Ada berapa faktor positif dari yang merupakan kelipatan 10 adalah

Misalnya kita akan menentukan banyaknya faktor positif dari 180 mungkin cara/ide yang terlintas di fikiran kita adalah dengan cara mendaftar bahwa faktor positif dari 180 adalah  1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180. dari daftar tersebut kita bisa melihat ternyata banyaknya faktor positif dari 180 adalah 18 faktor. Cara ini tidak salah, namun kurang efisien karena akan memakan waktu yang lebih lama dan tentu memiliki tingkat kekeliruan yang lebih tinggi (beresiko ada faktor yang terlewat saat mendaftar).

Baiklah, sekarang kita akan gunakan cara yang lain. Jika kita perhatikan faktorisasi prima dari 180 yaitu

 maka kita dapat menyatakan setiap faktor tersebut dalam bentuk  dengan a = 0, 1, 2 , b = 0, 1, 2 dan c = 0, 1.  Selanjutnya, kita gunakan aturan perkalian.

Dari faktorisasi prima di atas, kita dapat melihat bahwa untuk menentukan banyaknya faktor positif dari 180  dapat dilakukan dengan tiga langkah :

pertama, memilih pangkat dari 2 dapat dilakukan dengan 3 cara

kedua, memilih pangkat dari 3 dapat dilakukan dengan 3 cara

ketiga, memilih pangkat dari 5 dapat dilakukan dengan 2 cara

sehingga dengan aturan perkalian, banyaknya faktor positif dari 180 adalah 

.

Cara menghitung banyaknya faktor positif dari sembarang bilangan asli n dapat kita perumum sebagai berikut:

Contoh:

1. Tentukan banyaknya faktor positif dari 12.600
2. Tentukan banyaknya faktor positif genap dari 12.600
3. Tentukan banyaknya faktor positif ganjil dari 12.600

Jawab:

1. Kita dapat melihat bahwa faktorisasi prima dari 12.600 adalah 

, jadi banyaknya faktor positif dari 12.600 adalah :

2. Faktor positif genap dari 12.600 dapat di nyatakan sebagai 

 dengan a = 1, 2, 3, b = 0, 1, 2, c = 0, 1, 2 dan d = 0, 1, maka banyaknya faktor positif genap dari 12.600 adalah:

3. Banyaknya faktor positif ganjil dari 12.600 adalah banyaknya semua faktor positif dikurangi banyaknya faktor positif genap. Jadi, banyaknya faktor positif ganjil adalah :

cara lain adalah dengan menghitung banyaknya kemungkinan bentuk 

 dengan a = 0,  b = 0, 1, 2, c = 0, 1, 2 dan d = 0, 1, maka banyaknya faktor positif ganjil dari 12.600 adalah :

Mohon koreksi jika ada kekeliruan (silahkan isi komentar). Semoga bermanfaat

Baca juga : Cara menentukan jumlah semua faktor positif suatu bilangan

Full PDF PackageDownload Full PDF Package

This Paper

A short summary of this paper

37 Full PDFs related to this paper

Download

PDF Pack

PELATIHAN ONLINE 2019 KOMPUTER – PAKET 4 PELATIHAN ONLINE 2019 KOMPUTER – PAKET 4 PEMBAHASAN PAKET 4 1. Banyaknya cara untuk mempermutasikan kata “MISSISIPI” adalah Jawaban : D 2. Anggap N dan R sebagai satu objek yang tidak bisa dipisahkan, sehingga banyaknya cara mengubah kata “MINUMAIR” dengan huruf N dan R selalu berdampingan sama dengan banyaknya cara mengubah kata “XMIUMAI” lalu dikali 2. Banyaknya cara : Jawaban : D Ket : -Mengapa dikali 2? Karena posisi huruf N dan R dapat ditukar, sehingga harus dikalikan 2. -X hanya sebagai pemisalan elemen pengganti N dan R yang tidak bisa dipisahkan. 3. Banyaknya cara mereka duduk adalah = ( Jawaban : C ) 4. Mirip dengan soal nomor 2, hanya saja permutasi yang digunakan adalah ) permutasi siklis. Oleh karena itu banyaknya cara adalah ( Jawaban : E ) 5. Banyak cara mereka duduk tanpa ada batasan adalah ( Berdasarkan jawaban soal nomor 4, banyaknya cara mereka duduk dengan syarat Andi dan Budi selalu berdampingan adalah 240. Oleh karena itu, banyaknya cara mereka duduk dengan syarat Andi dan Budi tidak berdampingan adalah 720 – 240 = 480 Jawaban : B 6. Pandang: Jumlahkan semua persamaan diatas, maka: ( ) PELATIHAN ONLINE 2019 KOMPUTER – PAKET 4 Sekarang kita tinggal mencari berapa banyak solusi dari persamaan (1) dengan syarat . Banyaknya solusi ada : ( ) ( ) Jawaban : E 7. Variasi ini adalah variasi lain dari soal bertema kombinasi dengan pengulangan. Untuk mengerjakan soal-soal bertipe ini, kita perlu mencari banyak kemungkinan dari komplemen kasus. Lalu setelah itu tinggal mengurangi banyak cara keseluruhan dikurangi banyak cara komplemennya tersebut. Permasalahan disini adalah nilai dan memiliki batas atas. Sehingga untuk menyelesaikannya, tidak ada cara langsungnya. Akan tetapi, kita bisa menggunakan Teorema himpunan disini. Jika yang ditanya adalah banyaknya solusi jika , , , maka kita bisa mencari komplemen kasusnya yaitu “banyaknya solusi dari persamaan dengan syarat atau atau ” Misalkan ( ) adalah banyaknya solusi dengan , ( ) adalah banyaknya solusi dengan dan ( ) adalah banyaknya solusi dengan . Sehingga yang sekarang akan kita cari adalah nilai dari ( ).     Untuk mencari ( ) Kita berarti mencari banyaknya solusi dari persamaan dengan . ) Banyaknya solusi adalah ( Untuk mencari ( ) Kita berarti mencari banyaknya solusi dari persamaan dengan ) Banyaknya solusi adalah ( Untuk mencari ( ) Kita berarti mencari banyaknya solusi dari persamaan dengan ) Banyaknya solusi adalah ( Untuk mencari ( ) Kita berarti mencari banyaknya solusi dari persamaan dengan dan Banyaknya solusi adalah 0 PELATIHAN ONLINE 2019 KOMPUTER – PAKET 4  Untuk mencari ( ) Kita berarti mencari banyaknya solusi dari persamaan dengan dan ) Banyaknya solusi adalah (  Untuk mencari ( ) Kita berarti mencari banyaknya solusi dari persamaan dengan dan Banyaknya solusi adalah 0 Untuk mencari ( ) Kita berarti mencari banyaknya solusi dari persamaan dengan , dan Banyaknya solusi adalah 0  Dengan teorema himpunan, kita juga tahu bahwa ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) Sehingga Banyak solusi tanpa ada syarat apapun adalah ( ) ( ) ) ) Sehingga banyak kemungkinan solusi dari persamaan ( syarat , , adalah dengan ) Jawaban : E 8. Soal ini adalah aplikasi dari derangement. Karena banyaknya pasangan kaos kaki adalah 7, maka yang kita cari adalah nilai dari derangement 7. Kita tahu bahwa: ( ) ( ) ( )), dengan ( ) ( ) )( ( . Sehingga: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Jawaban : C 9. Soal ini ekivalen dengan mencari banyaknya solusi dari persamaan dimana . Mirip dengan solusi nomer 7, kita cari banyaknya solusi dari kasus komplemennya. Kasus komplemennya adalah mencari banyaknya solusi dari persamaan dengan atau atau Misalkan A adalah banyaknya solusi yang memenuhi persamaan dengan , B adalah banyaknya solusi yang memenuhi persamaan dengan , dan C adalah banyaknya solusi yang memenuhi persamaan dengan . PELATIHAN ONLINE 2019 KOMPUTER – PAKET 4 ( ) ekivalen dengan mencari banyaknya solusi dari persamaan ( ) dengan . Sehingga ( ) ( ) ekivalen dengan mencari banyaknya solusi dari persamaan ( ) dengan . Sehingga ( ) ( ) ekivalen dengan mencari banyaknya solusi dari persamaan ( ) dengan . Sehingga ( ) , , , Perhatikan bahwa kasus A, B, C tidak mungkin memiliki irisan karena penjumlahan dari minimal dua kasus ini adalah 16, sedangkan nilai ) saja hanya 12. Sehingga ( = 45 Banyak solusi tanpa syarat dari ( ) Sehingga solusi dari persamaan adalah Jawaban : E dengan adalah dengan syarat 10. Banyaknya susunan cantik ini sama saja dengan banyaknya cara kita memilih 5 posisi dari 9 posisi yang ada(1, 2, …, 9) untuk ditempati digit-digit 0, 1, 2, 3, 4. Sehingga banyak susunan cantik ini adalah ( ) Jawaban : D 11. Misalkan banyak orang dari keahlian CTF yang diambil adalah orang, dari cp orang, dan dari data mining orang. Sehingga persamaan yang dapat kita bentuk adalah , dimana . Dari sini kita bisa bagi kasus: 1. . Banyaknya kemungkinan adalah = ( ) ( ) ( ) 2. Banyaknya kemungkinan adalah = ( ) ( ) ( ) 3. Banyaknya kemungkinan adalah = ( ) ( ) ( ) 4. Banyaknya kemungkinan adalah = ( ) ( ) ( ) 5. Banyaknya kemungkinan adalah = ( ) ( ) ( ) 6. Banyaknya kemungkinan adalah = ( ) ( ) ( ) 7. Banyaknya kemungkinan adalah = ( ) ( ) ( ) 8. PELATIHAN ONLINE 2019 KOMPUTER – PAKET 4 Banyaknya kemungkinan adalah = ( ) ( ) ( ) 9. Banyaknya kemungkinan adalah = ( ) ( ) ( ) 10. Banyaknya kemungkinan adalah = ( ) ( ) ( ) Total banyaknya kemungkinan adalah = Jawaban : D 12. Banyak cara Badur mengambil 4 buah jeruk adalah ( ) Banyak cara Badur mendapatkan 2 buah jeruk busuk dan 2 buah jeruk segar adalah ( ) ( ) Sehingga peluang Badur mendapatkan tepat 2 buah jeruk busuk adalah Jawaban : D 13. Peluang terpilihnya minimal 1 perempuan dari 5 orang tersebut = 1-(peluang terpilihnya kelima orang tersebut adalah laki-laki) = ( ) ( ) Jawaban : E 14. Kelompokkan bilangan dari 1 hingga 2008 berdasarkan sisanya ketika dibagi 8. Sehingga kelompok yang terbentuk dapat kita misalkan menjadi seperti berikut: * + * + * + * + * + * + * + * + Kemungkinan terburuk yang mungkin sehingga tidak ada jumlah dua bilangan yang habis dibagi 8 adalah ketika kita mengambil semua bilangan di kelompok lalu mengambil masing-masing 1 bilangan dari dan . (total bilangan yang diambil = 251*3 + 2 = 755) Ketika kita mengambil 1 bilangan lagi, pasti dia merupakan anggota dari . Dan pasti dari 755 bilangan sebelumnya akan ditemukan bilangan sehingga jumlah bilangan tersebut dengan bilangan yang baru ditambahkan akan habis dibagi 8. Jadi minimal sehingga pasti akan didapat dua bilangan asli berbeda yang jumlahnya habis dibagi 8 adalah . Jawaban : B 15. Banyak bilangan prima yang kurang dari 100 adalah 25 Jawaban : B PELATIHAN ONLINE 2019 KOMPUTER – PAKET 4 16. Banyaknya faktor positif adalah ( Jawaban : D )( )( )( ) 17. Banyaknya faktor positif dari 360360 yang merupakan kelipatan 10 sama dengan banyaknya faktor positif dari )( )( )( )( ) Banyaknya ( Jawaban : E 18. Nilai adalah 2003 dan 2001 Jawaban : A adalah 2. Sehingga nilai dari adalah 2003-2 = 19. Hasil kali semua bilangan bulat positif yang habis membagi 100 adalah 1.100.2.50.4.25.5.20.10= Jawaban : D 20. Perhatikan bahwa Sehingga nilai terbesar dimana Jawaban : E adalah ⌊ ⌋ membagi 21. Jumlah faktor positif dari 360360 adalah ( )( )( )( )( Jawaban : A )( ) 22. Kita harus mencari bilangan terbesar sehingga mencari nilai . Bilangan terbesar yang membagi 2019! adalah ⌊ ⌋ ⌊ ⌋ ⌊ ⌋ ⌊ ⌋ ⌊ ⌋ ⌊ membagi untuk ⌋ Karena bilangan terbesar yang membagi 2019! adalah 1005, maka nilai ⌋ terbesar sehingga membagi adalah ⌊ Jawaban : C 23. Perhatikan bahwa kpk dari dua bilangan asli tersebut adalah 168. Dari sini kita bisa mengambil kesimpulan bahwa kedua bilangan asli tersebut merupakan faktor dari dari 168. Faktor dari 168 = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 14, 21, 24, 28, 42, 56, 84, 168}. Dari sini kita tinggal cari dua bilangan dari faktor 168 tersebut yang jumlahnya 52 dan kpk dari kedua bilangan tersebut benar 168. Setelah melakukan pengecekan, didapatkan bilangannya adalah 28 dan 24. Selisih dari kedua bilangan ini adalah 4 PELATIHAN ONLINE 2019 KOMPUTER – PAKET 4 Jawaban : D 24. Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu mengamati pola yang terjadi untuk setiap lampu. Perhatikan bahwa setiap lampu akan menyala jika dan hanya jika lampu tersebut ditekan sebanyak ganjil kali. Dari persoalan ini juga kita tahu bahwa setiap lampu bernomor akan dipengaruhi oleh saklar yang bernomor suatu bilangan yang mana bilangan itu adalah faktor dari . Berdasarkan dua hal yang sudah disebutkan tadi, maka suatu lampu ke- akan menyala jika dan hanya jika memiliki banyak faktor ganjil. Dengan teori bilangan, kita tahu bahwa suatu bilangan memiliki banyak faktor ganjil jika bilangan tersebut adalah bilangan kuadrat. Jadi banyak lampu yang menyala adalah banyaknya bilangan kuadrat ⌋ = 44 yang tidak lebih dari 2018, yaitu ada sebanyak ⌊√ Jawaban : C ( ) hanya memiliki 4 kemungkinan nilai yaitu 1, 25. Perhatikan bahwa nilai dari 2, 3, dan 6. ( ) 1. Suatu bilangan memiliki nilai , jika adalah bilangan genap dan tidak habis dibagi oleh 3. ⌋ ⌊ ⌋ Banyak bilangan = ⌊ ( ) 2. Suatu bilangan memiliki nilai jika adalah bilangan yang habis dibagi 3 tetapi tidak habis dibagi oleh 2. ⌋ ⌊ ⌋ Banyak bilangan = ⌊ ( ) 3. Suatu bilangan memiliki nilai jika adalah bilangan yang habis dibagi 6. ⌋ Banyak bilangan = ⌊ ( ) 4. Suatu bilangan memiliki nilai , jika tidak memenuhi kriteria yang disebutkan di atas. Banyak bilangan = 2018 – 673 – 336 - 336 = 673 Sehingga hasil dari sigma di soal adalah = 2*673 + 3*336 + 6*336 + 1*673 = 5043 Jawaban : D 26. Diketahui bahwa ( ) ( ) Sehingga berdasarkan soal, Dari sini kita tinggal bruteforce dan yang merupakan faktor dari 252. Lalu nanti dicek apakah nya bernilai 3. Setelah di cek akan ditemukan 4 pasang yaitu (3, 84), (84, 3), (12, 21), dan (21, 12). Jawaban : D 27. Soal ini dapat diselesaikan dengan bruteforce nilai a dan b yang mungkin. 1. Jika a = 1, maka nilai b yang memenuhi ada sebanyak 10 bilangan 2. Jika a = 2, maka nilai b yang memenuhi ada sebanyak 5 bilangan 3. Jika a = 3, maka nilai b yang memenuhi ada sebanyak 7 bilangan PELATIHAN ONLINE 2019 KOMPUTER – PAKET 4 4. Jika a = 4, maka nilai b yang memenuhi ada sebanyak 5 bilangan 5. Jika a = 5, maka nilai b yang memenuhi ada sebanyak 8 bilangan 6. Jika a = 6, maka nilai b yang memenuhi ada sebanyak 3 bilangan 7. Jika a = 7, maka nilai b yang memenuhi ada sebanyak 9 bilangan 8. Jika a = 8, maka nilai b yang memenuhi ada sebanyak 5 bilangan 9. Jika a = 9, maka nilai b yang memenuhi ada sebanyak 7 bilangan 10. Jika a = 10, maka nilai b yang memenuhi ada sebanyak 4 bilangan Total banyaknya pasangan adalah = 63 pasang Jawaban : C 28. Banyaknya faktor positif dari 1200 yang merupakan kelipatan 6 adalah = 12 Banyaknya faktor positif dari 1200 yang merupakan kelipatan 5 adalah = 20 Banyaknya faktor positif dari 1200 yang merupakan kelipatan 30 adalah = 8 Sehingga banyak faktor positif dari 1200 yang merupakan kelipatan 5 atau 6 adalah 12 + 20 – 8 = 24 Jawaban : D 29. Banyak faktor dari 19800 yang juga merupakan faktor dari 11340 adalah banyak faktor dari fpb(19800, 11340) = 180 = Banyak faktor dari 180 adalah Jawaban : C 30. Banyak angka 0 berurutan di akhir bilangan ⌊ Jawaban : B ⌋ ⌊ ⌋ ⌊ ⌋ ⌊

Adalah: ⌋