Topik Bahasan lingkaran
Misalkan titik ($x_1, y_1$ ) berada diluar lingkaran. Akan dicari persamaan garis singgung yang melewati titik diluar lingkaran tersebut. Cara Ini disebut dengan permisalan garis. Langkah Langkahnya sebagai berikut,
- Misalkan garis singggungnya $ y = mx + n $ ,
- Substitusi titik A($x_1,y_1$) ke garis $ y = mx + n $ , dan tentukan nilai $ n \, $ dalam bentuk $ m $ kemudian substitusi nilai $ n \, $ ke garis $ y = mx + n $ .
- Substitusi garis yang baru ke persamaan lingkaran, lalu tentukan nilai diskriminannya ($D$).
- Tentukan nilai $ m \, $ dengan syarat garis menyinggung lingkaran : $ D = 0 $ .
- Substitusi nilai $ m $ yang diperoleh ke garis baru yang terbentuk.
Soal 1: Tentukan persamaan garis singgung melalui titik (7, 1) di luar lingkaran $ x^2 + y^2 = 25$ Jawab:
Langkah 1:
Titik (7, 1) berada di luar lingkaran $ x^2 + y^2 = 25 $ sebab jika titik (7, 1) disubstitusikan ke persamaan lingkaran tersebut diperoleh $ 7^2+1^2 = 49 + 1 = 50 > 25 $ . Misalkan persamaan garis singgungnya : $ y = mx + n $Langkah 2:
Titik (7,1) dilalui oleh garis singgung, sehingga bisa disubstitusi ke garis singgung : $ \begin{align} (x,y)=(7,1) \rightarrow y & = mx + n \\ 1 & = m . 7 + n \\ n & = 1 - 7m \end{align} $ Substitusi bentuk $ n = 1 - 7m \, $ ke garis $ y = mx + n $ diperoleh garis singgung baru : $ y = mx + (1-7m) $ Substitusi garis singgung baru ke lingkaran : $ \begin{align} y = mx + (1-7m) \rightarrow x^2 + y^2 & = 25 \\ x^2 + (mx + 1 - 7m)^2 & = 25 \\ x^2 + m^2x^2 -49m^2+1-14m^2x+2mx-14m & = 25 \\ (m^2+1)x^2 +(2m-14m^2)x + (-49m^2-14m-24) & = 0 \\ a = m^2 + 1, \, b = 2m - 14m^2 , \, c & = -49m^2-14m-24 \end{align} $Langkah 3
Menentukan nilai Diskriminan ($D$) : $ \begin{align} D & = b^2 - 4ac \\ & = (2m-14m^2)^2 - 4.(m^2+1).(-49m^2-14m-24) \\ & = 4m^2 - 56m^3 + 196m^4 - 4(49m^2 - 14m - 24 + 49m^4 - 14m^3 - 24m^2) \\ & = -96m^2 + 56m + 96 \end{align} $Langkah 4
Syarat garis menyinggung lingkaran : $ D = 0 $ $ \begin{align} D & = 0 \\ -96m^2 + 56m + 96 & = 0 \, \, \, \, \text{(bagi -8)} \\ 12m^2 - 7m - 12 & = 0 \\ (4m + 3)(3m - 4) & = 0 \\ m = - \frac{3}{4} \vee m & = \frac{4}{3} \end{align} $Langkah 5
Substitusi nilai $ m \, $ ke garis singgung baru : $ \begin{align} m = - \frac{3}{4} \rightarrow y & = mx + (1-7m) \\ y & = - \frac{3}{4} . x + (1-7.(- \frac{3}{4})) \\ y & = - \frac{3}{4} . x + (1 + \frac{21}{4}) \\ y & = - \frac{3}{4} . x + \frac{25}{4} \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 4y & = -3x + 25 \\ 3x + 4y & = 25 \\ m = \frac{4}{3} \rightarrow y & = mx + (1-7m) \\ y & = \frac{4}{3} . x + (1-7.(\frac{4}{3})) \\ y & = \frac{4}{3} . x + (1 - \frac{28}{3}) \\ y & = \frac{4}{3} . x - \frac{25}{3} \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ 3y & = 4x - 25 \\ 4x - 3y & = 25 \end{align} $ Jadi, Persamaan garis singgungnya adalah $ 3x + 4y = 25 \, $ dan $ 4x - 3y = 25 $ . .Cari Soal dan Pembahasan tentang lingkaran
Persamaan garis singgung suatu lingkaran dapat ditentukan dengan berbagai cara, tergantung informasi-informasi apa yang kita ketahui dari garis singgung tersebut.
Persamaan Garis Singgung Lingkaran Melalui Suatu Titik
Untuk sub bab ini akan dibagi menjadi 2, yaitu persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik pada lingkaran dan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik di luar lingkaran.PGSL Melalui Titik pada Lingkaran
Persamaan garis singgung lingkaran \(\mathrm{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}\) yang melalui titik (x1, y1) adalah $$\mathrm{\mathbf{\left ( x_{1}-a \right )\left ( x-a \right )+\left ( y_{1}-b \right )\left ( y-b \right )=r^{2}}}$$ dengan (a, b) = pusat lingkaran r = radius atau jari-jari lingkaran
(x1, y1) = titik singgung lingkaran
Persamaan garis singgung lingkaran \(\mathrm{x^{2}+y^{2}=r^{2}}\) yang melalui titik (x1, y1) adalah $$\mathrm{\mathbf{x_{1}x+y_{1}y=r^{2}}}$$ dengan
r = radius atau jari-jari lingkaran(x1, y1) = titik singgung lingkaran
Contoh 1 Tentukan persamaan garis singgung lingkaran \(\mathrm{x^{2}+y^{2}=25}\) yang melalui titik (3, 4)
Jawab :
r2 = 25
(x1, y1) = (3, 4) Persamaan garis singgung
x1 x + y1 y = r2
⇔ 3x + 4y = 25
Contoh 2
Persamaan garis singgung lingkaran \(\mathrm{\left ( x+2 \right )^{2}+\left ( y-3 \right )^{2}=10}\) di titik (1, 4) adalah
Jawab :
r2 = 10
(x1, y1) = (1, 4) Persamaan garis singgung
(x1 − a)(x − a) + (y1 − b)(y − b) = r2
⇔ y = −3x + 7
PGSL Melalui Titik di Luar Lingkaran
Ada dua garis singgung yang dapat dibuat dari titik yang berada diluar lingkaran. Untuk menentukan kedua persamaan garis singgung tersebut, terlebih dahulu tentukan titik-titik singgung sehingga garis singgung di titik tersebut juga melalui titik yang berada diluar lingkaran.Ada beberapa cara untuk menentukan titik-titik singgung tersebut, salah satunya adalah dengan menggunakan bantuan garis polar atau kutub. Persamaan garis polar dapat ditentukan dengan menggunakan rumus persamaan garis singgung sebelumnya dimana (x1, y1) adalah titik yang berada diluar lingkaran.
Contoh 3
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran \(\mathrm{x^{2}+y^{2}=20}\) yang melalui titik (6, −2)
Jawab :
x2 + y2 = 20 ........................(1)
Persamaan garis polar untuk titik (6, −2)x1 x + y1 y = r2
⇔ 6x − 2y = 20 ⇔ y = 3x − 10 .....................(2) Dari persamaan (1) dan (2)x2 + y2 = 20
⇔ x2 + (3x − 10)2 = 20
⇔ x2 − 6x + 8 = 0 ⇔ (x − 2)(x − 4) = 0 x = 2 atau x = 4 Dari persamaan (2) x = 2 ⇒ y = 3.2 − 10 = −4 x = 4 ⇒ y = 3.4 − 10 = 2
Diperoleh titik singgung (2, −4) dan (4, 2)
Persamaan garis singgung di titik (2, −4)x1 x + y1 y = r2
⇔ 2x − 4y = 20⇔ x − 2y = 10
Persamaan garis singgung di titik (4, 2)x1 x + y1 y = r2
⇔ 4x + 2y = 20⇔ 2x + y = 10
Contoh 4
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran \(\mathrm{\left ( x+2 \right )^{2}+\left ( y-3 \right )^{2}=10}\) yang melalui titik (2, 1)Jawab :
Persamaan lingkaran(x + 2)2 + (y − 3)2 = 10 .....................(1)
P(a, b) = (−2, 3)r2 = 10
Persamaan garis polar untuk titik (2, 1)(x1 − a)(x − a) + (y1 − b)(y − b) = r2
⇔ (2 + 2)(x + 2) + (1 − 3)(y − 3) = 10 ⇔ 4x + 8 − 2y + 6 = 10 ⇔ y = 2x + 2 ......................................(2) Dari persamaan (1) dan (2)(x + 2)2 + (y − 3)2 = 10
⇔ (x + 2)2 + ((2x + 2) − 3)2 = 10
⇔ x2 + 4x + 4 + 4x2 − 4x + 1 = 10
⇔ 5x2 = 5
⇔ x2 = 1 ⇔ x = ±1 Dari persamaan (2) x = −1 ⇒ y = 2(−1) + 2 = 0 x = 1 ⇒ y = 2(1) + 2 = 4
Diperoleh titik singgung (−1, 0) dan (1, 4)
Persamaan garis singgung di titik (−1, 0)(x1 − a)(x − a) + (y1 − b)(y − b) = r2
⇔ (−1 + 2)(x + 2) + (0 − 3)(y − 3) = 10 ⇔ x + 2 − 3y + 9 = 10⇔ x − 3y = −1
Persamaan garis singgung di titik (1, 4)(x1 − a)(x − a) + (y1 − b)(y − b) = r2
⇔ (1 + 2)(x + 2) + (4 − 3)(y − 3) = 10 ⇔ 3x + 6 + y − 3 = 10⇔ 3x + y = 7
Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien m
Persamaan garis singgung lingkaran \(\mathrm{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}\) dengan gradien m adalah $$\mathrm{\mathbf{y-b=m(x-a)\pm r\sqrt{1+m^{2}}}}$$ dengan (a, b) = pusat lingkaran r = jari-jari lingkaran m = gradien garis singgung lingkaran Persamaan garis singgung lingkaran \(\mathrm{x^{2}+y^{2}=r^{2}}\) dengan gradien m adalah $$\mathrm{\mathbf{y=mx\pm r\sqrt{1+m^{2}}}}$$ dengan r = jari-jari lingkaran
m = gradien garis singgung lingkaran
Contoh 5 Tentukan persamaan garis singgung lingkaran \(\mathrm{x^{2}+y^{2}=5}\), jika gradien garis singgungnya 2
Jawab :
r = \(\sqrt{5}\) m = 2 Persamaan garis singgung y = mx ± r\(\mathrm{\sqrt{1+m^{2}}}\) y = 2x ± \(\sqrt{5}\)\(\mathrm{\sqrt{1+2^{2}}}\) y = 2x ± 5 Diperoleh persamaan garis singgungy = 2x + 5 atau y = 2x − 5
Contoh 6
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran \(\mathrm{(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=8}\) jika gradien garis singgungnya −1Jawab :
(a, b) = (2, −1) r = \(\sqrt{8}\) m = −1 Persamaan garis singgung y − b = m(x − a) ± r\(\mathrm{\sqrt{1+m^{2}}}\) y + 1 = −1(x − 2) ± \(\sqrt{8}\)\(\mathrm{\sqrt{1+(-1)^{2}}}\) y + 1 = −x + 2 ± 4 y = −x + 1 ± 4 Diperoleh persamaan garis singgungy = −x + 1 + 4 ⇔ y = −x + 5
y = −x + 1 − 4 ⇔ y = −x − 3
Latihan Soal Persamaan Garis Singgung Lingkaran
Latihan 1 Tentukan persamaan garis singgung lingkaran \(\mathrm{x^{2}+y^{2}-4x+2y-13=0}\) di titik (5, −4)
Jawab :
x2 + y2 − 4x + 2y − 13 = 0
K = (5)2 + (−4)2 − 4(5) + 2(−4) − 13 = 0 K = 0 (titik terletak pada lingkaran) A = −4 B = 2 C = −13 Pusat lingkaran (a, b) \(\mathrm{\left ( -\frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right )}\) = (2, −1) Kuadrat jari-jari
r2 = \(\mathrm{\frac{A^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C}\) = 18
Titik singgung(x1, y1) = (5, −4)
Persamaan garis singgung(x1 − a)(x − a) + (y1 − b)(y − b) = r2
⇔ (5 − 2)(x − 2) + (−4 + 1)(y + 1) = 18⇔ x − y = 9
Latihan 2
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran \(\mathrm{x^{2}+y^{2}+4x-2y-15=0}\) yang melalui titik (8, 1)Jawab :
Uji posisi titik (8, 1) terhadap lingkaranx2 + y2 + 4x − 2y − 15 = 0
K = (8)2 + (1)2 + 4(8) − 2(1) − 15 = 80 K > 0 (titik diluar lingkaran) Persamaan lingkaran
x2 + y2 + 4x − 2y − 15 = 0 ...................(1)
A = 4 B = −2 C = −15 Pusat lingkaran (a, b) \(\mathrm{\left ( -\frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right )}\) = (−2, 1) Kuadrat jari-jarir2 = \(\mathrm{\frac{A^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C}\) = 20
Persamaan garis polar untuk titik (8, 1)(x1 − a)(x − a) + (y1 − b)(y − b) = r2
⇔ (8 + 2)(x + 2) + (1 − 1)(y − 1) = 20 ⇔ x = 0 ................................................(2) Dari persamaan (1) dan (2)x2 + y2 + 4x − 2y − 15 = 0
⇔ (0)2 + y2 + 4(0) − 2y − 15 = 0
⇔ y2 − 2y − 15 = 0 ⇔ (y + 3)(y − 5) = 0 y = −3 atau y = 5
Diperoleh titik singgung (0, −3) dan (0, 5)
Persamaan garis singgung di titik (0, −3)(x1 − a)(x − a) + (y1 − b)(y − b) = r2
⇔ (0 + 2)(x + 2) + (−3 − 1)(y − 1) = 20⇔ x − 2y = 6
Persamaan garis singgung di titik (0, 5)(x1 − a)(x − a) + (y1 − b)(y − b) = r2
⇔ x + 2y = 10
Latihan 3
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran \(\mathrm{x^{2}+y^{2}+8x+2y-23=0}\) yang sejajar dengan garis \(\mathrm{3x+y=6}\)Jawab :
Persamaan lingkaranx2 + y2 + 8x + 2y − 23 = 0
A = 8 B = 2 C = −23 Pusat Lingkaran (a, b) \(\mathrm{\left ( -\frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right )}\) = (−4, −1) Jari-jari lingkaran (r) r = \(\mathrm{\sqrt{\frac{A^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C}}\) = \(\sqrt{40}\)Misalkan garis h : 3x + y = 6
⇒ mh = −3
Misalkan g adalah garis singgung lingkaran.
Karena g || h maka
mg = mh = −3 Persamaan garis singgung y − b = m(x − a) ± r\(\mathrm{\sqrt{1+m^{2}}}\) ⇔ y + 1 = −3(x + 4) ± \(\sqrt{40}\)\(\mathrm{\sqrt{1+(-3)^{2}}}\) ⇔ y + 1 = −3x − 12 ± 20 ⇔ y = −3x − 13 ± 20 Diperoleh persamaan garis singgung
y = −3x − 13 + 20 ⇔ y = −3x + 7
y = −3x − 13 − 20 ⇔ y = −3x − 33
Latihan 4
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran \(\mathrm{x^{2}+y^{2}-2x-6y-35=0}\) yang tegak lurus terhadap garis \(\mathrm{x+2y=4}\)Jawab :
Persamaan lingkaranx2 + y2 − 2x − 6y − 35 = 0
A = −2 B = −6 C = −35 Pusat Lingkaran (a, b) \(\mathrm{\left ( -\frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right )}\) = (1, 3) Jari-jari lingkaran (r) r = \(\mathrm{\sqrt{\frac{A^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C}}\) = \(\sqrt{45}\)Misalkan garis h : x + 2y = 4
⇒ mh = \(-\frac{1}{2}\)
Misalkan g adalah garis singgung lingkaran.
Karena g ⊥ h maka
mg . mh = −1
mg . \(-\frac{1}{2}\) = −1
⇒ mg = 2 Persamaan garis singgung y − b = m(x − a) ± r\(\mathrm{\sqrt{1+m^{2}}}\) ⇔ y − 3 = 2(x − 1) ± \(\sqrt{45}\)\(\mathrm{\sqrt{1+(2)^{2}}}\) ⇔ y − 3 = 2x − 2 ± 15 ⇔ y = 2x + 1 ± 15 Diperoleh persamaan garis singgung
y = 2x + 1 + 15 ⇔ y = 2x + 16
y = 2x + 1 − 15 ⇔ y = 2x − 14
Latihan 5
Garis singgung lingkaran \(\mathrm{x^{2}+y^{2}-6x-18=0}\) membentuk sudut 60° terhadap sumbu-x positif. Jika salah satu garis singgung lingkaran memotong sumbu-x positif di titik A, tentukan koordinat titik A tersebutJawab :
x2 + y2 − 6x − 18 = 0
A = −6 B = 0 C = −18 Pusat Lingkaran (a, b) \(\mathrm{\left ( -\frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right )}\) = P(3, 0) Jari-jari lingkaran (r) r = \(\mathrm{\sqrt{\frac{A^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C}}\) = \(\sqrt{27}\) Gradien garis singgung (m) m = tan 60° = \(\sqrt{3}\) Persamaan garis singgung lingkaran y − b = m(x − a) ± r\(\mathrm{\sqrt{1+m^{2}}}\) ⇔ y − 0 = \(\sqrt{3}\)(x − 3) ± \(\sqrt{27}\)\(\mathrm{\sqrt{1+(\sqrt{3})^{2}}}\) ⇔ y = \(\sqrt{3}\)x − 3\(\sqrt{3}\) ± 6\(\sqrt{3}\) Diperoleh persamaan garis singgungy = \(\sqrt{3}\)x − 3\(\sqrt{3}\) + 6\(\sqrt{3}\) ⇔ y = \(\sqrt{3}\)x + 3\(\sqrt{3}\)
y = \(\sqrt{3}\)x − 3\(\sqrt{3}\) − 6\(\sqrt{3}\) ⇔ y = \(\sqrt{3}\)x − 9\(\sqrt{3}\)
Titik potong sumbu-x y = 0 ⇔ 0 = \(\sqrt{3}\)x + 3\(\sqrt{3}\) ⇔ \(\sqrt{3}\)x = −3\(\sqrt{3}\) ⇔ x = −3 y = 0 ⇔ 0 = \(\sqrt{3}\)x − 9\(\sqrt{3}\) ⇔ \(\sqrt{3}\)x = 9\(\sqrt{3}\) ⇔ x = 9 Diperoleh titik potong sumbu-x (−3, 0) dan (9, 0)Diantara kedua titik potong tersebut yang memotong sumbu-x positif adalah A(9, 0)