A radiciação é uma operação matemática que possui várias aplicações, dominá-la é importante para resolver-se problemas envolvendo potenciação, já que essas operações são inversas.
Calcular a raiz enésima de um número x é encontrar qual número que, elevado a n, é igual a x. A radiciação possui propriedades importantes que servem para facilitar as contas e realizar simplificações de radicais. Para realizar operações com radiciação, é importante o domínio de cada uma das suas propriedades e compreender o significado de cada um dos seus termos.
Leia também: Como fazer a racionalização com raízes enésimas?
Representação de uma radiciação
Para representar a raiz de um número, utilizamos um símbolo conhecido como radical (√ ), a raiz de um número qualquer é representada pela seguinte operação:
√ → radical
a→ radicando
b→ raiz
n→ índice
Observação: quando n = 2, chamamos de raiz quadrada, e, nesse caso, escrever o número 2 no índice torna-se opcional.
Para calcular-se a raiz de um número, é fundamental entender que a radiciação é a operação inversa da potenciação, então dominar potenciação é essencial para calcular-se a raiz de um número.
Ao escrever a raiz enésima de a e afirmar que ela é igual a b, ou seja:
estamos dizendo que, quando calculamos bn, encontramos o número representado pela letra a. Portanto é essencial entender que quando se fala que um número é raiz enésima de um outro número, isso significa que a raiz elevada ao índice é igual ao radicando.
Exemplos:
Veja também: Propriedades das potências – quais são e como as utilizar?
Propriedades da radiciação
As propriedades da radiciação são meios para facilitar-se o cálculo de problemas que envolvem tal operação. Existe um total de sete propriedades, e dominar cada uma delas é de grande importância para resolução de problemas sobre o tema.
A raiz enésima de um número a elevado a n é igual ao próprio número a, ou seja, calculando a raiz de um número cujo o índice da raiz é igual ao expoente do radicando, encontraremos como resposta o próprio radicando.
A raiz enésima do produto é igual ao produto de duas raízes enésimas. Se o radicando for o produto entre dois números, podemos separar como a multiplicação da raízes enésimas de cada uma de suas parcelas.
A raiz enésima de uma divisão é igual ao quociente entre duas raízes enésimas. Se o radicando for uma divisão entre dois números, podemos separar como a raiz enésima do dividendo, dividido pela raiz enésima do divisor.
Podemos multiplicar ou dividir (simplificar) o índice da raiz, desde que a mesma operação seja feita com o expoente do radicando.
Quando encontramos a raiz de uma raiz, podemos multiplicar seus índices e representar essa operação com um único radical.
A potência de uma raiz enésima pode ser reescrita como a raiz enésima do radicando elevada a essa potência.
A raiz enésima pode ser transformada em uma potência com expoente racional. O índice da raiz corresponde ao denominador, e o expoente da base corresponde ao numerador:
Acesse também: Como aplicar as propriedades da radiciação?
Simplificação de radicais
Quando estamos trabalhando com um valor que não possui uma raiz exata, podemos fazer a simplificação desse radical. Para isso, é necessário algum método para decompor o número em fatores primos.
Exemplo:
Escreva na forma simplificada a raiz quadrada de 360.
Vamos realizar a fatoração de 360 utilizando o método das divisões sucessivas.
360|2→ 2 é o menor número primo que divide 360; 180|2→ 2 é o menor número primo que divide 180; 90|2 → 2 é o menor número primo que divide 90;
45|3 → 3 é o menor número primo que divide 45;
15|3 → 3 é o menor número primo que divide 15;
5|5 → 5 é o menor número primo que divide 5.
1|
Sendo assim, temos que 360= 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5.
Como o nosso objetivo é simplificar uma raiz quadrada, vamos agrupar esses fatores de 2 em 2, logo, podemos reescrever 360 como:
360= 2² · 2 · 3² · 5
Assim, podemos reescrever a raiz de 360, utilizaremos a primeira propriedade para simplificar a raiz quadrada, o que significa que os termos que estão elevados ao quadrado sairão do radical, e os que não estão permanecem dentro do radical:
Operações com radicais
A adição e a subtração de dois radicais são operações que, muitas vezes, são feitas de forma errada. Acontece que não podemos somar ou subtrair o radical de uma raiz com o radical de outra, ainda que o índice seja o mesmo:
√2 + √3 ≠ √5
Na busca por não cometer esse erro, o que deve ser feito é deixar representada a adição como no primeiro membro da equação. Vale lembrar que se trata de raízes. Realizar a soma ou a subtração de duas raízes e representá-las de forma mais simples só é possível se estivermos falando da mesma raiz, por exemplo:
√2 + √2 = 2√2
Nesse caso sempre somaremos os coeficientes, ou seja, o número que acompanha a raiz, lembrando que não se pode somar o radicando de cada uma delas.
Quando necessário, podemos simplificar as raízes para que elas tenham os mesmos radicandos, e aí sim realizar a operação:
√72 - √50
Sabemos que
72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3
72 = 2² · 2 · 3²
e também podemos reescrever o 40 como:
50 = 2 · 5 · 5
50 = 2 · 5²
Então teremos:
Para realizar a multiplicação, é necessário que o índice seja o mesmo para todas as raízes. Quando isso ocorre, acabamos recorrendo à 2ª e à 3ª propriedade. Somente nesses casos é possível realizar-se a operação.
Exemplo:
Exercícios resolvidos
Questão 1 - Sendo “a” e “b” números reais positivos e “n” e “m” números inteiros maiores do que 1, assinale a alternativa incorreta:
Resolução
Alternativa B.
Analisando-se as alternativas, a única que não corresponde a uma das propriedades da radiciação é a B, não podemos separar a soma da forma que foi feito.
a) → 2ª propriedade
b) → Não é uma propriedade da radiciação.
c) → 5ª propriedade
d) → 1ª propriedade
Questão 2 - (IFG 2010) O resultado do cálculo da expressão é:
Resolução
Alternativa C.
Note que todas as frações possuem mesmo índice, o que permite que seja feita a multiplicação, então, primeiro, faremos a propriedade distributiva e, posteriormente, faremos as simplificações necessárias. Para facilitar, escreveremos 25 como 5².
A raiz quadrada (√) de um número é determinada por um número real positivo elevado ao quadrado (x2). Já na raiz cúbica, o número é elevado ao cubo (y3).
Além disso, se a raiz for elevada a quarta potência (z4) é chamada de raiz quarta, e se for elevada a quinta potência (t5) é raiz quinta.
Como calcular a raiz quadrada?
Para saber a raiz quadrada de um número, podemos pensar que um número elevado ao quadrado será o resultado. Portanto, o conhecimento da tabuada e de potenciação são extremamente necessários.
No entanto, alguns números são difíceis por serem muito grandes. Nesse caso, utiliza-se o processo de fatoração, por meio da decomposição em números primos.
Quanto é a raiz quadrada de √2704?
Note que a potenciação é necessária, uma vez que depois de fatorar o número, no caso da raiz quadrada, reunimos os números primos em potências de 2. Isso significa em dividir os números em quadrados perfeitos.
No exemplo acima, temos
Portanto, a √2704 é 52.
Quando decompomos um número em fatores primos, podemos ter dois tipos de raiz quadrada:
- Raiz quadrada exata: seu resultado faz parte do conjunto dos números racionais, ou seja, podem ser números inteiros, decimais exatos e dízimas periódicas. Por exemplo: .
- Raiz quadrada não exata: seu resultado faz parte do conjunto dos números irracionais, ou seja, podem ser números decimais, infinitos e não-periódicos. Por exemplo:
Dizemos que um número é um quadrado perfeito quando ele é resultado da multiplicação de dois fatores iguais. Portanto, a raiz quadrada de um quadrado perfeito é uma raiz exata e resulta em um número natural.
Exemplos:
- 49 é o quadrado perfeito de 7, pois
- 144 é o quadrado perfeito de 12, pois
- 256 é o quadrado perfeito de 16, pois
Saiba mais sobre os números racionais e números irracionais.
Você sabia?
Com a invenção das calculadoras modernas, esse processo tornou-se mais fácil pelo fato de podermos calcular rapidamente a raiz quadrada por esse instrumento.
Exemplos
Raiz Quadrada de 2
√2 = 1.41421356237... (raiz quadrada não-exata)
√3 = 1.73205080757... (raiz quadrada não-exata)
Raiz Quadrada de 5
√5 = 2.2360679775... (raiz quadrada não-exata)
Raiz Quadrada de 8
√8 = 2.82842712475... (raiz quadrada não-exata)
Raiz Quadrada de 9
√9 = 3 (pois 32 é igual a 9)
Raiz Quadrada de 25
√25 = 5 (pois 52 é igual a 25)
Raiz Quadrada de 36
√36 = 6 (pois 62 é igual a 36)
Raiz Quadrada de 49
√49 = 7 (pois 72 é igual a 49)
Raiz Quadrada de 64
√64 = 8 (pois 82 é igual a 64)
Raiz Quadrada de 100
√100 = 10 (pois 102 é igual a 100)
Raiz Quadrada de 144
√144 = 12 (pois 122 é igual a 144)
Raiz Quadrada de 196
√196 = 14 (pois 142 é igual a 196)
Raiz Quadrada de 400
√400 = 20 (pois 202 é igual a 400)
Saiba mais sobre Quadrado Perfeito.
Exercícios resolvidos com raiz quadrada
Questão 1
(UFPI) Desenvolvendo a expressão (2√27 + 2√3 – 1)2 encontramos um número no formato a + b 2√3. Com a e b inteiros, o valor de a + b é:
a) 59 b) 47 c) 41 d) 57
e) 1
Alternativa correta: c) 41.
Para iniciar a resolução da questão, devemos fatorar o radicando 27.
3.3.3 = 33 = 3.32
Lembre-se: podemos remover um número de dentro da raiz quando seu expoente é igual ao índice do radical.
Como temos uma raiz quadrada, vamos substituir o número 27 do radicando por 3.32 para que um dos termos esteja com expoente 2 e, assim, possamos removê-lo da raiz.
Observe que o termo se repete na expressão. Portanto, podemos colocá-lo em evidência.
Agora, vamos resolver a expressão.
Sendo a = 49 e b = – 8, o valor de a + b é:
49 + (– 8) = 41
Portanto, a alternativa correta é c) 41.
(UTF - PR) Considere as seguintes expressões:
I.
II.
III.
É (são) verdadeira(s), somente:
a) I. b) II. c) III. d) I e II.
e) I e III.
Alternativa correta: b) II.
I. ERRADA. A resposta correta é .
II. CORRETA. O cálculo dessa expressão envolve a racionalização para retirar a raiz do denominador da fração.
III. ERRADA. A resposta correta é 4.
Questão 3
(UFRGS) A expressão
a) √2 + 3√3/4√2 b) 5√2 c) √3 d) 8√2
e) 1
Alternativa correta: e) 1.
1º passo: fatorar os radicandos e escrevê-los utilizando potências.
324 | 64 | 50 | 18 |
2º passo: podemos substituir os valores calculados pelos respectivos termos na expressão.
3º passo: simplificar a expressão.
De acordo com uma das propriedades dos radicais, quando o radicando possui expoente igual ao índice do radical, podemos removê-lo da raiz.
Efetuando essa operação na expressão, temos:
Outra propriedade nos mostra que se dividirmos o índice e o expoente pelo mesmo número, a raiz não se altera.
Portanto, simplificamos a expressão e chegamos ao resultado da alternativa "e", que é 1.
Veja também: Fatoração de Polinômios
Símbolo da Raiz Quadrada
O símbolo da raiz quadrada é chamado de radical: √x ou 2√x.
Já da raiz cúbica é 3√y, da raiz quarta é 4√z e da raiz quinta é 5√t.
Aprenda mais sobre esse assunto em