Saber como funciona a trigonometria e para que servem os cálculos de seno, cosseno e tangente é importante para as provas do vestibular e, principalmente, para as carreiras profissionais na área de exatas. Nos itens abaixo você aprenderá o significado de cada um desses conceitos e também irá entender porque a matemática os utiliza.
Razões trigonométricas
A trigonometria é um ramo da matemática que procura estudar as relações entre os ângulos e os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo. O seno, o cosseno e a tangente são medidas que estão dentro do campo das razões trigonométricas. E para entendê-los, é preciso retomar alguns conceitos. Confira:
Triângulo retângulo
É chamado dessa maneira porque um de seus ângulos é reto, ou seja, possui 90°. Veja:
Lembrando que a soma de todos ângulos internos do triângulo é igual a 180°. Sendo assim, em um triângulo retângulo, é possível considerar dois fatores:
1) Ambos os outros dois ângulos são menores que 90º.
2) Os ângulos também são complementares, já que a soma dos dois deve ser igual a 90º.
Os lados dos triângulos também possuem nomes:
Hipotenusa
No triângulo retângulo, corresponde ao lado do triângulo oposto ao ângulo de 90°. Na figura abaixo, a é a hipotenusa.
Catetos
Para determinar os catetos de um triângulo, você precisa de um ângulo como referência. O lado oposto ao ângulo reto será o cateto oposto já o adjacente é o que está ao lado. Veja a figura:
B^= cateto oposto: b
cateto adjacente: c
C^= cateto oposto: c
cateto adjacente: b
Lembre-se do famoso Teorema de Pitágoras:
“O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.”
Seno
O seno de um ângulo é igual à medida do seu cateto oposto (Co) dividido pela hipotenusa (h), conforme a fórmula:
Cosseno
O cosseno de um ângulo é igual à medida do cateto adjacente (Ca) dividido pela hipotenusa (h). Veja a fórmula:
Tangente
A tangente de um ângulo é obtida pela razão entre o cateto oposto (Co) dividido pelo cateto adjacente (Ca). Veja:
Tabela trigonométrica
A tabela trigonométrica traz as medidas de seno, cosseno e tangente dos chamados arcos notáveis.
30° | 45° | 60° | |
sen | 1/2 | v2/2 | v3/2 |
cos | v3/2 | v2/2 | 1/2 |
tg | v3/3 | 1 | v3 |
Saber esses valores de cor na hora da prova vai ser bastante útil para você. Muitos vestibulares ainda podem oferecer a tabela, junto ou não de valores aproximados para as raízes.
Quando usar seno, cosseno e tangente?
Esses valores são utilizados para descobrir a medida dos lados do triângulo a partir das medidas de seus ângulos. São cálculos requisitados com frequência no Enem e nos principais vestibulares.
Para te ajudar a visualizar o conteúdo na prática, fizemos a resolução de um exercício. Veja:
Enem 2010
Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a Noroeste de São Paulo), na noite do último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando agricultores da região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, França, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da camada de ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento do tempo previsto de medição.
Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob um ângulo de 60°; a outra estava a 5,5 km da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e sob um ângulo de 30°.
Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão?
- a) 1,8 km
- b) 1,9 km
- c) 3,1 km
- d) 3,7 km
- e) 5,5 km
Resolução:
Para calcular a distância (d) usaremos a tangente do ângulo 60°, pois:
tg 60° = h/1,8
v3 = h/1,8
h = v3 . 1,8
Sabemos que a raiz de 3 é igual a aproximadamente 1,7, logo:
h ? 1,73 . 1,8
h ? 3,11
Resposta: Letra C
A trigonometria é um assunto muito amplo e também bastante complexo. Várias fórmulas trigonométricas podem ser utilizadas para resolver o mesmo exercício do vestibular. Por isso, é importante que você estude bastante e domine o conteúdo por completo. Confira alguns de nossos posts que podem te ajudar a se preparar para as provas:
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Nesse exercício vamos estudar identidades trigonométricas. Existem diversas formas de se calcular o que se pede. Vamos calcular levando em consideração que: $$120=4\times30=2\times(2\times30)$$ Vamos começar então por calcular o seno de $60^o$ usando a fórmula do seno do arco duplo: $$\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$$ Para o nosso caso: $$\sin60^o=2\sin30^o\cos30^o=2\cdot\dfrac12\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{\sqrt3}{2}$$ Perceba que $120^o=180^o-60^o$, de forma que: $$\sin120^o=\sin60^o=\dfrac{\sqrt3}{2}$$ $$\boxed{\sin120^o =\dfrac{\sqrt3}{2}}$$ Para o cosseno usaremos a relação fundamental da trigonometria: $$\cos120^o=\pm\sqrt{1-\sin^2120^o}=\pm\dfrac12$$ Para o sinal, lembre que $90^o<120^o<180^o$, logo $\cos120^o<0$: $$\boxed{\cos120^o=-\dfrac12}$$ Nesse exercício vamos estudar identidades trigonométricas. Existem diversas formas de se calcular o que se pede. Vamos calcular levando em consideração que: $$120=4\times30=2\times(2\times30)$$ Vamos começar então por calcular o seno de $60^o$ usando a fórmula do seno do arco duplo: $$\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$$
Para o nosso caso:
$$\sin60^o=2\sin30^o\cos30^o=2\cdot\dfrac12\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{\sqrt3}{2}$$
Perceba que $120^o=180^o-60^o$, de forma que:
$$\sin120^o=\sin60^o=\dfrac{\sqrt3}{2}$$
$$\boxed{\sin120^o =\dfrac{\sqrt3}{2}}$$
Para o cosseno usaremos a relação fundamental da trigonometria:
$$\cos120^o=\pm\sqrt{1-\sin^2120^o}=\pm\dfrac12$$
Para o sinal, lembre que $90^o<120^o<180^o$, logo $\cos120^o<0$:
$$\boxed{\cos120^o=-\dfrac12}$$
Você está em Ensino fundamental > Razões trigonométricas ▼ Considere as figuras:
Quadrado de lado l e diagonal
Triângulo equilátero de lado I e altura
Seno, cosseno e tangente de 30º
Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente para os ângulos de 30º, temos:
Seno, cosseno e tangente de 45º
Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente para um ângulo de 45º, temos:
Seno, cosseno e tangente de 60º
Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente para um ângulo de 60º, temos:
Resumindo:
| x | sen x | cos x | tg x |
| 30º | |||
| 45º | |||
| 60º |
Como referenciar: "Razões trigonométricas" em Só Matemática. Virtuous Tecnologia da Informação, 1998-2022. Consultado em 26/05/2022 às 16:28. Disponível na Internet em //www.somatematica.com.br/fundam/raztrig/razoes3.php