Como eliminar a raiz cubica com um quadrado

A raiz quadrada e a raiz cúbica de um número são importantes operações matemáticas, assim como a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão.

Uma raiz é uma operação inversa à potenciação, sendo utilizada para representar, de uma maneira diferente, uma potência com expoente fracionário.

Foto: Reprodução | Wikihow

A raiz quadrada de um número

Na Matemática, uma raiz quadrada de um número x é um número não negativo que, quando multiplicado por ele mesmo, iguala x. Por exemplo: a raiz quadrada do número 25 é o número 5, pois 5² é igual a 25. As raízes quadradas são importantes para a resolução de equações do 2º grau.

Um número que é quadrado de um número inteiro recebe a denominação de quadrado perfeito.

Alguns exemplos de quadrados perfeitos são os seguintes: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121… 121, por exemplo, é um quadrado perfeito porque 11 x 11 = 121.

O primeiro uso do símbolo da raiz quadrada –

Em determinadas situações, é necessário utilizarmos a técnica da decomposição em fatores primos, ou seja, a fatoração, para descobrir a raiz quadrada do número em questão.

Veja o exemplo a seguir:

Para determinar a raiz quadrada do número 196, antes é preciso fatorar e unir os termos semelhantes, dois a dois.

Temos então que a raiz quadrada do número 196 corresponde ao número 14. Se você quiser tirar a prova real, basta multiplicar o número por ele mesmo: 14 x 14 = 196.

A raiz cúbica de um número

A raiz cúbica de um número x, representada como

Um número que é cubo de um número inteiro é chamado de cubo perfeito. Alguns exemplos de cubos perfeitos são os seguintes: 0, 1, 8, 27, 64, 125…125 é um cubo perfeito porque 5 x 5 x 5 = 125.

Confira o exemplo a seguir:

Qual é o número positivo cujo cubo é igual a 27? O 3.

Ou seja, diz-se que o 3 é a raiz cúbica de 27, pois 3 x 3 x 3 = 27.

O cálculo manual da raiz cúbica é feito com uma operação muito pouco utilizada, pois existem outros métodos mais simples para resolvê-la.

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Racionalização de denominadores é a técnica utilizada quando uma fração tem um número irracional no denominador e se deseja encontrar uma segunda fração equivalente à primeira fração, mas que não tenha um número irracional em seu denominador. Para fazer isso, é necessário realizar operações matemáticas para reescrever a fração de forma que ela não tenha em seu denominador uma raiz não exata.

Leia também: Como resolver operações com frações?

Como fazer a racionalização de denominadores?

Começaremos pelo caso mais simples de racionalização de denominadores e seguiremos até o mais complexo, mas a técnica em si consiste em buscar uma fração equivalente multiplicando o numerador e o denominador por um número conveniente que permita eliminar a raiz do denominador da fração. Veja como fazer isso em diferentes situações a seguir.

Existem algumas frações que podem ser representadas com números irracionais nos denominadores. Veja alguns exemplos:

Quando o denominador da fração é irracional, utilizamos algumas técnicas para transformá-lo em um denominador racional, como a racionalização. Quando há uma raiz quadrada no denominador, podemos dividir em dois casos. O primeiro deles é quando a fração possui apenas uma raiz em seu radical.

Exemplo 1:

Para racionalizar esse denominador, vamos encontrar a fração equivalente a essa, mas que não tenha um denominador irracional. Para isso, vamos multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo número — nesse caso, será exatamente o denominador da fração, ou seja, √3.

Na multiplicação de frações, multiplicamos reto. Sabemos que 1 · √3 = √3. Já no denominador, temos que √3 ·√3 = √9 = 3. Com isso, chegamos ao seguinte:

Logo, temos uma representação da fração cujo denominador não é um número irracional.

Exemplo 2:

O segundo caso é quando existe uma adição ou uma diferença entre uma raiz não exata.

Quando há no denominador uma diferença ou uma adição de termos, sendo um deles a raiz não exata, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Chamamos de conjugado de √2 – 1 o inverso do segundo número, isto é, √2 + 1.

Realizando a multiplicação no numerador, temos que:

3(√2 + 1) = 3√2 +3

Já o denominador é o produto notável conhecido como produto da soma pela diferença. O seu resultado sempre é o quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.

(√2 – 1)(√2 + 1) = √2² – 1²

(√2 – 1)(√2 + 1) = √4 – 1²

(√2 – 1)(√2 + 1) = 2 – 1

(√2 – 1)(√2 + 1) = 1

Então, racionalizando o denominador dessa fração, temos que:

Veja também: Três erros comuns na simplificação de fração algébrica

Agora veja alguns exemplos quando há no denominador uma raiz de índices maiores que 2.

Como o objetivo é eliminar o radical, vamos multiplicar o denominador, de forma que a raiz desse denominador possa ser cancelada.

Exemplo 1:

Nesse caso, para eliminar o expoente do radical, vamos multiplicar pela raiz cúbica de 2² no numerador e no denominador, para que apareça dentro do radical 2³ e, assim, seja possível cancelar a raiz cúbica.

Realizando a multiplicação, temos que:

Exemplo 2:

Utilizando o mesmo raciocínio, vamos multiplicar o denominador e o numerador por um número que faça com que a potência do denominador chegue até o índice, ou seja, vamos multiplicar por raiz quinta de 3 ao cubo para que seja possível cancelar o denominador.

Leia também: Como simplificar frações algébricas?

Exercícios resolvidos

Questão 1 – Racionalizando o denominador da fração a seguir, encontramos:

A) 1 + √3. B) 2(1 + √3). C) – 2(1+ √3). D) √3.

E) √3 –1.

Resolução

Alternativa C.

Questão 2 – (IFCE 2017 — adaptada) Aproximando os valores de √5 e √3 até a segunda casa decimal, obtemos 2,23 e 1,73, respectivamente. Aproximadamente, o valor da expressão numérica a seguir até a segunda casa decimal é:

A) 1,98. B) 0,96. C) 3,96. D) 0,48.

E) 0,25.

Resolução

Alternativa E.

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática