Na matriz A = (aij 4x4 abaixo considerando que a é simétrica, determine o valor de p q r)

Para descobrir o valor do produto a.b, precisamos primeiro conhecer o valor de a e b. Sendo assim, vamos considerar a equação dada no problema.

Para resolver a equação, vamos calcular o valor de A2, o que é feito multiplicando-se a matriz A por ela mesma, ou seja:

Esta operação é feita multiplicando-se as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda matriz, conforme esquema abaixo:

Desta forma a matriz A2 é igual a:

Considerando o valor que acabamos de encontrar e lembrando que na matriz identidade os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos são iguais 0, a equação ficará:

Temos agora que multiplicar a matriz A pelo número a e a matriz identidade pelo número b.

Lembre-se que para multiplicar um número por uma matriz, multiplicamos o número por cada elemento da matriz.

Assim, nossa igualdade ficará igual a:

Somando as duas matrizes, temos:

Duas matrizes são iguais quando todos os elementos correspondentes são iguais. Desta forma, podemos escrever o seguinte sistema:

Isolando o a na segunda equação:

Substituindo o valor encontrado para o a na primeira equação, encontramos o valor do b:

2 + b = 1 b = 1 - 2

b = -1

Assim, o produto será dado por:

a . b = - 1 . 2
a . b = - 2

Alternativa: a) −2.

O ponto P é representado por uma matriz, de forma que a abscissa (x) é indicada pelo elemento a11 e a ordenada (y) pelo elemento a21 da matriz.

Para encontrar a nova posição do ponto P, devemos resolver a multiplicação das matrizes apresentadas e o resultado será:

O resultado representa a nova coordenada do ponto P, ou seja, a abcissa é igual a - y e a ordenada igual a x.

Para identificar a transformação sofrida pela posição do ponto P, vamos representar a situação no plano cartesiano, conforme indicado abaixo:

Portanto, o ponto P, que a princípio se localizava no 1º quadrante (abscissa e ordenada positivas), passou para o 2º quadrante (abscissa negativa e ordenada positiva).

Ao passar para essa nova posição, o ponto sofreu uma rotação anti-horária, conforme representado na imagem acima pela seta vermelha.

Precisamos ainda, identificar qual foi o valor do ângulo de rotação.

Ao ligar a posição original do ponto P ao centro do eixo cartesiano e fazendo o mesmo em relação a sua nova posição P´, temos a seguinte situação:

Note que os dois triângulos indicados na figura são congruentes, ou seja, possuem as mesmas medidas. Desta forma, seus ângulos também são iguais.

Além disso, os ângulos α e θ são complementares, pois como a soma dos ângulos internos de triângulos é igual a 180º e sendo o triângulo retângulo, a soma desses dois ângulos será igual a 90º.

Sendo assim, o ângulo de rotação do ponto, indicado na figura por β, só pode ser igual a 90º.

Alternativa: b) uma rotação de P em 90º no sentido anti-horário, e com centro em (0, 0).

Primeiro, vamos tentar encontrar um padrão para as potências, visto que é muito trabalhoso multiplicar a matriz A por ela mesma 2017 vezes.

Lembrando que na multiplicação de matrizes, cada elemento é encontrado somando os resultados da multiplicação dos elementos da linha de uma pelos elementos da coluna da outra.

Vamos começar calculando A2:

O resultado foi a matriz identidade, sendo que quando multiplicamos uma matriz qualquer pela matriz identidade, o resultado será a própria matriz.

Sendo assim, o valor de A3 será igual a própria matriz A, pois A3 = A2 . A.

Esse resultado irá se repetir, ou seja, quando o expoente for par, o resultado é a matriz identidade e quando for impar, será a própria matriz A.

Como 2017 é ímpar, então o resultado será igual a matriz A.

Alternativa: b)

Sendo o número da linha indicado por i e o número da coluna indicado por j, e observando a tabela, notamos que quando i é igual a j, ou i é maior que j, o resultado é zero.

Já as posições ocupadas pelo 1 são aquelas em que o número da coluna é maior que o número da linha.

Alternativa: c)

Para resolver a equação matricial, precisamos isolar o X em um dos lados do sinal de igual. Para isso, vamos inicialmente subtrair a matriz A em ambos os lados.

A - A + BX = X + 2C - A
BX = X + 2C - A

Agora, vamos subtrair o X, também em ambos os lados. Neste caso, a equação ficará:

BX - X = X - X + 2C - A BX - X = 2C - A

X.(B - I) =2C - A

Sendo I a matriz identidade, quando multiplicamos uma matriz pela identidade o resultado é a própria matriz.

Assim, para isolar o X devemos agora multiplicar os dois lados do sinal de igual pela matriz inversa de (B-I), ou seja:

X.(B - I).(B - I) - 1 = (B - I) - 1. (2C - A)

Lembrando que quando uma matriz é invertível, o produto da matriz pela inversa é igual a matriz identidade.
X = (B - I) - 1. (2C - A)

Assim, a equação terá solução quando B - I for invertível.

Alternativa: d) B – I seja invertível, onde I é a matriz identidade de ordem n.

A média aritmética é calculada somando-se todos os valores e dividindo-se pelo número de valores.

Assim, o aluno deverá somar as notas dos 4 bimestres e dividir o resultado por 4 ou multiplicar cada nota por 1/4 e somar todos os resultados.

Usando matrizes, podemos chegar ao mesmo resultado fazendo uma multiplicação de matriz.

Entretanto, devemos lembrar que só é possível multiplicar duas matrizes quando o número de colunas de uma é igual ao número de linhas da outra.

Como a matriz das notas têm 4 colunas, a matriz que iremos multiplicar deverá ter 4 linhas. Desta forma, devemos multiplicar pela matriz coluna:

Alternativa: e

A multiplicação de uma matriz pela sua inversa é igual a matriz identidade, então, podemos representar a situação pela seguinte operação:

Resolvendo a multiplicação da segunda linha da primeira matriz pela primeira coluna da segunda matriz, temos a seguinte equação:

(a - 1) . (2a - 1) + (a + 1) . (- 1) = 0
2a2 - a - 2a + 1 + (- a) + (- 1) = 0
2a2 - 4a = 0 2a (a - 2) = 0 a - 2 = 0

a = 2

Substituindo o valor de a na matriz, temos:

Agora que conhecemos a matriz, vamos calcular seu determinante:

Assim, a soma da diagonal principal será igual a 5.

Alternativa: a) 5