A radiciação, assim como todas as operações do conjunto dos números reais, possui seu inverso, ou seja, quando pegamos um elemento e operamos com seu inverso, o resultado é igual ao elemento neutro.
A adição possui a subtração como operação inversa, a multiplicação possui a divisão como operação inversa, e a potenciação também vai possuir sua operação inversa, que é denominada de radiciação.
Como as demais operações, a radiciação também possui uma série de propriedades, vejamos.
Representação da radiciação
A radiciação é uma operação em que buscamos um número que satisfaz determinada potência. Considere os números a e b números reais e n um número racional, definimos a raiz n-ésima de a como sendo um número que, quando elevado a n, seja igual ao número a, nesse caso, representado por b, ou seja:
Exemplos
a) A raiz quadrada de 36 é igual a 6, pois 62 = 36.
Veja que, para determinar a raiz quadrada de 36, devemos buscar um número que, quando elevamos ao quadrado, seja igual a 36. Logicamente, esse número é o 6.
b) A raiz cúbica de 125 é igual 5, pois 53 = 125.
c) Agora vejamos a raiz décima de 1024. Como não se trata de um número trivial, a melhor saída é realizar a decomposição em fatores primos do 1024 e, em seguida, escrevê-lo na forma de potência.
Veja que o número 1024 = 210, assim o número que, elevado a 10º potência, resulta em 1024 é o número 2, ou seja:
Nomenclatura da radiciação
Considerando a raiz n-ésima anterior, temos a seguinte nomenclatura:
a → Radicando
n → índice
b → raiz
√ → Radical
Propriedades da radiciação
Assim como na potenciação, temos algumas propriedades na radiciação. Nesta a história é a mesma, uma vez que ambas são operações inversas.
Propriedade 1: Raiz em que o expoente do radicando é igual ao índice
A propriedade 1 afirma que, sempre que o índice for igual ao expoente do radicando, o resultado da raiz n-ésima é a própria base.
Exemplos
Propriedade 2: Potência de expoente radical
A propriedade 2, na verdade, é uma propriedade de potenciação em que o expoente é uma fração. O numerador da fração passa a ser o expoente do radicando, e o denominador passa a ser o índice da raiz. Veja um exemplo:
Leia também: Potências de base 10 — o fundamento da notação científica
Propriedade 3: Produto de raízes de índices iguais
A propriedade 3 afirma que o produto entre duas raízes com índices iguais é igual à raiz de mesmo índice do produto dos radicandos.
Propriedade 4: Quociente de raízes de índices iguais
De maneira análoga à propriedade 3, a propriedade 4 afirma que a divisão entre duas raízes de índices iguais é igual à raiz de mesmo índice da divisão dos quocientes.
Veja também: Raiz quadrada: a radiciação com o índice 2
Propriedade 5: Potência de uma raiz
A propriedade 5 diz-nos que uma raiz n-ésima elevada a um determinado expoente m é igual à raiz n-ésima do radicando elevado ao expoente.
Propriedade 6: Raiz de outra raiz
Quando nos depararmos com uma raiz de outra raiz, basta conservar o radicando e multiplicar os índices das raízes.
Propriedade 7: Simplificação de raízes
A propriedade 7 afirma que, em uma raiz n-ésima de uma potência, podemos multiplicar o índice e o expoente do radicando por qualquer número desde que seja diferente de 0.
Acesse também: Redução de radical ao mesmo índice
Exercícios resolvidos
Questão 1 – Determine a raiz quadrada de 1024.
Solução
No exemplo do texto, temos a fatoração do número 1024, que é dada por:
1024 = 210
1024 = 2 (5 · 2)
1024 = (25)2
Portanto, a raiz quadrada de 1024 é:
Questão 2 – (Enem) A pele que recobre o corpo dos animais tem participação ativa na manutenção da temperatura corporal, na eliminação de substâncias tóxicas geradas pelo próprio metabolismo do corpo e na proteção contra as agressões do meio exterior.
A expressão algébrica seguinte relaciona a massa (m) em kg de um animal com a sua medida (A) de superfície corporal em m2, e k é uma constante real.
A constante real k varia de animal para animal, segundo a tabela:
Animal | Homem | Macaco | Gato | Boi | Coelho |
Constante K | 0,11 | 0,12 | 0,1 | 0,09 | 0,1 |
Considere um animal com 27 kg de massa e uma área corporal de 1,062 m2.
Segundo a tabela apresentada no enunciado, é mais provável que esse animal seja um:
a) homem.
b) macaco.
c) gato.
d) boi.
e) coelho.
Solução
Alternativa b
Substituindo os dados na fórmula dada no enunciado e escrevendo 27 = 33, temos:
Portanto, é mais provável que o animal em questão seja o macaco.
Por Robson Luiz
Professor de Matemática
Treine o que você estudou com estes exercícios sobre cálculo de raízes por meio da fatoração! Questão 1
Qual é a raiz cúbica de 3375? a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16
Questão 2
Em função de √2, qual é o resultado da expressão a seguir?
a) 22√2
b) 16√2
c) 32√2
d) 21√2
e) 18√2
Questão 3
Quais são as raízes da equação x2 + 16x – 36 = 0?
a) 2 e 3
b) 20 e 20
c) 2 e 20
d) 20 e – 20
e) 2 e – 18
Questão 4
Um lote quadrado possui 1600 m2 de área. Qual é a medida do comprimento desse lote quadrado?
a) 40 m
b) 42 m
c) 44 m
d) 46 m
e) 48 m
Resposta - Questão 1
Para calcular essa raiz, utilizaremos o método da fatoração:
Em vez de multiplicar todos os fatores obtidos, como é feito para encontrar o mínimo múltiplo comum, reescreva esses fatores agrupando-os em potências de 3 sempre que possível, como foi feito acima.
Para finalizar, substitua 3375 por 33·53 no radical para obter a seguinte raiz e prossiga utilizando as propriedades dos radicais.
Resposta - Questão 2
Primeiramente, decomponha 2048 e 512. Após isso, reescreva os fatores primos em potências de 2, se possível.
Por fim, utilize as mesmas propriedades do exercício anterior para simplificar os cálculos e subtraia os resultados. Observe:
Resposta - Questão 3
Utilizando o método de Bhaskara, calcularemos o discriminante:
Tendo em vista que precisaremos calcular a raiz de 400 para usar seu resultado na fórmula de Bhaskara, seguem os respectivos cálculos:
Agora resta apenas calcular as raízes:
Dessa maneira, as raízes são 2 e –18.
Gabarito: Letra E.
Resposta - Questão 4
A medida do lado de um quadrado sempre pode ser obtida a partir da raiz quadrada de sua área. Portanto, basta calcular a raiz quadrada de 1600 para obter a medida em questão. Utilizando o método da fatoração, teremos:
Para finalizar, substitua 1600 no radical pelo produto encontrado na fatoração anterior, como ilustrado na imagem seguinte:
Portanto, o comprimento do lote é 40 m.
Gabarito: Letra A.
Versão desktop
Copyright © 2022 Rede Omnia - Todos os direitos reservados Proibida a reprodução total ou parcial sem prévia autorização (Inciso I do Artigo 29 Lei 9.610/98)