Privasi Anda penting bagi kami. Untuk alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap baca kebijakan privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.
Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi
Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi orang tertentu atau menghubunginya.
Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.
Berikut ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan bagaimana kami dapat menggunakan informasi tersebut.
Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:
- Saat Anda mengajukan aplikasi di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.
Bagaimana kami menggunakan informasi pribadi Anda:
- Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami untuk menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
- Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting kepada Anda.
- Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian untuk meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi terkait layanan kami.
- Jika Anda mengikuti undian berhadiah, kontes, atau insentif serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.
Pengungkapan kepada pihak ketiga
Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.
Pengecualian:
- Jika perlu - sesuai dengan hukum, perintah pengadilan, dalam proses hukum, dan / atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari badan-badan negara di wilayah Federasi Rusia - mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menentukan bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
- Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada penerus pihak ketiga yang relevan.
Perlindungan informasi pribadi
Kami mengambil tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta dari akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran yang tidak sah.
Menjaga privasi Anda di tingkat perusahaan
Untuk memastikan bahwa informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan praktik privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan secara ketat menegakkan praktik privasi.
Tegak lurus adalah hubungan antara berbagai objek dalam ruang Euclidean - garis, bidang, vektor, subruang, dan sebagainya. Dalam materi ini, kita akan melihat lebih dekat garis tegak lurus dan fitur karakteristik yang terkait dengannya. Dua garis dapat disebut tegak lurus (atau saling tegak lurus) jika keempat sudut yang dibentuk oleh perpotongannya tepat sembilan puluh derajat.
Ada sifat-sifat tertentu dari garis tegak lurus yang direalisasikan pada bidang:
Konstruksi garis tegak lurus
Garis tegak lurus dibangun di atas bidang menggunakan persegi. Setiap juru gambar harus ingat bahwa fitur penting dari setiap bujur sangkar adalah bahwa ia harus memiliki sudut siku-siku. Untuk membuat dua garis tegak lurus, kita harus mencocokkan salah satu dari dua sisi sudut siku-siku . kita
menggambar persegi dengan garis lurus tertentu dan menggambar garis lurus kedua di sepanjang sisi kedua sudut siku-siku ini. Ini akan membuat dua garis tegak lurus.
ruang tiga dimensi
Fakta yang menarik adalah bahwa garis tegak lurus dapat diwujudkan dan dalam hal ini dua garis akan disebut demikian jika masing-masing sejajar dengan dua garis lain yang terletak pada bidang yang sama dan juga tegak lurus di dalamnya. Selain itu, jika hanya dua garis lurus yang dapat tegak lurus pada sebuah bidang, maka dalam ruang tiga dimensi sudah ada tiga. Selain itu, jumlah garis tegak lurus (atau bidang) dapat lebih ditingkatkan.
Definisi garis tegak lurus
Garis tegak lurus.
Misalkan a dan b adalah garis lurus yang berpotongan di titik A (Gbr. 1). Masing-masing garis ini dibagi oleh titik A menjadi dua setengah garis. Setengah garis dari satu garis membentuk empat sudut dengan setengah garis dari garis lainnya. Biarkan alfa menjadi salah satu sudut ini. Kemudian salah satu dari tiga sudut lainnya akan berdekatan dengan alfa atau vertikal ke alfa.
Oleh karena itu, jika salah satu sudutnya siku-siku, maka sudut-sudut yang lain juga siku-siku.Dalam hal ini, kita katakan bahwa garis-garis tersebut berpotongan tegak lurus.
Definisi.Dua garis disebut tegak lurus jika mereka berpotongan tegak lurus (Gbr. 2).
Dalil.
Melalui setiap titik garis, seseorang dapat menggambar garis yang tegak lurus terhadapnya, dan hanya satu.
Bukti.Biarkan a menjadi garis tertentu dan A adalah titik tertentu di atasnya. Dilambangkan dengan kapak salah satu setengah garis dengan garis lurus a dengan titik awal A (Gbr. 3). Mari kita sisihkan sudut (a1b1) sebesar 90° dari setengah garis a1. Maka garis yang memuat sinar b1 akan tegak lurus dengan garis a.
Misalkan ada garis lain yang melalui titik A dan tegak lurus garis a. Dilambangkan dengan c1 setengah garis dari garis ini terletak pada setengah bidang yang sama dengan sinar b2. Sudut (a1b1) dan (a1c1), masing-masing sama dengan 90°, diletakkan dalam satu setengah bidang dari setengah garis a1. Tetapi hanya satu sudut yang besarnya sama dengan 90° yang dapat ditarik dari setengah garis a1 ke dalam setengah bidang ini. Oleh karena itu, tidak mungkin ada garis lain yang melalui titik A dan tegak lurus garis a. Teorema telah terbukti.
Definisi.
Tegak lurus terhadap suatu garis adalah suatu ruas garis yang tegak lurus terhadap suatu garis yang diberikan, yang salah satu ujungnya pada titik perpotongannya. Ujung segmen ini disebut alas tegak lurus.
Pada Gambar 4, tegak lurus AB ditarik dari titik A ke garis a. Titik B adalah alas dari garis tegak lurus.
Untuk membangun tegak lurus, gunakan gambar persegi (Gbr. 5).
Dua garis yang berpotongan disebut tegak lurus (atau saling tegak lurus) jika keduanya membentuk empat sudut siku-siku. Tegak lurus garis AC dan BD dilambangkan sebagai berikut: AC BD (terbaca: “Garis AC tegak lurus garis BD”). Perhatikan bahwa dua garis tegak lurus terhadap garis ketiga tidak berpotongan (Gbr. 6a). Memang, perhatikan garis AA1 dan BB1 tegak lurus terhadap garis PQ (Gbr. 6b). Mari kita secara mental melipat gambar di sepanjang garis lurus PQ sehingga bagian atas gambar tumpang tindih dengan bagian bawah. Karena sudut siku-siku 1 dan 2 sama besar, sinar RA akan menimpa sinar RA1. Demikian pula, sinar QB akan tumpang tindih dengan sinar QB1. Oleh karena itu, jika kita asumsikan bahwa garis AA1 dan BB1 berpotongan di titik M, maka titik ini akan ditumpangkan pada beberapa titik M1 yang juga terletak pada garis ini (Gbr. 6, c), dan kita akan mendapatkan bahwa dua garis melewati titik M dan M1: AA1 dan BB1. Tapi ini tidak mungkin. Oleh karena itu, asumsi kami salah dan, oleh karena itu, garis AA1 dan BB1 tidak berpotongan.
Konstruksi sudut siku-siku di tanah
Untuk membangun sudut kanan di tanah, perangkat khusus digunakan, yang paling sederhana adalah eker. Eker terdiri dari dua batang yang terletak di sudut kanan dan dipasang pada tripod (Gbr. 7). Di ujung paku, paku didorong ke dalam sehingga garis lurus yang melewatinya saling tegak lurus. Untuk membangun sudut siku-siku di tanah dengan sisi OA yang diberikan, pasang tripod dengan eker sehingga garis tegak lurus tepat di atas titik O, dan arah satu batang bertepatan dengan arah balok OA. Kombinasi arah ini dapat dilakukan dengan bantuan tonggak yang ditempatkan pada balok. Kemudian mereka menggantung garis lurus ke arah bar lain (OB lurus pada Gambar 7). Ternyata sudut siku-siku AOB. Dalam geodesi, instrumen yang lebih maju, seperti theodolite, digunakan untuk membangun sudut siku-siku.
Secara horizontal:
3
. Ruas garis yang menghubungkan suatu titik pada lingkaran dengan pusatnya. 6
. Pernyataan yang tidak memerlukan bukti. 9
. Konstruksi, sistem pemikiran. 10
. Jenis segi empat. 15
. Ruas garis yang menghubungkan dua titik pada suatu kurva. 16
. Sebuah ukuran panjang. 17
18
. Titik potong diameter lingkaran. 19
. fungsi trigonometri. 20
. Bagian dari lingkaran. 21
. Ukuran panjang kuno.
Tegak lurus:
1
. Karakter alfabet. 2
. Jenis jajaran genjang. 4
. Tali busur yang melalui pusat lingkaran. 5
. Elemen geometris. 7
. Sinar yang membagi sudut. 8
. Simbol alfabet Yunani. 10
. Jumlah panjang sisi segitiga. 11
. Kalimat bantu yang digunakan untuk pembuktian. 12
. Elemen segitiga siku-siku. 13
. Salah satu garis segitiga yang indah. 14
. fungsi trigonometri.
Ada tugas seperti itu:
Ada 10 mata air ajaib di Hutan Ajaib - nomor 1, 2, 3, ... 10. Air dari setiap sumber tidak dapat dibedakan dalam warna, rasa dan bau dari air biasa, tetapi itu adalah racun yang paling kuat. Orang yang meminumnya dikutuk - jika hanya dalam satu jam setelah itu dia tidak minum air sumber dengan jumlah yang lebih tinggi (misalnya, sumber 4-10 diselamatkan dari racun sumber 3; racun sumber ke-10 tidak meninggalkan kesempatan untuk keselamatan). 9 mata air pertama tersedia untuk umum, tetapi mata air 10 berada di gua Kashchei the Immortal, dan hanya Kashchei yang memiliki akses ke sana. Dan kemudian suatu hari Ivan the Fool menantang Kashchei untuk berduel. Syaratnya sederhana: masing-masing membawa segelas cairan, lawan bertukar gelas dan meminum isinya. Dan kemudian mereka melakukan apa yang mereka bisa. Kaschei senang. Tetap saja: dia akan memberi Ivan racun nomor 10, dan tidak ada yang bisa menyelamatkan Ivan. Dan dia sendiri akan meminum racun yang diberikan oleh Ivan dengan air dari sumber ke-10 - dan dia akan diselamatkan.
Cobalah untuk mengembangkan rencana duel untuk Ivan. Tugasnya adalah tetap hidup dan menghabisi Kashchei.
Jawaban 1.
Buang Kaschei. Dia perlu diberi bukan racun, tetapi air bersih. Dia akan meminumnya dengan racunnya - dan dia akan dihukum.
Jawaban 2.
Jangan sampai dirimu terbunuh. Racun apapun selain nomor 1 juga bisa menjadi penawarnya. Sebelum Anda datang ke duel, Anda perlu minum racun dalam jumlah kecil. Dan kemudian racun nomor 10, yang diterima dari Kashchei dalam duel, tidak akan membunuh, tetapi menyelamatkan.
Secara umum, idenya sepele. Tidak selalu mungkin untuk menimbang suatu tindakan secara terpisah. Tindakan yang sama dapat menjadi racun dan penawar. Banyak tergantung pada latar belakang. Saya tidak akan mengatakan semuanya, tapi pasti banyak.
Dan ketika Anda mendengar bahwa salah satu kenalan Anda telah melakukan hal-hal keji ini dan itu dan itu, jangan terburu-buru untuk menutup label. Apakah Anda yakin itu omong kosong? Mungkinkah mereka hanya terlihat seperti ini? Apakah Anda yakin tahu latar belakang tindakan ini?
Konstruksi garis tegak lurus
Sekarang kita akan mencoba membangun garis tegak lurus menggunakan kompas. Untuk ini kita memiliki titik O dan garis a.
Gambar pertama menunjukkan garis di mana titik O terletak, dan pada gambar kedua, titik ini tidak terletak pada garis a.
Sekarang mari kita pertimbangkan kedua opsi ini secara terpisah.
pilihan pertama
Pertama, kami mengambil kompas, meletakkannya di tengah titik O dan menggambar lingkaran dengan jari-jari sewenang-wenang. Sekarang kita lihat bahwa lingkaran yang diberikan memotong garis a di dua titik. Biarkan ini menjadi titik A dan B.
Selanjutnya kita ambil dan gambar lingkaran dari titik A dan B. Jari-jari lingkaran tersebut adalah AB, tetapi titik C akan menjadi titik potong lingkaran tersebut. Jika Anda ingat, pada awalnya kami mendapatkan titik A dan B ketika kami menggambar lingkaran dan mengambil radius yang sewenang-wenang.
Hasilnya, kita melihat bahwa garis tegak lurus yang diinginkan melewati titik C dan O.
Bukti
Untuk pembuktian ini, kita perlu menggambar segmen AC dan CB. Dan kita lihat bahwa segitiga yang dihasilkan adalah sama: ACO = BCO, ini mengikuti dari kriteria ketiga untuk persamaan segitiga, yaitu, ternyata AO = OB, AC = CB, dan CO umum dalam konstruksi. Sudut yang dihasilkan COA dan COB sama besar dan keduanya memiliki besar sama dengan 90°. Sehingga garis CO tegak lurus dengan AB.
Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa sudut-sudut yang terbentuk pada perpotongan dua garis adalah tegak lurus jika setidaknya salah satunya tegak lurus, yang berarti bahwa sudut tersebut adalah 90 derajat dan siku-siku.
pilihan ke-2
Dan sekarang mari kita pertimbangkan varian membangun garis tegak lurus, di mana titik yang diberikan tidak terletak pada garis a.
Dalam hal ini, dengan bantuan kompas, dari titik O, kami menggambar lingkaran dengan jari-jari sedemikian rupa sehingga lingkaran ini memotong garis a. Dan biarkan titik A dan B menjadi titik potong lingkaran ini dengan garis a yang diberikan.
Selanjutnya, kami mengambil jari-jari yang sama, tetapi kami menggambar lingkaran, yang pusatnya akan menjadi titik A dan B. Kami melihat gambar dan melihat bahwa kami memiliki titik O1, yang juga merupakan titik perpotongan lingkaran dan terletak dalam setengah bidang, tetapi berbeda dari yang di mana titik O berada.
Hal selanjutnya yang akan kita lakukan adalah menggambar garis lurus melalui titik O dan O1. Ini akan menjadi garis tegak lurus yang kita cari.
Bukti
Mari kita asumsikan bahwa titik perpotongan garis OO1 dan AB adalah titik C. Maka segitiga AOB dan BO1A adalah sama besar menurut kriteria persamaan segitiga ketiga dan AO = OB = AO1 = O1B, dan AB umum dalam konstruksi. Dari sini dapat disimpulkan bahwa sudut OAC dan O1AC adalah sama. Segitiga OAC dan O1AC, mengikuti dari tanda pertama persamaan segitiga, AO sama dengan AO1, dan dengan konstruksi, sudut OAC dan O1AC sama dengan AC umum. Oleh karena itu, sudut OCA sama dengan sudut O1CA, tetapi karena mereka berdekatan, berarti mereka adalah garis lurus. Oleh karena itu, kami menyimpulkan bahwa OC adalah tegak lurus, yang dijatuhkan dari titik O ke garis a.
Jadi, hanya dengan bantuan kompas dan penggaris, Anda dapat dengan mudah membuat garis tegak lurus. Dan tidak masalah di mana titik yang harus dilalui tegak lurus berada, pada segmen atau di luar segmen ini, hal utama dalam kasus ini adalah menemukan dan menunjuk dengan benar titik awal A dan B.
Pertanyaan:
- Garis manakah yang disebut tegak lurus?
- Berapa sudut antara garis tegak lurus?
- Apa yang Anda gunakan untuk menggambar garis tegak lurus?
Garis tegak lurus membentuk seluruh lapisan gambar, konstruksi dan perhitungan dalam geometri. Tanpa pemahaman tentang garis tegak lurus, tidak akan mungkin untuk memecahkan bentuk seperti segitiga siku-siku, persegi panjang, trapesium persegi atau persegi panjang. Oleh karena itu, perhatian khusus harus diberikan pada konsep-konsep ini.
Apa itu garis tegak lurus?
Ketika dua garis berpotongan, 4 sudut terbentuk. Definisi garis tegak lurus adalah sebagai berikut: ini adalah garis, yang sudutnya sama dengan 90 derajat. Hanya ada 4 sudut, sudut penuh adalah 360 derajat. Jika salah satu sudutnya 90 derajat, maka 3 sudut lainnya adalah 90 derajat.
Agar segmen disebut tegak lurus, dua kondisi juga harus dipenuhi: segmen harus berpotongan, dan sudut perpotongan di antara mereka harus 90 derajat.
Beras. 1. Garis tegak lurus.
Properti
Garis tegak lurus tidak memiliki banyak properti. Semuanya tidak memerlukan pembuktian, karena berangkat dari definisi tegak lurus.
- Jika masing-masing dua garis tegak lurus dengan garis ketiga, maka garis-garis ini sejajar. Dan mereka sejajar karena fakta bahwa sudut satu sisi yang dihasilkan akan bertambah hingga 180 derajat. Jadi, garis sejajar menurut tanda ke-3 paralelisme. Sifat ini dapat dibuktikan dengan salah satu dari tiga kriteria paralelisme.
- Ruas tegak lurus dari suatu titik ke suatu garis atau ruas garis akan disebut jarak dari suatu titik ke suatu garis.
- Jarak dari suatu garis ke suatu garis juga merupakan suatu tegak lurus yang dijatuhkan dari suatu titik pada suatu garis ke garis yang lain.
- Jika jarak antara keduanya tidak berubah sepanjang dua garis lurus, maka garis tersebut akan sejajar.
Angka dengan garis tegak lurus
Salah satu bentuk pertama yang ditemui seseorang adalah persegi dan persegi panjang.
Sudut siku-siku menyenangkan mata manusia, sehingga sangat sering persegi atau persegi panjang digunakan sebagai bentuk untuk meja, kursi, meja samping tempat tidur, dan barang-barang lainnya. Seluruh dunia di sekitar seseorang terdiri dari garis paralel dan tegak lurus.
Beras. 2. Persegi.
Sejak Yunani kuno, segitiga siku-siku telah dikenal. Berbagai instrumen navigasi berbentuk segitiga siku-siku, selain itu, Pythagoras menghabiskan banyak waktu mempelajari sifat-sifat segitiga siku-siku. Ini adalah kepengarangannya yang termasuk dalam Teorema Pythagoras, yang sangat dibutuhkan dalam memecahkan masalah.
Ada trapesium persegi panjang yang salah satu sisinya berbentuk persegi panjang dengan kedua alasnya. Dan planometri penuh dengan garis tegak lurus di ruang angkasa: prisma biasa, piramida persegi panjang, dan kubus paling biasa.
Selain itu, dalam segitiga apa pun Anda dapat menggambar ketinggian, yang diperlukan untuk menemukan luas gambar. Tegak lurus untuk menemukan luas juga berguna dalam jajar genjang, dan segitiga siku-siku dan bujur sangkar memiliki tinggi sebagai bagian dari sisinya, yang membuat luas angka-angka ini lebih mudah ditemukan.
Artikel ini membahas masalah garis tegak lurus pada bidang dan ruang tiga dimensi. Kami akan menganalisis secara rinci definisi garis tegak lurus dan peruntukannya dengan contoh yang diberikan. Pertimbangkan kondisi untuk menerapkan kondisi perlu dan cukup untuk tegak lurus dua garis dan pertimbangkan secara rinci dengan sebuah contoh.
Sudut antara garis berpotongan di ruang angkasa bisa benar. Maka garis-garis yang diberikan dikatakan tegak lurus. Ketika sudut antara garis miring adalah garis lurus, maka garis tersebut juga tegak lurus. Dari sini dapat disimpulkan bahwa garis-garis tegak lurus pada bidang berpotongan, dan garis-garis tegak lurus ruang dapat berpotongan dan miring.
Artinya, konsep "garis a dan b tegak lurus" dan "garis b dan a tegak lurus" dianggap sama. Di sinilah konsep garis yang saling tegak lurus berasal. Meringkas hal di atas, pertimbangkan definisinya.
Definisi 1
Dua garis disebut tegak lurus jika sudut perpotongannya 90 derajat.
Tegak lurus dilambangkan dengan "⊥", dan notasinya menjadi a b, yang berarti bahwa garis a tegak lurus dengan garis b.
Misalnya, garis tegak lurus pada bidang dapat berupa sisi persegi dengan titik sudut yang sama. Dalam ruang tiga dimensi, garis O x , O z , O y tegak lurus berpasangan: O x dan O z , O x dan O y , O y dan O z .
Tegak lurus garis - kondisi tegak lurus
Anda perlu mengetahui sifat-sifat tegak lurus, karena sebagian besar masalah datang untuk memeriksanya untuk solusi selanjutnya. Ada kasus ketika tegak lurus sudah dibahas dalam kondisi penugasan atau ketika perlu untuk menggunakan bukti. Untuk membuktikan tegak lurus, cukup sudut antara garis-garis itu siku-siku.
Untuk menentukan tegak lurusnya dengan persamaan yang diketahui dari sistem koordinat persegi panjang, perlu untuk menerapkan kondisi perlu dan cukup untuk tegak lurus garis. Mari kita lihat susunan kata.
Teorema 1
Agar garis a dan b tegak lurus, perlu dan cukup bahwa vektor arah garis memiliki tegak lurus terhadap vektor arah garis b yang diberikan.
Pembuktian itu sendiri didasarkan pada definisi vektor pengarah garis dan pada definisi tegak lurus garis.
Bukti 1
Biarkan sistem koordinat Cartesian persegi panjang O x y diperkenalkan dengan persamaan garis lurus yang diberikan pada bidang yang mendefinisikan garis a dan b. Kami menyatakan vektor arah garis a dan b sebagai a → dan b → . Dari persamaan garis a dan b, syarat perlu dan cukup adalah tegak lurus dari vektor a → dan b → . Ini hanya mungkin jika produk skalar dari vektor a → = (a x , a y) dan b → = (b x , b y) sama dengan nol, dan notasinya adalah a → , b → = a x b x + a y b y = 0 . Kami memperoleh bahwa kondisi yang diperlukan dan cukup untuk tegak lurus garis a dan blok dalam sistem koordinat persegi panjang O x y pada bidang adalah a → , b → = a x b x + a y b y = 0 , di mana a → = (a x , a y) dan b → = b x , b y adalah vektor arah dari garis a dan b .
Kondisi ini dapat diterapkan bila perlu untuk menemukan koordinat vektor arah atau dengan adanya persamaan kanonik atau parametrik garis pada bidang garis a dan b yang diberikan.
Contoh 1
Tiga titik A (8 , 6) , B (6 , 3) , C (2 , 10) diberikan dalam sistem koordinat persegi panjang O x y. Tentukan apakah garis A B dan A C tegak lurus atau tidak.
Keputusan
Garis A B dan A C masing-masing memiliki vektor arah A B → dan A C →. Pertama, mari kita hitung A B → = (- 2 , - 3) , A C → = (- 6 , 4) . Kami memperoleh bahwa vektor A B → dan A C → tegak lurus dari properti produk skalar vektor sama dengan nol.
A B → , A C → = (- 2) (- 6) + (- 3) 4 = 0
Jelas bahwa kondisi perlu dan cukup terpenuhi, yang berarti bahwa A B dan A C tegak lurus.
Menjawab: garis-garisnya tegak lurus.
Contoh 2
Tentukan apakah garis-garis yang diberikan x - 1 2 = y - 7 3 dan x = 1 + y = 2 - 2 · tegak lurus atau tidak.
Keputusan
a → = (2 , 3) adalah vektor arah dari garis yang diberikan x - 1 2 = y - 7 3 ,
b → = (1 , - 2) adalah vektor arah dari garis x = 1 + y = 2 - 2 · .
Mari kita lanjutkan ke perhitungan produk skalar dari vektor a → dan b → . Ekspresi akan ditulis:
a → , b → = 2 1 + 3 - 2 = 2 - 6 0
Hasil perkalian tidak sama dengan nol, dapat kita simpulkan bahwa vektor-vektor tersebut tidak tegak lurus, artinya garis-garisnya juga tidak tegak lurus.
Menjawab: garis tidak tegak lurus.
Syarat perlu dan cukup untuk tegak lurus garis a dan b diterapkan untuk ruang tiga dimensi, ditulis sebagai a → , b → = a x b x + a y b y + a z b z = 0 , di mana a → = (a x , a y , a z) dan b → = (b x , b y , b z) adalah vektor arah garis a dan b .
Contoh 3
Periksa tegak lurus garis dalam sistem koordinat persegi panjang ruang tiga dimensi, yang diberikan oleh persamaan x 2 \u003d y - 1 \u003d z + 1 0 dan x \u003d y \u003d 1 + 2 z = 4
Keputusan
Penyebut dari persamaan kanonik garis lurus dianggap sebagai koordinat vektor pengarah garis lurus. Koordinat vektor arah dari persamaan parametrik adalah koefisien. Oleh karena itu a → = (2 , - 1 , 0) dan b → = (1 , 2 , 4) adalah vektor arah dari garis yang diberikan. Untuk mengidentifikasi tegak lurus mereka, kami menemukan produk skalar vektor.
Ekspresi menjadi a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 + 0 4 = 0 .
Vektor-vektornya tegak lurus karena hasil kali sama dengan nol. Kondisi perlu dan cukup terpenuhi, yang berarti bahwa garis-garisnya juga tegak lurus.
Menjawab: garis-garisnya tegak lurus.
Pemeriksaan tegak lurus dapat dilakukan berdasarkan kondisi lain yang diperlukan dan cukup untuk tegak lurus.
Teorema 2
Garis a dan b pada bidang dianggap tegak lurus ketika vektor normal garis a tegak lurus terhadap vektor b, ini adalah kondisi perlu dan cukup.
Bukti 2
Kondisi ini berlaku ketika persamaan garis memberikan penemuan cepat dari koordinat vektor normal dari garis yang diberikan. Artinya, jika ada persamaan umum garis lurus berbentuk A x + B y + C \u003d 0, persamaan garis lurus dalam segmen berbentuk x a + y b \u003d 1, persamaan garis lurus garis dengan kemiringan bentuk y \u003d k x + b, koordinat vektor dapat ditemukan.
Contoh 4
Tentukan apakah garis 3 x - y + 2 = 0 dan x 3 2 + y 1 2 = 1 tegak lurus.
Keputusan
Berdasarkan persamaan mereka, perlu untuk menemukan koordinat vektor normal dari garis lurus. Kita peroleh bahwa n → = (3 , - 1) adalah vektor normal untuk garis 3 x - y + 2 = 0 .
Mari kita sederhanakan persamaan x 3 2 + y 1 2 = 1 menjadi 2 3 x + 2 y - 1 = 0 . Sekarang koordinat vektor normal terlihat jelas, yang kita tulis dalam bentuk ini n b → = 2 3 , 2 .
Vektor n a → = (3 , - 1) dan n b → = 2 3 , 2 akan tegak lurus, karena hasil kali skalarnya akan menghasilkan nilai yang sama dengan 0 . Kami mendapatkan n a → , n b → = 3 2 3 + (- 1) 2 = 0 .
Syarat perlu dan cukup terpenuhi.
Menjawab: garis-garisnya tegak lurus.
Ketika garis a pada bidang didefinisikan menggunakan persamaan kemiringan y = k 1 x + b 1 , dan garis b - y = k 2 x + b 2 , maka vektor normal akan memiliki koordinat (k 1 , - 1) dan (k 2 , - 1) . Kondisi tegak lurus itu sendiri berkurang menjadi k 1 · k 2 + (- 1) · (- 1) = 0 k 1 · k 2 = - 1 .
Contoh 5
Tentukan apakah garis y = - 3 7 x dan y = 7 3 x - 1 2 tegak lurus.
Keputusan
Garis lurus y = - 3 7 x memiliki kemiringan sama dengan - 3 7 , dan garis lurus y = 7 3 x - 1 2 - 7 3 .
Produk dari koefisien kemiringan memberikan nilai - 1, - 3 7 · 7 3 = - 1, yaitu, garis-garisnya tegak lurus.
Menjawab: garis yang diberikan tegak lurus.
Ada syarat lain yang digunakan untuk menentukan tegak lurus garis pada bidang.
Teorema 3
Untuk tegak lurus garis a dan b pada bidang, syarat perlu dan cukup adalah kolinearitas vektor arah salah satu garis dengan vektor normal garis kedua.
Bukti 3
Kondisi ini dapat diterapkan bila dimungkinkan untuk menemukan vektor arah dari satu garis dan koordinat vektor normal dari yang lain. Dengan kata lain, satu garis lurus diberikan oleh persamaan kanonik atau parametrik, dan yang lainnya oleh persamaan umum garis lurus, persamaan segmen, atau persamaan garis lurus dengan kemiringan.
Contoh 6
Tentukan apakah garis-garis yang diberikan x - y - 1 = 0 dan x 0 = y - 4 2 tegak lurus.
Keputusan
Diketahui vektor normal garis x - y - 1 = 0 memiliki koordinat n a → = (1 , - 1) , dan b → = (0 , 2) adalah vektor arah garis x 0 = y - 4 2 .
Hal ini menunjukkan bahwa vektor n a → = (1, - 1) dan b → = (0, 2) tidak kolinear, karena kondisi kolinearitas tidak terpenuhi. Tidak ada bilangan t sedemikian sehingga persamaan n a → = t · b → berlaku. Jadi kesimpulannya bahwa garis-garis tersebut tidak tegak lurus.
Menjawab: garis tidak tegak lurus.
Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter