Wann ist eine Zahl durch 15 teilbar

Sehr viele Teilbarkeitsregeln mit Beispielen sehen wir uns hier an. Dies zeigen wir euch:

• Eine Erklärung zur Teilbarkeit von Zahlen für 2, 3, 4 usw. bis zu 100.
• Viele Beispiele als Einführung und zum einfachen Einstieg in das Thema.
• Aufgaben / Übungen damit ihr dies selbst üben könnt.
• Videos zu den verschiedenen Regeln der Teilbarkeit.
• Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Thema.

Ein kurzer Tipp zum Start: Eine Division - also das Teilen von Zahlen - wie zum Beispiel 15 : 3 = 5 solltet ihr bereits kennen. Wer mit der Division von Zahlen noch gar nichts anfangen kann sieht bitte in Dividieren / Teilen von Zahlen. Ansonsten ran an die Regeln zur Teilbarkeit.

Erklärung Teilbarkeitsregeln

Wie kann man Kinder die Teilbarkeitsregeln näher bringen? Dazu soll eine einfache Einführung geboten werden.

Um diese Regeln zum Teilen anwenden zu können solltet ihr Wissen was eine Quersumme ist.

Im Folgenden sollen möglichst alle Teilbarkeitsregeln zu Zahlen vorgestellt werden. Fangen wir mit den Teilbarkeitsregeln der Zahlen 1 - 10 an.

Teilbar durch 1:

Eine Zahl ist durch 1 ohne Rest teilbar, wenn sie eine natürliche Zahl ist.

• Natürliche Zahlen sind 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 und so weiter.
• Haben wir eine Kommazahl mit Zahlen ungleich Null hinter dem Komma haben wir keine natürliche Zahl.
  • 3,00 oder 4,00 oder auch 5,00 sind natürliche Zahlen.
  • 3,12 oder 5,73 oder auch 8,76 sind keine natürlichen Zahlen.

Anders ausgedrückt: Eine Zahl ist durch 1 ohne Rest teilbar wenn nach dem Komma nur Nullen stehen.

Teilbar durch 2:

Eine Zahl ist durch 2 teilbar wenn sie eine gerade Zahl ist.

Gerade Zahlen sind Zahlen, die ohne Rest durch 2 teilbar sind. Kurz gesagt: Eine Zahl ist durch 2 teilbar wenn diese auf 0, 2, 4, 6 oder 8 endet. Sehen wir uns Beispiele dazu an.

• Teilbar durch 2 sind zum Beispiel 12, 14, 16, 20, 26, 38, 80, 122, 882 da diese aus 0, 2, 4, 6 oder 8 enden.
• Nicht teilbar durch 2 sind zum Beispiel 11, 27, 33, 45, 57, 99 da diese auf 1, 3, 5, 7, 9 enden.

Noch ein paar Beispiele dazu:

• 4 : 2 = 2
• 5 : 2 = 2 Rest 1
• 6 : 2 = 3
• 7 : 2 = 3 Rest 1

Teilbarbarkeit durch 3:

Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.

Die Quersumme ist die Summe der einzelnen Stellen. Beispiele:

• 1542 ist durch 3 teilbar, denn 1 + 5 + 4 + 2 = 12. Und 12 ist durch 3 teilbar ohne Rest. (12 : 3 = 4 )
• 736 ist nicht durch 3 teilbar, denn 7 + 3 + 6 = 16. Und 16 ist durch 3 nicht ohne Rest teilbar. (16 : 3 = 5 Rest 1)
• 26262 ist durch 3 teilbar, denn 2 + 6 + 2 + 6 + 2 = 18. Und 18 ist durch 3 teilbar ohne Rest. (18 : 3 = 6)

Sehen wir uns weitere Regeln zum Teilen von Zahlen an.

Teilbar durch 4:

Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die letzten beiden Stellen der Zahl durch 4 teilbar sind.

Wir sehen uns damit stets die letzten beiden Stellen einer Zahl an. Beispiele:

• 73980 ist durch 4 ohne Rest teilbar, da 80 : 4 = 20.
• 23144 ist durch 4 ohne Rest dividierbar, da 44 : 4 = 11.
• 99208 ist durch 4 ohne Rest teilbar, da 08 : 4 = 2.

• 51211 kann man nicht durch 4 ohne Rest dividieren, da 11 : 4 = 2 Rest 3 ist.
• 73223 kann man nicht durch 4 ohne Rest dividieren, da 23 : 4 = 5 Rest 3.

Teilbar durch 5:

Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die letzte Stelle eine 0 oder 5 ist.

Wir müssen uns hier nur die letzte Stelle ansehen um diese Teilbarkeitsregeln anzuwenden.

• 23425 ist durch 5 teilbar, da die Zahl auf eine 5 endet.
• 23313 ist nicht durch 5 ohne Rest dividierbar, da sie auf eine 3 endet.
• 75340 ist durch 5 teilbar, da die Zahl auf eine 0 endet.
• 62329 ist nicht durch 5 dividierbar, da die letzte Stelle eine 9 ist.

Teilbarkeit durch 6:

Eine Zahl ist durch 6 teilbar wenn diese durch 2 und durch 3 teilbar sind. Wir wenden damit die Teilungsregeln für 2 und 3 von oben. Starten wir gleich mit Beispielen:

Ist die Zahl 5226 durch 6 teilbar?

• Ist die Zahl durch 2 ohne Rest teilbar? Ja, ist sie. Denn wenn eine Zahl auf 0, 2, 4, 6 oder 8 endet ist sie durch 2 teilbar. Hier haben wir eine 6, passt also.
• Ist die Zahl durch 3 dividierbar ohne das dabei ein Rest entsteht? Ja, ist sie. Denn die Quersumme ergibt sich mit 5 + 2 + 2 + 6 = 15 und 15 ist eben durch 3 teilbar.

Teilen durch 7:

Es gibt viele Teilbarkeitsregeln für die Zahl 7. Keine davon ist ganz einfach. Folgende Variante halte ich für am leichtesten und rechne dazu ein Beispiel vor

Beispiel mit 161:

Wir teilen die Zahl immer in zwei Teile auf. Die letzte Ziffer (rot) und einfach alles was davor ist (blau).

Wir multiplizieren die letzte Stelle mit 2:

Von dem vorderen Teil der Zahl (16) ziehen wir dieses Ergebnis (2) ab.

Ist dieses Ergebnis (14) durch 7 ohne Rest teilbar ist auch 161 ohne Rest durch 7 teilbar. Dies ist hier der Fall.

Teilbarkeit durch 8:

Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die letzten drei Stellen durch 8 teilbar sind.

Einige Beispiele:

• 542088 ist durch 8 ohne Rest dividierbar, denn 88 : 8 = 11.
• 12480 ist durch 8 ohne Rest teilbar, da 480 : 8 = 60.
• 931999 ist nicht durch 8 teilbar ohne das dabei ein Rest entsteht.

Teilbar durch 9:

Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn die Quersumme durch 9 teilbar ist.

Einige Beispiele:

• 76059 ist durch 9 ohne Rest teilbar, da die Quersumme 7 + 6 + 0 + 5 + 9 = 27 und 27 ist durch 9 ohne Rest teilbar.
• 76060 ist durch 9 nicht ohne Rest dividierbar, da die Quersumme 7 + 6 + 0 + 6 + 0 = 19 und 19 ist eben durch 9 nicht ohne Rest teilbar.
• 108 ist durch 9 ohne Rest teilbar, da die Quersumme 1 + 0 + 8 = 9 ist.

Teilbar durch 10, 100, 1000:

Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn diese auf 0 endet.

Beispiele:

• 23520 endet auf 0 und ist daher durch 10 teilbar ohne Rest.
• Zahlen wie 73721, 1332, 34243, 8479 enden nicht auf Null und sind daher nicht durch 10 teilbar (ohne Rest).

Hinweis: Endet eine Zahl auf zwei Nullen wie zum Beispiel 123300 ist diese durch 100 ohne Rest teilbar. Endet eine Zahl auf drei Nullen wie zum Beispiel 32382000 ist diese durch 1000 ohne Rest teilbar.

Teilbarkeitsregeln durch 25:

Eine Zahl ist durch 25 teilbar, wenn diese auf 25, 50, 75 oder 00 endet.

Beispiele:

• 5300 endet auf 00 und ist daher durch 25 ohne Rest teilbar.
• 6450 endet auf 50 und ist daher durch 25 ohne Rest teilbar.

Teilbar Aufgaben / Übungen

Im nächsten Video werden zahlreiche Regeln zur Teilbarkeit vorgestellt. Dabei werden grundlegende Teilbarkeitsregeln erklärt und im Anschluss durch Beispiele vorgestellt. Diese Inhalte sind auch für Einsteiger in dieses Thema geeignet.

In diesem Abschnitt geht es noch um Fragen mit Antworten zu den Teilbarkeitsregeln.

F: Wann werden diese Regeln zum Teilen in der Schule behandelt?

A: Die Schüler und Schülerinnen müssen bereits das Dividieren beherrschen und mit größeren Zahlen arbeiten. Daher machen die Teilbarkeitsregeln frühstens ab der 4. Klasse Sinn. In den meisten Fällen werden diese jedoch spätestens ab der 5. Klasse behandelt und in der 6. Klasse fortgesetzt.

F: Welche Themen sollte ihr mir noch ansehen?

A: Interessant in diesem Zusammenhang sind noch die Primzahlen. Auch die Quersumme bzw. Quersummenregel kann man sich getrennt noch einmal ansehen. Sobald wir entsprechende Artikel zu diesen Themen haben, werden wir sie hier verlinken.

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Die Teilbarkeit der natürlichen Zahlen:

Methode 1: Teilen Sie die Zahlen und überprüfen Sie den Rest der Operation. Wenn der Rest Null ist, dann sind die Zahlen teilbar.

Methode 2: Zerlegung der Zahlen in Primfaktoren.

• Eine Zahl heißt durch eine andere teilbar, wenn nach dem Teilen der beiden Zahlen der Rest der Operation Null ist.
• Beispiel: Teilen wir zwei verschiedene Zahlen, 12 und 15, durch 4.
• Beim Teilen von 12 durch 4 ist der Quotient 3 und der Rest der Operation ist null.
• Aber wenn wir 15 durch 4 teilen, ist der Quotient 3 und der Rest der Operation ist 3.
• Wir sagen, dass die Zahl 12 durch 4 teilbar ist und 15 nicht durch 4 teilbar ist.
• Wir sagen auch, dass 4 ein Teiler von 12 ist, aber kein Teiler von 15.

• Wir sagen, dass die Zahl „a“ durch „b“ teilbar ist, wenn es eine ganze Zahl „n“ gibt, sodass gilt:
• a = n × b.
• Die Zahl „b“ wird als Teiler von „a“ bezeichnet. "n" ist auch ein Teiler von "a".

• 0 ist durch jede Zahl außer sich selbst teilbar.
• 1 ist ein Teiler jeder Zahl.
• Unechte Teiler: Jede von Null verschiedene Zahl "a" ist mindestens durch 1 und sich selbst teilbar. In diesem Fall wird die Zahl selbst, "a", als unechter Teiler bezeichnet. Einige halten 1 auch für einen unechten Teiler.
• Primzahlen: Eine Zahl, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist, wird auch als Primzahl bezeichnet.
• Teilerfremde Zahlen: Wenn der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen, "m" und "n", das ggT (m; n) = 1 ist, dann bedeutet dies, dass die beiden Zahlen teilerfremd sind, mit anderen Worten, sie haben keinen anderen Teiler als 1. Wenn eine Zahl „a“ durch diese beiden teilerfremden Zahlen „m“ und „n“ teilbar ist, dann ist „a“ auch durch ihr Produkt (m × n) teilbar.
  • Beispiel:
  • Die Zahl 84 ist durch 4 und 3 teilbar und auch durch 4 × 3 = 12 teilbar.
  • Dies ist wahr, weil die beiden Teiler, 3 und 4, teilerfremd sind.

• Die Berechnung der Teiler einer Zahl ist sehr nützlich, wenn Sie Brüche kürzen.
• Die gängigen Regeln zum Finden von Teilern basieren darauf, dass die Zahlen im Dezimalsystem geschrieben werden:
• Vielfache von 10 sind durch 2 und 5 teilbar, weil 10 durch 2 und 5 teilbar ist
• Vielfache von 100 sind durch 4 und 25 teilbar, weil 100 durch 4 und 25 teilbar ist
• Vielfache von 1.000 sind durch 8 teilbar, weil 1.000 durch 8 teilbar ist.
• Alle Potenzen von 10, wenn sie durch 3 oder 9 geteilt werden, haben einen Rest gleich 1.

• Aufgrund der Restoperationsregeln haben wir bei der Division von Zahlen durch 3 oder 9 folgende Reste:
• 600 hat einen Rest gleich 6 = 1 × 6 (1 für je 100)
• 240 = 2 × 100 + 4 × 10, der Rest ist gleich 2 × 1 + 4 × 1 = 6

• Wenn eine Zahl durch 3 oder 9 geteilt wird, ist der Rest gleich dem, was Sie erhalten, wenn Sie die Summe der Ziffern (Die Quersumme) dieser Zahl durch 3 oder 9 teilen:
• 7.309 hat die Summe ihrer Ziffern (Die Quersumme): 7 + 3 + 0 + 9 = 19, die mit einem Rest entweder durch 3 oder 9 geteilt wird. Also ist 7.309 weder durch 3 noch durch 9 teilbar.

• Alle geraden Potenzen der Zahl 10, wie 102 = 100, 104 = 10.000, 106 = 1.000.000, und so weiter, haben, wenn sie durch 11 geteilt werden, einen Rest gleich 1.
• Alle ungeraden Potenzen von 10, wie 101 = 10, 103 = 1.000, 105 = 100.000, 107 = 10.000.000, usw., haben, wenn sie durch 11 geteilt werden, einen Rest gleich 10. In diesem Fall hat die alternierende Summe der Ziffern (Die alternierende Quersumme) der Zahl den gleichen Rest wie die Zahl selbst, wenn sie durch 11 geteilt wird.
• Wie wird die alternierende Summe der Ziffern der zu berechnenden Zahl berechnet - es wird im folgenden Beispiel gezeigt.

• Zum Beispiel für die Zahl: 85.976: 6 + 9 + 8 = 23, 7 + 5 = 12, die alternierende Summe der Ziffern ist: 23 - 12 = 11. Also ist 85.976 durch 11 teilbar.

• 2, wenn die letzte Ziffer durch 2 teilbar ist. Wenn die letzte Ziffer einer Zahl 0, 2, 4, 6 oder 8 ist, dann ist die Zahl durch 2 teilbar. Zum Beispiel die Zahl 20: 0 ist durch 2 teilbar, also muss 20 durch 2 teilbar sein (20 = 2 × 10).
• 3, wenn die Quersumme der Zahl durch 3 teilbar ist. Zum Beispiel die Zahl 126: Die Quersumme ist 1 + 2 + 6 = 9, was durch 3 teilbar ist. Dann muss die Zahl 126 auch durch 3 teilbar sein (126 = 3 × 42).
• 4, wenn die letzten beiden Ziffern der Zahl eine durch 4 teilbare Zahl bilden. Zum Beispiel ist die Zahl 124: 24 durch 4 teilbar (24 = 4 × 6), also ist 124 auch durch 4 teilbar (124 = 4 × 31).
• 5, wenn die letzte Ziffer durch 5 teilbar ist (die letzte Ziffer ist 0 oder 5). Zum Beispiel die Zahl 100: Die letzte Ziffer, 0, ist durch 5 teilbar, dann muss die Zahl 100 durch 5 teilbar sein (100 = 5 × 20).
• 6, wenn die Zahl sowohl durch 2 als auch durch 3 teilbar ist. Zum Beispiel ist die Zahl 24 durch 2 teilbar (24 = 2 × 12) und auch durch 3 teilbar (24 = 3 × 8), dann muss sie durch 6 teilbar sein. 24 = 6 × 4.
• 7, wenn die Einerziffer, verdoppelt, subtrahiert von der Zahl, die aus den restlichen Ziffern besteht, eine Zahl ergibt, die durch 7 teilbar ist. Der Vorgang kann wiederholt werden, bis eine kleinere Zahl erhalten wird. Ist zum Beispiel die Zahl 294 durch 7 teilbar? Wir wenden den Algorithmus an: 29 - (2 × 4) = 29 - 8 = 21. 21 ist durch 7 teilbar. 21 = 7 × 3. Aber wir hätten den Algorithmus noch einmal anwenden können, diesmal auf die Zahl 21: 2 - (2 × 1) = 2 - 2 = 0. Null ist durch 7 teilbar, also muss 21 durch 7 teilbar sein. Wenn 21 durch 7 teilbar ist, muss 294 durch 7 teilbar sein.
• 8, wenn die letzten drei Ziffern der Zahl eine durch 8 teilbare Zahl bilden. Beispielsweise ist die Zahl 2.120: 120 durch 8 teilbar, da 120 = 8 × 15. Dann muss 2.120 auch durch 8 teilbar sein. Beweis: Wenn wir die Zahlen dividieren, ist 2.120 = 8 × 265.
• 9, wenn die Quersumme der Zahl durch 9 teilbar ist. Zum Beispiel hat die Zahl 270 die Quersumme 2 + 7 + 0 = 9, die durch 9 teilbar ist. Dann muss 270 auch durch 9 teilbar sein. 270 = 9 × 30.
• 10, wenn die letzte Ziffer der Zahl 0 ist. Beispiel: 140 ist durch 10 teilbar, da 140 = 10 × 14.
• 11, wenn die alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist. Zum Beispiel hat die Zahl 2.915 die alternierende Summe der Ziffern gleich: (5 + 9) - (1 + 2) = 14 - 3 = 11, was durch 11 teilbar ist. Dann muss die Zahl 2.915 auch durch 11 teilbar sein: 2.915 = 11 × 265.
• 25, wenn die letzten beiden Ziffern der Zahl eine durch 25 teilbare Zahl bilden. Zum Beispiel ist die Zahl, die aus den letzten beiden Ziffern der Zahl 275 besteht, 75, die durch 25 teilbar ist, da 75 = 25 × 3. Dann muss 275 auch durch 25 teilbar sein: 275 = 25 × 11.

Was ist eine Primzahl? Definition, Beispiele

Was ist eine zusammengesetzte Zahl? Definition, Beispiele

Die Primzahlen bis 1.000

Die Primzahlen bis 10.000

Das Sieb des Eratosthenes

Der Euklidische Algorithmus

Brüche vollständig auf ihre Grunddarstellung kürzen: Schritte und Beispiele