1. UN 2008
Pembahasan :
Jawaban : C
2. UN 2010
Pembahasan :
BR = \[\mathrm{\sqrt{\left [2\sqrt{6} \right ]^{2}-\left [ \sqrt{2} \right ]^{2}}}\]
Jawaban : A
3. UN 2011
Pembahasan :
MO = \[\frac{1}{2}\]. a√2
Jawaban : D
4. UN 2007
Pembahasan :
Ingat : luas jajar genjang \[\mathrm{=alas\times tinggi}\]
Jawaban : D
5. UN 2009
Pembahasan :
Pembahasan :
HP = \[\mathrm{\frac{2}{3}}\] × a√3
Jawaban : D
7. UN 2013
Pembahasan :
Pembahasan soal Ujian Nasional [UN] Matematika IPA jenjang pendidikan SMA untuk pokok bahasan Dimensi Tiga yang meliputi jarak atau sudut antara titik, garis dan bidang. Berikut beberapa konsep yang digunakan pada pembahasan :
BR = \[\mathrm{\sqrt{22}}\]
MO = \[\frac{1}{2}\]. 8√2
MO = 4√2
Jawaban : B
6. UN 2012
HP = \[\mathrm{\frac{2}{3}}\] × 4√3
HP = \[\mathrm{\frac{8}{3}}\]√3
BP = \[\mathrm{\frac{6\times 6\sqrt{2}}{6\sqrt{3}}}\]
BP = 2√6
Jawaban : D
8. UN 2014
Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan ABCD adalah persegi yang memiliki panjang AB = 4 dan TA = 6 cm. Jarak titik C ke garis AT = ... A. \[\frac{1}{14}\]√14 cm B. \[\frac{2}{3}\]√14 cm C. \[\frac{3}{4}\]√14 cm D. \[\frac{4}{3}\]√14 cm E. \[\frac{3}{2}\]√14 cmPembahasan :
Jarak C ke AT adalah CP AT = CT = 6 AC = 4√2 Perhatikan Δ ACT AP = \[\mathrm{\frac{AT^{2}+AC^{2}-CT^{2}}{2\times AT}}\]AP = \[\mathrm{\frac{6^{2}+\left [ 4\sqrt{2} \right ]^{2}-6^{2}}{2\times 6}}\]
AP = \[\mathrm{\frac{8}{3}}\] Perhatikan Δ APC siku-siku di P CP = \[\mathrm{\sqrt{AC^{2}-AP^{2}}}\]
CP = \[\mathrm{\sqrt{\left [ 4\sqrt{2} \right ]^{2}-\left [ \frac{8}{3} \right ]^{2}}}\]
CP = \[\mathrm{\frac{4}{3}\sqrt{14}}\]
Jawaban : D
9. UN 2004
Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 6 cm. Jika S adalah titik potong EG dan FH, maka jarak DH ke AS adalah ... cm. A. 2√3 B. 4 C. 3√2 D. 2√6 E. 6Pembahasan :
Jarak DH ke AS adalah HS, karena HS tegak lurus terhadap DH dan AS. rusuk = a = 6 HF = a√2 = 6√2 HS = \[\frac{1}{2}\]. HFHS = \[\frac{1}{2}\]. 6√2
HS = 3√2
Jawaban : C
10. UN 2007
Pembahasan :
Misalkan sudut yang dibentuk oleh BG dengan BDHF adalah β. rusuk = a BG = EG = a√2 PG = \[\frac{1}{2}\] × EG = \[\mathrm{\frac{a}{2}}\]√2 Perhatikan Δ BPG siku-siku di P sin β = \[\mathrm{\frac{PG}{BG}}\] = \[\mathrm{\frac{\frac{a}{2}\sqrt{2}}{a\sqrt{2}}}\] = \[\frac{1}{2}\] Karena sin β = \[\frac{1}{2}\], maka β = 30°
Jawaban : D
11. UN 2008
Pembahasan :
Sudut antara AG dengan bidang alas ABCD adalah α. rusuk = a = 6 CG = a = 6 AG = a√3 = 6√3 Perhatikan Δ ACG siku-siku di C sin α = \[\mathrm{\frac{CG}{AG}}\] = \[\mathrm{\frac{6}{6\sqrt{3}}}\] = \[\frac{1}{3}\]√3Jawaban : C
12. UN 2009
Pembahasan :
Sudut antara PQ dengan ABCD adalah α. QR = 5 PS = 3 BS = SR = RC = 1 PR = \[\mathrm{\sqrt{PS^{2}+SR^{2}}=\sqrt{3^{2}+1^{2}}}\] PR = \[\mathrm{\sqrt{10}}\] Perhatikan Δ PQR siku-siku di R tan α = \[\mathrm{\frac{QR}{PR}}\] = \[\mathrm{\frac{5}{\sqrt{10}}}\] = \[\frac{1}{2}\sqrt{10}\]
Jawaban : C
13. UN 2012
Diketahui limas segi empat beraturan P.QRST, dengan rusuk alas 3 cm dan rusuk tegak 3√2 cm. Tangan sudut antara garis PT dan alas QRST adalah ... A. \[\frac{1}{3}\]√3 B. √2 C. √3 D. 2√2 E. 2√3Pembahasan :
Misalkan sudut antara garis PT dan alas QRST adalah θ. QR = RS = ST = QT = 3 PQ = PR = PS = PT = 3√2 RT = a√2 = 3√2 Perhatikan bahwa PRT adalah segitiga sama sisi karena PR = RT = PT = 3√2 sehingga θ = 60° tan θ = tan 60° = √3Jawaban : C
14. UN 2013
Pada kubus ABCD. EFGH sudut θ adalah sudut antara bidang BDE dengan bidang ABCD. Nilai dari sin θ adalah ... A. \[\frac{1}{4}\]√3 B. \[\frac{1}{2}\]√3 C. \[\frac{1}{3}\]√6 D. \[\frac{1}{2}\]√2 E. \[\frac{1}{3}\]√3Pembahasan :
Sudut antara bidang BDE dengan bidang ABCD adalah θ. misalkan rusuk = a AE = a EO = \[\mathrm{\frac{a}{2}}\]√6 Perhatikan Δ AOE siku-siku di A sin θ = \[\mathrm{\frac{AE}{EO}}\] =\[\mathrm{\frac{a}{\frac{a}{2}\sqrt{6}}}\] = \[\frac{2}{\sqrt{6}}\] = \[\frac{1}{3}\]√6Jawaban : C
15. UN 2014
Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 4 cm. Sudut antara AE dan bidang AFH adalah α. Nilai sin α adalah ... A. \[\frac{1}{2}\]√2 B. \[\frac{1}{2}\]√3 C. \[\frac{1}{3}\]√3 D. \[\frac{2}{3}\]√2 E. \[\frac{3}{4}\]√3Pembahasan :
Sudut antara AE dan bidang AFH adalah α rusuk = a = 4 EG = a√2 = 4√2 EO = \[\mathrm{\frac{1}{2}}\] × EG = 2√2 AO = \[\mathrm{\frac{a}{2}}\]√6 = 2√6 Perhatikan Δ AEO siku-siku di E sin α = \[\mathrm{\frac{EO}{AO}}\] = \[\mathrm{\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}}\] = \[\frac{1}{3}\]√3Jawaban : C
16. UN 2007
A. \[\frac{1}{3}\]
B. \[\frac{1}{2}\] C. \[\frac{1}{3}\]√3 D. \[\frac{2}{3}\] E. \[\frac{1}{2}\]√3
Pembahasan :
Misalkan sudut antara bidang ABC dan ABD adalah θ. Karena bangun diatas merupakan bidang empat beraturan, pastilah ke-4 bidangnya merupakan segitiga sama sisi. rusuk [a] = 8 DC = a = 8 PC = PD = \[\mathrm{\frac{a}{2}}\]√3 = 4√3 Perhatikan Δ PCD, dengan aturan cosinus diperoleh : cos θ = \[\mathrm{\frac{PC^{2}+PD^{2}-DC^{2}}{2\times PC\times PD}}\] cos θ = \[\mathrm{\frac{\left [ 4\sqrt{3} \right ]^{2}+\left [ 4\sqrt{3} \right ]^{2}-8^{2}}{2\times 4\sqrt{3}\times 4\sqrt{3}}}\] cos θ = \[\frac{1}{3}\]
Jawaban : A
17. UN 2015
Kubus ABCD. EFGH dengan rusuk 12 cm, tangen sudut antara bidang AFH dengan bidang CFH adalah... A. \[\frac{1}{3}\] B. \[\frac{1}{2}\]√2 C. \[\frac{2}{3}\]√2 D. √2 E. 2√2Pembahasan :
Misalkan sudut antara bidang AFH dan CFH adalah θ. Perhatikan segitiga ACP AP = CP = \[\mathrm{\frac{a}{2}}\]√6 = \[\frac{12}{2}\]√6 = 6√6 AC = a√2 = 12√2 Dengan aturan cosinus Cos θ = \[\mathrm{\frac{AP^{2}+CP^{2}-AC^{2}}{2\,.\,AP\,.\,CP}}\] Cos θ = \[\mathrm{\frac{[6\sqrt{6}]^{2}+[6\sqrt{6}]^{2}-[12\sqrt{2}]^{2}}{2\,.\,6\sqrt{6}\,.\,6\sqrt{6}}}\] Cos θ = \[\frac{216+216-288}{432}\] Cos θ = \[\frac{1}{3}\] Cos θ = \[\frac{1}{3}\] sisi samping = 1 sisi miring = 3 sisi depan = \[\sqrt{3^{2}-1^{2}}\] = √8 = 2√2 tan θ = \[\mathrm{\frac{depan}{samping}}\] = \[\frac{2\sqrt{2}}{1}\] = 2√2 Jadi, tangen sudut antara bidang AFH dan CFH adalah 2√2.Jawaban : E
18. UN 2015 Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Titik M adalah titik tengah AB. Jarak titik E ke CM sama dengan... A. \[\frac{4}{5}\]√30 cm B. \[\frac{2}{3}\]√30 cm C. 2√5 cm D. 2√3 cm E. 2√2 cm
Pembahasan :
CM = EM = \[\mathrm{\frac{a}{2}}\]√5 = \[\frac{4}{2}\]√5 = 2√5 CE = a√3 = 4√3 MN = a√2 = 4√2 Karena MN dan CE berpotongan tegak lurus dan sama besar di titik Q, maka MQ = \[\frac{1}{2}\]×MN = 2√2 Perhatikan segitiga CEM, ∠M adalah sudut tumpul karena CE2 > CM2 + EM2, sehingga jarak titik E ke CM adalah jarak dari titik E ke perpanjangan CM yaitu EP. Dengan menggunakan rumus luas segitiga pada segitiga CEM akan diperoleh persamaan sebagai berikut : \[\frac{1}{2}\]×CM×EP = \[\frac{1}{2}\]×CE×MQ CM × EP = CE × MQ 2√5 × EP = 4√3 × 2√2 [kali √5] 10 × EP = 8√30 EP = \[\frac{4}{5}\]√30Jawaban : A
RALAT : 10/8/2017
Yang ditanyakan adalah jarak titik E ke CM, bukan jarak titik E ke perpanjangan CM. CM adalah ruas garis, dengan titik-titik ujungnya C dan M. Jadi, jarak titik E ke CM adalah jarak terdekat dari titik E ke ruas garis CM, yaitu EM = 2√5 [C]19. UN 2016 Diketahui kubus ABCD EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jarak titik E ke garis FD adalah... A. \[\frac{8}{3}\]√2 cm B. \[\frac{8}{3}\]√3 cm C. \[\frac{8}{3}\]√6 cm D. \[\frac{10}{3}\]√6 cm E. 4√6 cm
Pembahasan :
Jarak titik E ke garis FD adalah EP.
Perhatikan segitiga DEF siku-siku di E EF = 8 DE = 8√2 DF = 8√3
EP = \[\mathrm{\frac{DE \times EF}{DF}}\] EP = \[\mathrm{\frac{8\sqrt{2} \times 8}{8\sqrt{3}}}\] EP = \[\frac{8}{3}\]√6
Jawaban : C
20. UN 2016
Diketahui kubus ABCD EFGH dengan AB = 16 cm. Nilai sinus sudut antara garis AH dengan bidang BDHF adalah... A. \[\frac{1}{2}\] B. \[\frac{1}{3}\]√3 C. \[\frac{1}{2}\]√2 D. \[\frac{1}{2}\]√3 E. \[\frac{1}{3}\]√6Pembahasan :
Misalkan sudut yang dibentuk oleh AH dengan BDHF adalah θ. rusuk = a = 16 cm AH = AC = a√2 = 16√2 AP = \[\frac{1}{2}\]×AC = 8√2 Perhatikan Δ AHP siku-siku di Psin θ = \[\mathrm{\frac{AP}{AH}}\] = \[\mathrm{\frac{8\sqrt{2}}{16\sqrt{2}}}\] = \[\frac{1}{2}\]
Jawaban : A Untuk Ujian Nasional matematika IPA tahun 2017, materi dimensi tiga dikeluarkan sebanyak 4 soal dalam satu paket.
21. UN 2017
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuknya 6 cm. Jika α adalah sudut antara bidang AFH dan bidang BDHF, nilai sin α = ...
A. 1/2
B. 1/3 √3
C. 1/2 √2
D. 1/2 √3
E. 2/3 √2
Pembahasan :
AC = a√2 = 6√2 AP = \[\frac{1}{2}\]. AC = 3√2 AO = \[\mathrm{\frac{a}{2}}\]√6 = 3√6 Perhatikan segitiga AOP siku-siku di P. sin α = \[\mathrm{\frac{AP}{AO}}\] = \[\frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{6}}\] = \[\frac{1}{3}\]√3Jawaban : B
22. UN 2017
Pembahasan :
Jarak M ke LNQ = jarak M ke QS, yaitu MT. SM = \[\frac{1}{2}\]. KM = 3√2 MQ = 6 SQ = \[\mathrm{\frac{a}{2}}\]√6 = 3√6Perhatikan segitiga SMQ siku-siku di M. Pada segitiga siku-siku, jarak dari titik sudut siku-siku ke sisi miringnya adalah hasil kali dari kedua sisi siku-siku dibagi sisi miring.
Jadi, MT = \[\mathrm{\frac{SM \,\cdot \,MQ}{SQ}}\] = \[\mathrm{\frac{6\, \cdot \,3\sqrt{2}}{3\sqrt{6}}}\] = 2√3 atau MT = \[\frac{1}{3}\]. MO = \[\frac{1}{3}\]. 6√3 = 2√3Jawaban : B
23. UN 2017
Pembahasan :
Jadi, jarak titik A ke TB adalah AP.Perhatikan segitiga sama sisi ABT dengan panjang sisinya 4 cm. Pada segitiga sama sisi yang panjang sisinya a, jarak dari titik sudut ke sisi di depannya adalah \[\mathrm{\frac{a}{2}}\]√3. Jadi, jarak titik A ke TB adalah AP = \[\mathrm{\frac{4}{2}}\]√3 = 2√3
Jawaban : B
24. UN 2017
Pembahasan :
Jarak titik A ke TC adalah AP. AC = a√2 = 6√2 Karena AC = TC = AT, maka ACT adalah segitiga sama sisi dengan panjang sisi 6√2. Jadi, AP = \[\mathrm{\frac{6\sqrt{2}}{2}}\]√3 = 3√6Jawaban : E
25. UN 2017
Diketahui limas alas segiempat beraturan T.ABCD. Panjang rusuk tegak = rusuk alas = 4 cm. Sudut antara garis TA dan bidang alas ABCD adalah ... A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° E. 90°
Pembahasan :
Jawaban : C
26. UN 2017
Pembahasan :
Misalkan sudut antara rusuk tegak dengan bidang alas adalah α. Perhatikan segitiga COT siku-siku di O. CT = \[\mathrm{\sqrt{\left [CO \right ]^{2}+\left [OT \right ]^{2}}}\]CT = \[\mathrm{\sqrt{\left [6 \right ]^{2}+\left [6\sqrt{3} \right ]^{2}}}\]
CT = 12 sin α = \[\mathrm{\frac{OT}{CT}}\] = \[\frac{6\sqrt{3}}{12}\] = \[\frac{1}{2}\]√3 atau tan α = \[\mathrm{\frac{OT}{CO}}\] = \[\frac{6\sqrt{3}}{6}\] = √3 Karena tan α = √3, maka α = 60° Jadi, sin α = sin 60° = \[\frac{1}{2}\]√3
Jawaban : E
27. UN 2017
Pembahasan :
CG = a = 12 OG = \[\mathrm{\frac{a}{2}}\]√6 = 6√6 Perhatikan segitiga OCG siku-siku di C. sin α = \[\mathrm{\frac{CG}{OG}}\] = \[\frac{12}{6\sqrt{6}}\] = \[\frac{1}{3}\]√6
Jawaban : D