Getaran Harmonik : Pengertian, Syarat, Dan Rumus Beserta Contoh Soalnya Secara Lengkap
Pengertian Getaran Harmonik
Gerak harmonik merupakan gerak sebuah benda dimana grafik posisi partikel sebagai fungsi waktu berupa sinus (bisa dinyatakan dalam bentuk sinus atau kosinus). Gerak semacam ini disebut dengan gerak osilasi atau getaran harmonik.
Baca Juga Artikel Yang Mungkin Berhubungan : Hukum Archimides : Pengertian, Bunyi, Rumus Dan Contoh Soalnya Lengkap
Contoh getaran harmonik
- dawai pada alat musik
- gelombang radio
- arus listrik AC
- denyut jantung.
- Galileo di duga sudah memakai denyut jantungnya untuk pengukuran waktu dalam pengamatan gerak.
Syarat Getaran Harmonik
Syarat suatu gerak dikatakan getaran harmonik, yaitu antara lain :
- Gerakannya periodik (bolak-balik).
- Gerakannya selalu melewati posisi keseimbangan.
- Percepatan atau gaya yang bekerja pada benda sebanding dengan posisi/simpangan benda.
- Arah percepatan atau gaya yang bekerja pada suatu benda selalu mengarah ke posisi keseimbangan.
Baca Juga Artikel Yang Mungkin Berhubungan : Teori Hukum Ohm : Pengertian, Bunyi, Dan Rumus Serta Contoh Soalnya Lengkap
Periode dan Frekuensi Getaran Harmonik
a. Periode dan Frekuensi Sistem Pegas
Pada dasarnya, gerak harmonik adalah suatu gerak melingkar beraturan pada salah satu sumbu utama. Oleh sebab itu, periode dan frekuensi pada pegas bisa dihitung dengan menyamakan antara gaya pemulih (F = -kX) dan gaya sentripetal (F = -4π 2 mf2X).
Periode dan frekuensi sebuah sistem beban pegas hanya bergantung pada massa dan konstanta gaya pegas.
b. Periode dan Frekuensi Bandul Sederhana
Sebuah bandul sederhana terdiri atas sebuah beban bermassa m yang digantung di ujung tali ringan (massanya dapat diabaikan) yang panjangnya l. Bila beban ditarik ke satu sisi dan dilepaskan, maka beban berayun melalui titik keseimbangan menuju ke sisi yang lain.
Bila amplitudo ayunan kecil, maka bandul melakukan getaran harmonik. Periode dan frekuensi getaran pada bandul sederhana sama seperti pada pegas. Artinya, periode dan frekuensinya dapat dihitung dengan menyamakan gaya pemulih dan gaya sentripetal.
Persamaan gaya pemulih pada bandul sederhana adalah F = -mg sinθ . Untuk sudut θ kecil (θ dalam satuan radian), maka sin θ = θ . Oleh karena itu persamaannya dapat ditulis F = -mg (X/l). Karena persamaan gaya sentripetal adalah F = -4π 2 mf2X, maka kita peroleh persamaan sebagai berikut.
Periode dan frekuensi bandul sederhana tidak bergantung pada massa dan simpangan bandul, tetapi hanya bergantung pada panjang tali dan percepatan gravitasi setempat.
Contoh Soal Getaran Harmonik
Suatu benda bergetar hingga membentuk suatu gerak harmonis dengan persamaan
y = 0,04 sin 20π t
dengan y adalah simpangan dalam satuan meter, t yaitu waktu dalam satuan sekon. Tentukan beberapa besaran dari persamaan getaran harmonis tersebut: a) amplitudo b) frekuensi c) periode d) simpangan maksimum e) simpangan saat t = 1/60 sekon f) simpangan saat sudut fasenya 45°
g) sudut fase saat simpangannya 0,02 meter
Paolo Dini
Ilustrasi gerak harmonik sederhana pada pegas dengan beban, terlihat bahwa ditunjukkan sebuah puncak-puncak (amplitudo) dengan nilai yang sama.
KOMPAS.com - Suatu benda yang diletakkan pada pegas akan menimbulkan osilasi. Dilansir Encyclopedia Britannica (1998), osilasi merupakan gerakan benda bolak balik dari satu titik sampai kembali ke titik tersebut secara berulang.
Benda yang berosilasi antara dua titik dan memiliki simpangan terhadap waktu dapat dikatakan bahwa benda tersebut mengalami gerak harmonik sederhan (GHS).
Mengutip Oscillations and Waves: An Introduction, Second Edition (2018), pada gerak harmonik sederhana dihasilkan frekuensi yang seragam (tidak berubah-ubah). Sehingga frekuensi pada gerak harmonik sederhana (GHS) adalah tetap.
KOMPAS.com/RISYA FAUZIYYAH Gambar waktu satu osilasi suatu benda sebesar T, dan simpangan sebesar A
Pada gambar di atas, diketahui suatu benda berada di posisi (0,0) dimana merupakan posisi setimbang. Benda tersebut bergerak ke atas hingga titik maksimum dan kembali ke bawah hingga titik minimum.
Benda mulai bergerak kembali ke atas dari titik minimum, maka benda akan melalui titik setimbang lagi. Fenomena ini disebut satu osilasi sempurna. Waktu yang diperlukan untuk melakukan satu osilasi disebut dengan periode.
Baca juga: Pengertian Frekuensi dan Gelombang
Berdasarkan konsep gerak melingkar, jumlah osilasi per satuan waktu disebut sebagai frekuensi.
Grafik osilasi di atas menunjukkan prinsip gerak harmonik sederhana. Gerak harmonik sederhana merupakan gerak periodik yang memiliki simpangan maksimum dan simpangan minimum dengan jarak yang sama dari posisi setimbang (Amplitudo tetap).
Jarak ini disebut amplitudo yang merupakan simpangan terjauh dari kedudukan kesetimbangan, atau disebut dengan simpangan maksimumnya. Percepatan pada benda yang bergerak karena dipengaruhi oleh pegas, dapat dituliskan dengan persamaan berikut:
Benda yang melakukan gerak lurus berubah beraturan, mempunyai percepatan yang tetap. Ini berarti pada benda senantiasa bekerja gaya yang tetap, baik arahnya maupun besarnya. Bila gayanya selalu berubah-ubah, percepatannyapun berubah-ubah pula.
Gerak yang berulang dalam selang waktu yang sama disebut Gerak Periodik. Gerak periodik ini selalu dapat dinyatakan dalam fungsi sinus atau cosinus, oleh sebab itu gerak periodik disebut Gerak Harmonik. Jika gerak yang periodik ini bergerak bolak-balik melalui lintasan yang sama disebut Getaran atau Osilasi.
Contoh lain sistem yang melakukan getaran harmonik, antara lain, dawai pada alat musik, gelombang radio, arus listrik AC, dan denyut jantung. Galileo diduga telah mempergunakan denyut jantungnya untuk pengukuran waktu dalam pengamatan gerak.
Untuk memahami getaran harmonik, kita dapat mengamati gerakan sebuah benda yang diletakkan pada lantai licin dan diikatkan pada sebuah pegas . Anggap mula-mula benda berada pada posisi X = 0 sehingga pegas tidak tertekan atau teregang. Posisi seperti ini dinamakan posisi keseimbangan. Ketika benda ditekan ke kiri (X = –) pegas akan mendorong benda ke kanan, menuju posisi keseimbangan. Sebaliknya jika benda ditarik ke kanan, pegas akan menarik benda kembali ke arah posisi keseimbangan (X = +).
Gaya yang dilakukan pegas untuk mengembalikan benda pada posisi keseimbangan disebut gaya pemulih. Besarnya gaya pemulih menurut Robert Hooke dirumuskan sebagai berikut.
Fp = -kX atau
Fp = -mg sinθ atau
Keterangan :
Fp = gaya pemulih (N)
k = konstanta gaya
m = massa benda (kg)
g = percepatan gravitasi (m/s2)
θ = sudut simpangan
l = panjang simpangan (m)
x = simpangan getar (m)
Tanda minus menunjukkan bahwa gaya pemulih selalu pada arah yang berlawanan dengan simpangannya. Jika kita gabungkan persamaan di atas dengan Hukum II Newton, maka diperoleh persamaan berikut.
Fp = -kX = ma
atau
Terlihat bahwa percepatan berbanding lurus dan arahnya berlawanan dengan simpangan. Hal ini merupakan karakteristik umum getaran harmonik.
Syarat Getaran Harmonik
Syarat suatu gerak dikatakan gerak harmonik, antara lain :
- Gerakannya periodik (bolak-balik).
- Gerakannya selalu melewati posisi keseimbangan.
- Percepatan atau gaya yang bekerja pada benda sebanding dengan posisi/simpangan benda.
- Arah percepatan atau gaya yang bekerja pada benda selalu mengarah ke posisi keseimbangan.
Periode dan Frekuensi Getaran Harmonik
a. Periode dan Frekuensi Sistem Pegas
Pada dasarnya, gerak harmonik merupakan gerak melingkar beraturan pada salah satu sumbu utama. Oleh karena itu, periode dan frekuensi pada pegas dapat dihitung dengan menyamakan antara gaya pemulih (F = -kX) dan gaya sentripetal (F = -4π 2 mf2X).
-4π 2 mf2X = -kX
4π 2 mf2 = k
Periode dan frekuensi sistem beban pegas hanya bergantung pada massa dan konstanta gaya pegas.
b. Periode dan Frekuensi Bandul Sederhana
Sebuah bandul sederhana terdiri atas sebuah beban bermassa m yang digantung di ujung tali ringan (massanya dapat diabaikan) yang panjangnya l. Jika beban ditarik ke satu sisi dan dilepaskan, maka beban berayun melalui titik keseimbangan menuju ke sisi yang lain. Jika amplitudo ayunan kecil, maka bandul melakukan getaran harmonik. Periode dan frekuensi getaran pada bandul sederhana sama seperti pada pegas. Artinya, periode dan frekuensinya dapat dihitung dengan menyamakan gaya pemulih dan gaya sentripetal.
Persamaan gaya pemulih pada bandul sederhana adalah F = -mg sinθ . Untuk sudut θ kecil (θ dalam satuan radian), maka sin θ = θ . Oleh karena itu persamaannya dapat ditulis F = -mg (). Karena persamaan gaya sentripetal adalah F = -4π 2 mf2X, maka kita peroleh persamaan sebagai berikut.
-4π 2 mf2X = -mg ()
4π 2 f2 =
Periode dan frekuensi bandul sederhana tidak bergantung pada massa dan simpangan bandul, tetapi hanya bergantung pada panjang tali dan percepatan gravitasi setempat.
Persamaan Getaran Harmonik
Persamaan getaran harmonik diperoleh dengan memproyeksikan gerak melingkar terhadap sumbu untuk titik yang bergerak beraturan.
a. Simpangan Getaran Harmonik
Simpangan getaran harmonik sederhana dapat dianggap sebagai proyeksi partikel yang bergerak melingkar beraturan pada diameter lingkaran. Gambar dibawah melukiskan sebuah partikel yang bergerak melingkar beraturan dengan kecepatan sudut ω dan jari-jari A. Anggap mula-mula partikel berada di titik P.
Setelah selang waktu t partikel berada di titik Q dan sudut yang ditempuh adalah θ = ωt = . Proyeksi titik Q terhadap diameter lingkaran (sumbu Y) adalah titik Qy. Jika garis OQy kita sebut y yang merupakan simpangan gerak harmonik sederhana, maka kita peroleh persamaan sebagai berikut.
Y = A sin θ = A sin ω t = A sin
Besar sudut dalam fungsi sinus (θ ) disebut sudut fase. Jika partikel mula-mula berada pada posisi sudut θ0, maka persamaanya dapat dituliskan sebagai berikut.
Y = A sin θ = A sin(ω t + θ0) = A sin (+θ0)
Sudut fase getaran harmoniknya adalah sebagai berikut.
Karena Φ disebut fase, maka fase getaran harmonik adalah sebagai berikut.
Apabila sebuah benda bergetar harmonik mulai dari t = t1 hingga t = t2, maka beda fase benda tersebut adalah sebagai berikut.
Beda fase dalam getaran harmonik dinyatakan dengan nilai mulai dari nol sampai dengan satu. Bilangan bulat dalam beda fase dapat dihilangkan, misalnya beda fase 2¼ ditulis sebagai beda fase ¼.
b. Kecepatan Getaran Harmonik
Kecepatan benda yang bergerak harmonik sederhana dapat diperoleh dari turunan pertama persamaan simpangan.
Mengingat nilai maksimum dari fungsi cosinus adalah satu, maka kecepatan maksimum (vmaks) gerak harmonik sederhana adalah sebagai berikut.
vmaks = ω A
c. Percepatan Getaran Harmonik
Percepatan benda yang bergerak harmonik sederhana dapat diperoleh dari turunan pertama persamaan kecepatan atau turunan kedua persamaan simpangan.
ay = ω A [-ω sin (wt + θ 0)]
ay = -ω 2A sin (ω t + θ 0)
ay = -ω 2y
Karena nilai maksimum dari simpangan adalah sama dengan amplitudonya (y = A), maka percepatan maksimumnya (amaks) gerak harmonik sederhana adalah sebagai berikut.
amaks = –ω 2 A
Energi Getaran Harmonik
Benda yang bergerak harmonik memiliki energi potensial dan energi kinetik. Jumlah kedua energi ini disebut energi mekanik.
a. Energi Kinetik Getar Harmonik
Karena Ek =½ mvy2 dan vy = A ω cos ω t, maka
Energi kinetik juga dapat ditulis dalam bentuk lain seperti berikut.
Ek maks = m ω2 A2, dicapai jika cos2 ω t = 1. Artinya, ω t harus bernilai , , …, dan seterusnya.
y = A cos ω t
y = A cos
y = A (di titik setimbang)
Ek min = 0, dicapai bila cos2 ω t = 0. Artinya, ω t harus bernilai 0, π , …, dan seterusnya.
y = A cos ω t
y = A cos 0
y = A (di titik balik)
Jadi, energi kinetik maksimum pada gerak harmonik dicapai ketika berada di titik setimbang. Sedangkan energi kinetik minimum dicapai ketika berada di titik balik.
b. Energi Potensial Gerak Harmonik
Besar gaya yang bekerja pada getaran harmonik selalu berubah yaitu berbanding lurus dengan simpangannya (F = ky). Secara matematis energi potensial yang dimiliki gerak harmonik dirumuskan sebagai berikut.
Ep = ky2
Ep = m ω 2 (A sin ω t)2
Ep = m ω 2 A2 sin2 ω t
Ep maks = m ω 2 A2 dicapai jika sin2 ω t = 1. Artinya ω t harus bernilai , 3, … , dan seterusnya
y = A sin
y = A (di titik balik)
Ep min = 0, dicapai jika sin2 ω t = 0. Artinya, ω t harus bernilai 0, π , …, dan
seterusnya.
y = A sin ω t
y = A sin 0
y = 0 (di titik setimbang)
c. Energi Mekanik Gerak Harmonik
Energi mekanik sebuah benda yang bergerak harmonik adalah jumlah energi kinetik dan energi potensialnya.
Berdasarkan persamaan diatas, ternyata energi mekanik suatu benda yang bergetar harmonik tidak tergantung waktu dan tempat. Jadi, energi mekanik sebuah benda yang bergetar harmonik dimanapun besarnya sama.
Em = Ek maks = Ep maks
Em = m ω 2 A2 = k A2
d. Kecepatan Benda yang Bergetar Harmonik
Untuk menghitung kecepatan maksimum benda atau pegas yang bergetar harmonik dapat dilakukan dengan menyamakan persamaan kinetik dan energi total mekaniknya dimana Ek = Em.
Sedangkan untuk menghitung kecepatan benda di titik sembarang dilakukan dengan menggunakan persamaan kekekalan energi mekanik
Contoh Soal dan Pembahasan
- Sebuah benda melakukan gerak harmonik sederhana dengan amplitudo 4 cm dan periode 4 sekon. Tentukanlah percepatan gerak harmonik tersebut setelah menempuh 1/3 sekon !
Jawab :
Amplitudo : A = 4 cm = 0,04 m
Periode : T = 4 s
Waktu tempuh : t = 1/3 s
Kita anggap sudut fase awal
Percepatan gerak harmonik dihitung dengan persamaan :
Tanda negative menunjukkan bahwa arah percepatan berlawanan dengan simpangan.
- Sebuah partikel bergerak harmonik sederhana dengan amplitude 2 cm dan kecepatan sudut 2 rad/s. Hitunglah kecepatan dan percepatan partikel pada saat simpangannya cm.Jawab :
Amplitudo : A = 2 cm
Kecepatan sudut : rad/s
Simpangan : cm
Mula – mula kita hitung dengan persamaan :
dapat dihitung dengan menggunakan rumus trigonometri
Daftar Pustaka :
//fisikazone.com/getaran-harmonik/
//ilmuhitung.com/percepatan-gerak-harmonik-sederhana/
//tanya-tanya.com/rangkuman-contoh-soal-pembahasan-getaran/