmônica. O conjunto de dados e a forma como seus elementos se relacionam indicam qual deve ser a melhor média a ser aplicada.

A média geométrica é aplicada em dados que se comportam como uma progressão geométrica, cujo crescimento é próximo ao de uma função exponencial. Para encontrar o valor dela, utilizamos uma fórmula específica. Dado um conjunto com n elementos, a média geométrica é dada pela raiz enésima do produto desses elementos.

Leia também: Estatística no Enem: como esse tema é cobrado?

Fórmula da média geométrica

Para encontrar a média geométrica em um conjunto A, sendo A = {x1, x2, x3, ... xn} um conjunto de valores com n elementos, utilizamos a fórmula:

Basta aplicar a fórmula para encontrar o valor da média geométrica.

Exemplo:

Vamos calcular a média geométrica do conjunto a seguir.

A:{3,9, 12, 24, 32}

Em primeira análise, é possível perceber que esse conjunto possui 5 elementos, logo vamos calcular a raiz 5ª do produto entre esses números.

Para realizar a simplificação, podemos contar com a ajuda de uma calculadora e realizar a multiplicação de todos esses números e, posteriormente, calcular a raiz quinta. Outra forma, que é a que vamos utilizar, é reescrever os números em fatores primos para facilitar a conta.

Realizando a decomposição em fatores primos, temos:

Então:

3 = 3

9 = 3²

12 = 3·2²

24 = 3· 2³

32 = 25

Realizando as substituições na fórmula, teremos:

Agora aplicando a propriedade das potências, podemos somar os expoentes de base igual, logo encontraremos:

Logo, a média geométrica do conjunto A é igual a 12.

Veja também: Medidas de dispersão: amplitude e desvio

Aplicações da média geométrica

Podemos aplicar a média geométrica em situações cotidianas que envolvam progressões geométricas. Tendo um conjunto de dados, é sempre possível encontrar a média geométrica entre eles.

Exemplo 1

→ Aplicação na geometria

Um quadrado e um retângulo possuem a mesma área. Sabendo que as dimensões do retângulo são 12 e 4, calcule o valor do lado do quadrado.

Como a área é calculada pelo produto entre a base e a altura do retângulo e, nesse caso, elas são iguais, então basta calcular a média geométrica dos lados do retângulo.

Exemplo 2

→ Aplicação em progressão geométrica

A população de uma determinada cultura de bactérias foi medida diariamente durante 5 dias e pode ser representada pela PG (1,3,9,27,81). Qual é a média geométrica desse conjunto?

Note que a média geométrica da progressão foi o termo central. Isso sempre vai ocorrer em se tratando de uma progressão geométrica.

Diferença entre média geométrica e média aritmética

A média geométrica e a média aritmética, junto com a média harmônica, são conhecidas como médias pitagóricas. Todas as três são utilizadas na estatística, cada uma delas em um caso. A média aritmética é a mais comum delas, e a diferença entre ela e a média geométrica não está na importância entre elas, mas sim na fórmula utilizada para calculá-las. Como as fórmulas são diferentes, dado um mesmo conjunto de dados, a média aritmética e a média geométrica são quase sempre valores diferentes.

Vejamos as fórmulas para calcular cada uma delas:

Ma → média aritmética

Mg → média geométrica

n → quantidade de elementos no conjunto

Exemplo:

Dado o conjunto A: (4,6,8,10), calcule a média geométrica e a média aritmética desse conjunto.

Acesse também: Medidas de estatística: médias aritmética, ponderada e geométrica

Exercícios resolvidos

Questão 1 – Um cubo e um prisma possuem a mesma capacidade. Sabendo que o prisma possui base retangular e que as suas dimensões são 10 cm, 12 cm e 9 cm. Cada uma das arestas do cubo mede:

Resolução

Alternativa D.

Como a capacidade dos sólidos é a mesma, então, para encontrar a aresta do cubo, basta calcular a média geométrica entre as arestas do prisma.

Questão 2 – Em uma progressão geométrica, a média geométrica entre o sucessor e o antecessor de n é sempre igual ao próprio n. Sabendo disso, o valor de x na progressão geométrica (x, 12, 9x) é de?

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

Resolução

Alternativa D.

Por ser uma progressão geométrica, sabemos que a média geométrica entre x e 9 x é igual a 12.